非強占優(yōu)先權(quán)模型中高優(yōu)先權(quán)顧客隊長平穩(wěn)分布的概率母函數(shù)

潘全如

(江蘇科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

單一的服務(wù)標(biāo)準(zhǔn)往往無法滿足某些業(yè)務(wù)的要求,這就需要把顧客劃分成不同的優(yōu)先等級,按照優(yōu)先級確定其獲得服務(wù)的次序與質(zhì)量.目前具有優(yōu)先權(quán)的模型已獲得了廣泛應(yīng)用[1-2],且已取得了較好的結(jié)果[3-4]，但大多數(shù)都是基于服務(wù)時間服從指數(shù)分布[5-6].文中就非強占服務(wù)規(guī)則建立了服務(wù)時間服從一般分布且有優(yōu)先權(quán)的排隊模型.

1 模型假設(shè)

1)顧客包含i個顧客類,每一類均以泊松流到達(dá)系統(tǒng),第i類顧客的到達(dá)率為λi(i=1,2),不同類型的顧客到達(dá)過程獨立.

2)相同優(yōu)先級的顧客先到先服務(wù);不同優(yōu)先級的顧客根據(jù)優(yōu)先級確定服務(wù)的先后順序.設(shè)第1類顧客的優(yōu)先級高于第2類顧客的優(yōu)先級.

3)系統(tǒng)中只有一個服務(wù)窗口,容量無限.

4)系統(tǒng)為每一類顧客服務(wù)的時間服從一般分布,且第i類顧客的服務(wù)時間分布記為Bi(x),規(guī)定不同類型的顧客服務(wù)過程獨立.

5)若高優(yōu)先權(quán)顧客到達(dá)系統(tǒng)時,低優(yōu)先權(quán)顧客正在進(jìn)行服務(wù),服務(wù)臺并不中斷現(xiàn)有的服務(wù).此高優(yōu)先權(quán)的顧客一直等到正被服務(wù)的低優(yōu)先權(quán)顧客服務(wù)完畢,才開始接受服務(wù).

2 模型分析

假定λ1β1+λ2β2<1及系統(tǒng)平穩(wěn)分布存在.令qn(i)分別為在第n次離開系統(tǒng)后的瞬間,系統(tǒng)中第i(i=1,2)類顧客的隊長.記qn(1)的平穩(wěn)分布的母函數(shù)為

(1)

P0為顧客第n次離開后瞬間系統(tǒng)中沒有顧客的概率,易知

P0=1-λ1β1-λ2β2

(2)

再令

(3)

定理在非強占優(yōu)先權(quán)下,第1類顧客離開系統(tǒng)后的瞬間,第1類顧客的隊長平穩(wěn)分布的概率母函數(shù)記為Q1(z),則

(4)

其中

(5)

E{zqn+1(1)|qn(1)>0}P{qn(1)>0}+

E{zqn+1(1)|qn(1)=0,qn(2)=0}P{qn(1)=0,

qn(2)=0}+E{zqn+1(1)|qn(1)=0,

qn(2)>0}P{qn(1)=0,qn(2)>0}

(6)

記E1=E{zqn+1(1)|qn(1)>0}P{qn(1)>0}

E2=E{zqn+1(1)|qn(1)=0,qn(2)=0}P{qn(1)=0,qn(2)=0}

E3=E{zqn+1(1)|qn(1)=0,qn(2)>0}P{qn(1)=0,qn(2)>0}

在E1中,當(dāng)qn(1)>0時,qn+1(1)=qn(1)-1+vn+1(1),其中vn+1(1)是在一個第1類顧客的服務(wù)時間中到達(dá)的第1類顧客的數(shù)目,其概率母函數(shù)為

(7)

所以E1=E{zqn(1)-1+vn+1(1)|qn(1)>0}·

P{qn(1)>0}=E{zqn(1)|qn(1)>

0}z-1E{zvn+1(1)}P{qn(1)>0}=

(8)

