基于排隊論的大型樞紐停車場規模研究

程林結，晏克非

（1.中國聯合工程公司，浙江杭州 310014；2.同濟大學，上海市 201804）

0 前言

樞紐停車場是綜合樞紐作業系統的重要組成部分，是樞紐區交通流程的核心部分，具有不同于城市一般停車場的特點。樞紐停車場重點關注接送旅客以及出行旅客的流程，因此對便捷性要求很高，其方便程度將直接決定旅客是否愿意將車輛駛入停車場，而車輛是否進入停車場，又將直接影響樞紐交通流程的疏導效果及順暢程度。影響停車場便捷性的最主要因素為停車場規模，停車場規模過大，造成資源浪費；停車場規模過小，高峰時刻停車供給緊缺，車輛尋找泊位的時間增加，還會在停車場入口處形成排隊，進而影響周邊動態交通。

1 停車場規模影響因素分析

樞紐停車場規模的影響因素眾多，主要有以下幾點。

（1）高峰時段車輛到達率：高峰小時車輛到達率是影響停車場規模最直接的因素。高峰小時進入停車場的車輛越多，即到達率越大，所需的泊位供給量就越大；反之就越小。

（2）高峰時段車輛平均停車時間：車輛逗留時間越長，泊位的周轉率就越小，所需的停車泊位數就越大；車輛逗留時間很短時，泊位的周轉率則較大，所需的停車泊位數就較少。

（3）車輛到達、駛離特性：車輛到達、駛離特性對停車場規模的影響并不是很直觀，其對停車場規模的影響主要反映在泊位的利用率上。一般情況下，車輛到達、駛離越不均勻（即車頭時距方差越大），泊位的利用率就越低，因此泊位需求量就越大；反之，則否。

（4）停車費用：從旅客角度來說，提高停車費用可能會促使一部分旅客采用其他交通方式進出樞紐，而不是自己開車進出樞紐。另外，停車價格的上升可能會抑制旅客的停車時間，增加停車場的周轉率。

2 停車場規模計算方法

從上述分析可知，停車場規模受到眾多因素的影響，但是在實際計算過程中，與停車規模直接相關的是停車場高峰時段車輛到達率、車輛到達離去特性分布、平均停車時間。

實際中可以將車輛進入停車場停車的過程看成一個排隊系統，把停車場的入口看作排隊服務的入口，每個停車泊位看做是一個服務臺，車輛在泊位上停駛可以看作是排隊接受服務，則停車場場的規模大小即為服務臺個數。

2.1 排隊理論計算方法

（1）排隊系統

排隊系統額可以抽象地描述如下：為了獲得某種服務而隨機到達的顧客，如果不能立即得到服務，允許按一定順序排入隊列，在顧客得到服務機構某一隨機時間的服務之后，便離開系統。根據這些基本特征，排隊系統可以分成三個部分，即輸入過程、排隊規則和服務機構。

a.輸入過程

輸入過程主要描述顧客的到達規律，這種規律可用到達間隔時間的概率分布來表示。如定長分布、泊松分布、愛爾朗分布等。

b.排隊規則

排隊規則主要描述顧客在隊列中排列順序的規定。通常有損失制、等待制和混合制三種方式。損失制指顧客到達時，若所有服務機構被占據，該顧客自動消失。

等待制指顧客到達時，若所有服務機構均被占據，則該顧客進入隊列等待服務。混合制是一種損失制和等待制相結合的排隊規則。如果隊列長度超過一定的限制時，新到顧客自動離去，或等待時間超過某一限度時，隊列中顧客自動離去。

c.服務機構

在排隊系統有一個服務機構時，稱為單通道排隊系統，也可以有多個服務機構并行工作或串行工作，稱為多通道排隊系統或串行系統等。

停車場排隊系統應為單通道排隊、多窗口服務系統，同時上文分析得到服務時間服從泊松分布。

為了描述排隊系統得特征，通常采用六參數符號系統，其一般形式如下：

A/B/C/D/E/F

式中：A——顧客到達過程的概率分布類型（如M表示泊松分布）；

B——服務過程的概率分布類型（如M表示負

指數分布）；C——服務臺數目；

D——排隊系統的最大容量；E——顧客源數；F——排隊規則.一般當顧客源數為無限時，可從模型符號中省略。排隊規則為先到先服務時也可省略。

假定停車場車輛到達服從泊松分布，服務時間服從負指數分布，服務機構為S，系統容量為k，則停車場排隊系統可以表示為M/M/S/k。

（2）系統的數量指標（以M/M/S/k為例）

M/M/S/k排隊模型為泊松輸入、負指數分布服務、S個服務臺、系統容量為k的混合制系統。假定顧客到達率為λ，每個服務臺服務率為μ，則整個系統得最大服務率為Sμ，令ρ=。

a.系統空閑的概率P0

Pk就是顧客被拒之于系統之外的概率，稱為損失率。

2.2 排隊論在停車場中的應用

在實際中，車輛到達停車場時，若有空閑停車泊位則車輛進入泊位停駛，若沒有空閑車位則車輛離去。因此，在進行停車場規模研究時，可以將停車場泊位數（服務臺數）C作為服務臺數以及系統容量，即S=k=C。設車輛到達率為λ，每個泊位服務率為μ，則整個系統得最大服務率為cμ，令ρ=。給定系統損失率不超過5%，計算滿足此條件的最佳值C*，此值即為停車場規模。

f（C*）≤5%≤f（C*-1）

即fC*≤5%≤f（C*-1）

其中：

對C=1，2，3…分別求PC，根據5%落在哪個不等式的區間內來定出C*。

該問題的關鍵在于如何求解C的最佳值C*。在計算過程中會碰到兩個難點：

一、如果從 C=1，2，3…依次計算 PC，當 C*較大時，要計算的次數非常多，工作量相當之大，而且都是重復計算，大大降低了工作效率；

二、從PC的表達式中，可以看出，其中包含了C！以及（）C兩種表達式，當C*值很大時，在計算機中進行計算會產生溢出，特別是C！項。關于階乘的計算，目前計算機的配置最大只能算出170！，當C值超過170時，計算機是無法計算出C！的結果的。

