變系數5階Korteweg-de Vries方程的Lax對和自-B?cklund變換研究

王嘉謀，王尚戶，何莉敏

(內蒙古科技大學數理與生物工程學院，內蒙古包頭014010)

隨著研究領域和研究深度不斷擴展，眾多科研工作者逐漸發現常系數非線性發展模型并不能刻畫眾多復雜非線性現象的傳播特性，故為描述孤立波在不同介質中的演變特性，人們紛紛提出眾多含有變系數的模型，如變系數 Korteweg-de Vries(KdV)方程、變系數 Schr? dinger方程、變系數Kadomtsev-Petviashvili方程、變系數 Gardner方程等.文中則以在很多物理環境中廣泛應用的變系數5階KdV方程為研究對象，其形式如下［1-2］:

式中:u(x，t)為孤立波的振幅;f(t)，g(t)，h(t)，k(t)和l(t)分別為實解析函數.方程(1)可用于描述量子力學、非線性光學、江河等領域中存在非均勻傳輸介質孤立子的傳播，包括如下特殊情況:

1) 當f(t)= α，g(t)= β，h(t)= γ，k(t)=1和l(t)=0時，方程(1)變為常系數5階KdV方程:

式中:α，β和γ為任意的非零實常數，而當α =30，β =20和γ =10時，方程(2)為Lax方程［3］;當α =β = γ =5時，方程(2)為Sawada-Kotera方程［4］;當α=β=25和 γ =10時，方程(2)為Kaup-Kupershmidt方程［5］;當 α =2，β =6 和 γ =3時，方程(2)為Ito方程［6］.上述前3個方程都是Lax可積的，故具有無窮守恒律，而由于Ito方程并不是完全可積的，故只有有限的守恒律.

2)當l(t)=0時，方程(1)變為

通過齊次平衡方法和從變系數模型到常系數模型的變換，在文獻［2］中已經推出該方程的Lax對、Darboux變換和一系列解析解.

文中首先利用Ablowitz-KaupN-ewell-Segur(AKNS)變換推導出方程(1)的Lax對，進而構造自-B?cklund變換和一系列的孤子解，最后分析討論不同變系數函數項對孤立波傳播演變特征的影響.

1 變系數5階KdV方程可積性質

1.1 推導Lax對

根據AKNS系統［7-8］，可假設方程(1)具有如下形式的Lax對，即其線性本征值問題為

式中:

式中:φ =(φ1，φ2)T為實列向量;λ 為與x和t無關的譜參數;h(t)，l(t)，A(x，t，λ)，B(x，t，λ)和 C(x，t，λ)為需確定的解析函數，進而通過相容性條件

可確定各待定函數并推出方程(1).

為確定方程(1)的Lax對，可將函數A(x，t，λ)，B(x，t，λ)和 C(x，t，λ)按如下形式展開

式中:ai(x，t)，bi(x，t)和 ci(x，t)為解析函數.將上述各函數帶入相容性條件式(5)中，并分別取譜參數各冪次的系數為零，可得

約束條件為

而

式中:δ為任意實常數，進而由λ的零次冪可推得

而上式即為方程(1)在約束條件(6)下的簡化形式，并具有較好的可積性質，如Lax對、B?cklund變換、非線性疊加公式和孤子解等.

1.2 B?cklund變換

作為一種行之有效的方法，人們可通過構造B?cklund變換構造出眾多的非線性偏微分方程的孤子解，B?cklund變換主要包括兩種不同的形式:兩個不同方程解之間的聯系和同一個方程兩個不同解之間的關系［9］.

為推出方程(7)的自-B?cklund變換，可設θ=φ1/φ2，故方程(4)變為

并可以證明式(8)在如下變換下具有不變性:

式中:u= － qx= －，而 s(t)為積分函數.將式(10)代入式(8)中的第1式，可得方程(7)自 -B?cklund變換中的x部分，

將式(10)代入式(8)中的第2式，經過一系列的處理和運算，可得方程(7)自-B?cklund變換中的t部分，

式中:F=e∫l(t)/2dtδs(t)－ λ，G=－q.

為了簡單，可取 s(t)= λe－∫l(t)/2dt/δ和 δ=20/ε，方程(7)的自 －B?cklund變換可簡化為

2 方程(1)孤子解

一般地，利用自-B?cklund變換(11)，可由方程(7)的一個已知解推導新的解析解.若取ˉu為方程(7)的平凡解，并代入到自-B?cklund變換(11)中，可得

進而可推出5階KdV方程(7)的單孤子型解

式中: － ελ2e－∫l(t)dt和1/λ 代表孤立波的振幅和波寬.

為刻畫孤子解在實際物理環境下的傳播形態，需結合物理背景參數，對式(12)中的參數進行適當選取.

當 ε = －1，λ =0.5，k(t)=1和l(t)=0時，方程(7)具有行波解，其波形和速度在傳播過程中可保持不變，具有很好的孤子特性(圖1).

圖1 方程(7)行波解的傳播演變特征Fig.1 Solution of equation(7)is travelling-wave case with the parameters as shown in the paper

當 ε = －2，λ =0.5，k(t)= －2sin(2t)和l(t)=0時，方程(7)具有非行波解，其速度在傳播過程中隨時間不斷發生周期性變化，但孤波的振幅可保持穩定不變，如圖2a).而當 ε =－2，λ =0.5，k(t)=0和l(t)=sin(2t)時，方程(7)則具有振幅不斷變化的非行波解，即不斷周期性變化，而傳播速度卻可保持穩定不變，如圖2b).當 ε =－ 2，λ =0.5，k(t)=－ 2sin(3t)和 l(t)=1.5sin(t)時，方程(7)則具有振幅和速度隨時間不斷變化的非行波解(圖3).

圖2 方程(7)隨時間不斷變化的非行波解的傳播特征Fig.2 Solitonic solution of equation(7)is beyond the travelling wave

圖3 方程(7)隨振幅和速度時間不斷變化的非行波解Fig.3 Non-travelling wave solution of equation(7)shows that the amplitude and velocity of the wave is periodically variable with the evolution of time

3 結論

文中以含有變系數函數的5階KdV方程為研究對象，首先利用AKNS系統推出該方程存在孤子解得約束條件和Lax對，進而構造出方程的自-B?cklund變換和一系列孤子解，并給出了變系數函數項對孤子傳播特征的影響，通過分析討論可知方程(7)在一定的約束條件下具有豐富的孤子解.基于本文獲得的變系數5階KdV方程的Lax對，可進一步構造方程的非線性疊加公式、Darboux變換、多孤子解、無窮守恒律等可積性質，為描述復雜孤波的傳播特性奠定較好的基礎.

References)

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［9］Konno K，Wadsti M.Simple derivation of B?cklund transformation from riccati form of inverse method ［J］.Prog Theor Phys，1975，53:652-1656.