E2=P0E{zqn+1(1)|qn(1)=0,qn(2)=0}=

(9)

(10)

(11)

令G1(z)=P{xn+1=1}E{zqn+1(1)|xn+1=1}

(12)

則G1(z)=E{zqn+1(1)}-P{xn+1=0}·

P{qn(1)=0,qn(2)>0}E{zqn+1(1)|qn(1)=0,qn(2)>0},將E3代入得:

將(11)代入(13)得:

(14)

(15)

于是由Q1(z)的定義及式(12)得:

3 結(jié)論

優(yōu)先權(quán)排隊理論具有重要的應(yīng)用價值,文中對非強占優(yōu)先一類特殊M/G/1模型中高優(yōu)先權(quán)顧客隊長概率母函數(shù)作了定量分析.關(guān)于優(yōu)先權(quán)理論還有很多值得進(jìn)一步研究的問題,比如系統(tǒng)的利用率[7-8]、顧客類多于兩個的情況等等.

[1] 朱廣萍.優(yōu)先權(quán)排隊問題的分析[J].西南民族大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2004,30(2):134-137.

Zhu Guangping.An analysis of the queuing system of priority[J].JournalofSouthwestUniversityforNationalities:NaturalScienceEdition,2004,30(2):134-137.(in Chinese)

[2] 戴琳,秦叔明,張衛(wèi)鋒.普通顧客排隊且排隊顧客優(yōu)先的混合排隊問題[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報,2012,29(5):689-695.

Dai Lin,Qin Shuming,Zhang Weifeng. A mixed queueing problem with common customers queue and the queueing priority[J].ChineseJournalofEngineeringMathematics,2012,29(5):689-695. (in Chinese)

[3] 劉建民.高負(fù)荷下帶重尾服務(wù)強占優(yōu)先排隊的擴散逼近[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2010,26(4):559-566.

Liu Jianming. A heavy traffic diffiusion approximation for preemptive resume priority queueing with heavy tailed service[J].PureandAppliedMathematics,2010,26(4):559-566. (in Chinese)

[4] 徐祖潤,李敏捷,朱翼雋,等.帶負(fù)顧客和強占優(yōu)先權(quán)的不耐煩信元排隊[J]. 數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2010,40(23):142-148.

Xu Zurun,Li Minjie,Zhu Yijun,et al. Impatient cells’ queueing with negative customers and preemptive priority[J].MathematicsinPracticeandTheory,2010,40(23):142-148. (in Chinese)

[5] 徐祖潤,李敏捷,潘全如.帶有負(fù)顧客的M/M/c 單重工作休假排隊[J]. 江蘇科技大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2011,25(5):500-504.

Xu Zurun,Li Minjie,Pan Quanru. M/M/c queue with negative customers and single working vacation[J].JournalofJiangsuUniversityofScienceandTechnology:NaturalScienceEdition,2011,25(5):500-504. (in Chinese)

[6] 潘全如,朱翼雋,陳佩樹.有反饋和N-策略多重休假的M～X(G,G-m)/1排隊模型[J].江蘇科技大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2007,21(5):80-85.

Pan Quanru,Zhu Yijun,Chen Peishu. An M～X/(G,G-m)/1 queue model with N-policy,multiple vacation and feedback[J].JournalofJiangsuUniversityofScienceandTechnology:NaturalScienceEdition,2007,21(5):80-85. (in Chinese)

[7] Pan Quanru.Low priority customer behavior analysis of an M/G/1 model with nonpreemptive priority[J].MathematicaAeterna,2013,3(3): 201-204.

[8] 謝錦山,陳德南.倉庫容量有限條件下的離散型隨機存貯管理策略[J].龍巖學(xué)院學(xué)報,2010,28(5):15-18.

Xie Jinshan,Chen Denan. Discrete random storage strategy under condition of limited storage capacity[J].JournalofLongyanUniversity,2010,28(5):15-18. (in Chinese)