飛機結構中凹陷應力集中系數初步確定

湯慶輝，柯曾言

（中航工業洪都，江西南昌330024）

0 引言

在飛機的生產和使用過程中，結構可能會因為人為和非人為因素出現某些缺陷。這些缺陷主要包括凹陷、劃痕、腐蝕和雷擊燒傷及多余孔等等。對于這些缺陷，如果沒有進行有效的修理和監控，對飛機的飛行會帶來較大的安全隱患。縱觀國外，這些缺陷的疲勞和裂紋擴展分析都得到了較好的論證。而在國內，僅僅對其靜強度進行了分析，而疲勞和裂紋擴展分析還沒有過多的涉及。所以很有必要對這些缺陷進行疲勞和裂紋擴展分析。本文詳盡介紹了凹陷的應力集中系數的初步確定，為凹陷的疲勞分析提供必要的條件，進而確定凹陷是否滿足疲勞壽命要求。

1 凹陷的形式和種類

圖1 凹陷的結構形式

凹陷是由于重物墜落或與其他物體碰撞產生的，一般可假定其為球冠，用直徑和深度來表示凹陷的形式，如圖1所示，W為凹陷外形大小，D為凹陷深度，t為板的厚度。根據凹陷發生的部位可以定義凹陷的種類。

1）如果凹陷發生在外部蒙皮上，并且蒙皮內部沒有與任何結構相連，可以稱此種凹陷為柔性凹陷。

2）如果凹陷發生在外部蒙皮上，并且蒙皮內部與長桁相連(并且認為凹陷不允許發生在與梁或框連接處)，可以稱此種凹陷為硬性凹陷。

2 凹陷的應力集中系數的初步確定

凹陷的疲勞分析可以采用名義應力法，名義應力法是根據危險部位的名義應力（最大主應力）和應力集中系數Kt，對照Kt下材料的S-N曲線，應用線性累積損傷理論，估算出危險部位的裂紋形成壽命。名義應力法流程中主要的步驟是應力集中系數的確定，本文利用有限元方法對凹陷的應力集中系數進行初步確定。

2.1 凹陷應力集中系數計算的有限元模型建立

設定一塊長300 mm，寬200 mm的板中央有一凹陷。分別對某個參數進行變化，而另外兩個參數不變化來分析凹陷的應力集中系數，共有三組情況，對應于板的厚度、凹陷深度和寬度變化。在模型中一邊施加固支約束，另一邊均勻施加2000 N的受拉載荷，用于模擬最大主應力。有限元模型見圖2。

圖2 應力集中系數分析的有限元模型圖

2.2 應力集中系數計算結果

各組有限元應力結果及根據結果計算出的應力集中系數見表1，各參數與應力集中系數的關系見圖3至圖5。

表1 各組情況凹陷的應力集中系數結果

續表1

圖3 應力集中系數隨板厚t的變化情況

2.3 應力集中系數結果分析

依據表1中數據和圖3至圖5，可以看出凹陷的應力集中系數隨板厚的增大而減小、隨凹陷深度的增大而增大、隨凹陷寬度的增大而增大。

2.3.1 擬合曲線的確定

依據圖3至圖5，根據經驗及工程判斷可以獲得Kt與各參數之間的趨勢如下：

圖4 應力集中系數隨凹陷深度D的變化情況

圖5 應力集中系數隨凹陷寬度W的變化情況

1） 根據圖3（b）能夠得出Kt與板厚的倒數（1/t）有對數關系；

2）根據圖4能夠得出Kt與凹陷深度（D）有對數關系；

3）根據圖5能夠得出Kt與凹陷寬度 （W）有線性關系。

按以上Kt與凹陷參數的趨勢關系，可以初步確定出應力集中系數與凹陷參數之間的表達式：， 公 式 中 a0、a1、a2為常量。

2.3.2 最小二乘法確定a0、a1、a2常量對于應力集中系數與凹陷參數之間的公式，設定W為x，為y，Kt為f(x，y)。 則Kt用公式表示為：f(x,y)=a0+a1·x+a2·y，公式是二元多項式，可以利用曲線擬合的二元最小二乘法確定系數a0、a1、a2。對于二元最小二乘法就是根據離散點集{(xi，yi，zi)，i=1，m}與要擬合出的函數f(xi,，yi)的誤差平方和I(a0，a1，a2)最小而確定擬合函數f(x，y)。誤差平方和：

化成矩陣：

利用表1中的數據和以上公式可計算出(a0,a1,a2)=(2.12403,0.01295,0.90101)，因此凹陷的應力集中系數可表達為：

2.3.3 擬合公式的檢驗與誤差分析

Kt的回歸平方和殘差平方和分別定義如下：

離差平方和：

離差平方和Syy為殘差平方和U和回歸平方和V之和：Syy=U+V

這時V的計算公式為 V=Syy–U

根據線性回歸理論知V愈大（或U愈小）則表示Kt與這些自變量的線性關系愈密切，回歸的規律愈強，回歸出的結果可信度愈高。

為了表征這一特點，定義復相關系數R為

顯然，R越接近于1，表明y與x1，x2，…，xn的線性關系越密切，也就是說回歸出的回歸方程的系數矩陣有較好的精度。

本文經計算得出U=0.00756，Syy=1.33741，V=Syy-U=1.32985

R的值較接近于1，系數矩陣(a0，a1，a2)精度較好。

除了用R進行線性檢驗外，還要利用F值對整個回歸方程進行顯著性檢驗。F值如下定義：

式中給出的F也服從自由度為k，n-k-1的F分布，如令α=0.05，將由計算出的F值與相應的臨界值作比較，如F大于臨界值，則表明所建立方程是良好的。本文的自由度為2，共有29組數據，

F0.05(2,26)=3.37，由于F?F0.05(2,26)，故認為線性回歸得出的凹陷的應力集中系數方程式是顯著的。

3 結論

本文根據有限元分析方法初步確定的凹陷應力集中系數公式，在經過R和F檢驗后，公式的精度較好，同時，對于凹陷來說，有限元分析難于考慮一些工藝參數和其他因素的影響，在經過試驗驗證對本文的公式進行修正后，可用于實際工程的應用，從而為凹陷的疲勞壽命分析提供必要的依據。

[1]李慶揚，王能超，易大義.數值分析第5版.北京：清華大學出版社，2011.

[2]數理統計編寫組編.數理統計.西安：西北工業大學出版社，1999.