要想使該理論在實際中得到更廣泛的應用，必須很好的解決上述兩個問題。這就要求我們一方面對PC的表達式進行分解處理，化成計算能計算出來的形式；另一方面盡量減少PC值的計算次數，降低計算量。對于這兩個問題的解決方法，將結合虹橋樞紐的案例進行闡述。

3 案例分析

上海虹橋機場位于上海市西郊長寧區的西南方位置，毗鄰閔行區。目前，虹橋機場投入使用的社會停車場主要有兩個，第一停車場位于候機樓前，為地面露天停車場，經過多次改造，停車泊位已由506個增加至970個。第二停車場可用面積5 000多m2，有100多個停車位，其中30多個旅游巴士車位，其他全是小型車位，主要停放內部人員的車輛。本文主要研究第一停車場。

通過虹橋機場停車場管理系統收集的數據可得，停車場高峰小時車輛到達率為350 veh/h，車輛平均停車時間為150 min。通過車輛到達時刻數據分析可得車輛到達服從泊松分布。

根據前面的敘述，將車輛進入停車場停車過程看做是一個排隊系統，車輛停車過程看成顧客在系統中接受服務，排隊規則為損失制。設停車場的泊位數為c，則停車過程M/M/c/c為排隊模型。到達率λ=350 veh/h，單個泊位服務率 μ=60/150=0.4，==875。給定系統損失率不超過5%，計算滿足此條件的最小C*值，此值即為停車場規模。

此問題的數學模型為：

（fC*）≤5%≤（fC*-1）

即fC*≤5%≤（fC*-1）

其中：

對C=1，2，3…分別求PC，根據5%落在哪個不等式的區間內來定出。

此問題的關鍵在于PC的求解，不難發現PC的表達式中含有C！以及875C這兩項，在值較小的情況下，我們不難算出其值，而當值較大時，計算機在計算值時會產生溢出，在目前的計算機硬件配置前提下，計算機中雙精度浮點型變量表示的數值范圍為 -1.797 69×10308～1.797 69×10308，因此，計算機能計算出其階乘的最大數值為170，超過170的數值計算機無法計算出其階乘。在計算875C時更是只能算出C≤104的情形。另外在求C*時，若從 C=1，2，3…分別求 PC，則要計算 847 次才能得出結果，計算非常繁瑣，大大降低了工作效率。本文借助計算機編程來解決這兩個問題。

（1）PC的求解

將P0代入PC中得到：

由于PC分母中含有C+1項，先因此考察其倒數1/Pc：

a（0）=1

a（1）=a（0）*C/875

a（2）=a（1）*（C-1）/875

…

a（i）=a（i-1）*（C-i+1）/875

…

a（c）=a（c-1）*/875

最后計算各個數組元素之和即可得到1/Pc的值，進而得出PC，這樣就巧妙地避開了計算C！以及875C這兩項超出計算機計算范圍的表達式。PC計算程序代碼如下：

Public Function Pc(c As Integer,b As Double)As Double

Dim i As Integer,P As Double

ReDim a（c） As Double

a（0）=1

P=0

For i=1 To c

a（i） =a（i-1）*（c-i+1）/b

Next i

For i=0 To c

P=P+a（i）

Next i

P=1/P

Pc=P

End Function

程序中函數Pc的值即為需要計算的損失率PC，參數c和b分別為服務臺數C以及λ/μ的值，將C和λ/μ的值作為形式參數調用函數Pc即可求出損失率PC。

（2）C*的求解

上面已經介紹了損失率PC的求法，下面介紹C*的求法，若如前所述，從 C=1，2，3…分別求 PC，然后將滿足fC*≤5%≤f（C*-1）的C做為C*的值的話，則要計算很多次才能得出結果，此例需要計算847次。因此借助計算機程序語言中的循環算法來解決問題，讓計算機自動求解C*，這樣大大減少計算量。編程的思路為：先假設C=1，計算此時的PC，然后判斷是否滿足PC*≤5%，若不滿足則讓C自動加1，使C=2，再判斷…直到PC*≤5%時返回此時的C值，即為所求的停車場規模值C*。具體程序代碼如下：

Private Sub CommandButton2_Click()

Dim c As Integer,i As Integer,b As Double,P As Double,f As Double

b=Range("B7")

f=Range("B6")

c=1

P=0.99

Do While P＞=f

c=c+1

P=Pc(c,b)

Loop

Range("F10")=c End Sub

通過計算可得，當C=846時，PC=0.050 3，當C=847時，PC=0.049 4，因此，在損失率不超過5%的條件下，最佳停車場規模值C*=847。

4 結論

論文將排隊論引入樞紐停車場系統，提出了計算樞紐停車場規模的新方法，同時給出了算法的求解過程，為樞紐停車場建設提供了新的依據。但是論文僅對車流泊松到達的情況進行了研究，要想更全面的解決問題，應在此基礎上，對其他特性的到達車流進行研究。

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