Matlab軟件在單擺自由振動中的應用

李 碩， 趙彤帆， 李根全， 宋海珍

(1.南陽師范學院物理與電子工程學院，河南 南陽 473061;2.河南省教育廳 電教館，河南 鄭州 450004)

0 引言

1 大角度自由振動單擺周期與角振幅的關系曲線

分析一個機械結構的振動特性時需要去掉某些次要因素，把其簡化為動力學模型，同時確定其自由度數。以擺動為例，最簡單的是保守力場中無阻尼的單擺模型，設懸線長為 l、擺角為 θ(θ＜5°)，取擺長 l=1、重力加速度g=9.8，可以計算出單擺小角擺動時的微分方程為

式(2)是單擺小角擺動時的微分方程，也是簡諧振動的動力學方程，式(2)的解為

式中，Aθ、α是由初值條件來決定的待定常數。

若大角度擺動，不能近似用sin θ≈θ，微分方程由式(1)改為

小角度單擺的周期為

改變擺角的大小，用數值計算法和相圖法研究大角度單擺的周期變化。通過求解式(4)的數值解和已有的實驗研究[12]，得到在大擺角下單擺周期與角振幅的關系

利用Matlab畫圖我們可以清楚的看到大角度單擺的周期變化，結果如圖1、2所示。

大數據背景下，市場營銷的內涵得到了明顯的更新，在這種情況下，企業就應積極地創新營銷方式，將企業文化、理念、信譽以及服務進行有機的融合，銷售給消費者以及一切潛在的客戶，最終在完成產品交易的同時，傳播企業文化，真正實現品牌營銷。除此之外，企業還應不斷增加品牌價值，加大宣傳以及展示力度，促使企業營銷管理能夠緊隨大數據時代的發展，樹立良好的企業核心競爭力。

圖1 大角度單擺的周期變化

圖2 不同擺角的位移曲線

圖1表示角振幅A(最大擺角)在0，π()/2內變化時相對應的周期變化，隨著角振幅增大，周期不斷變大。圖2說明在無阻尼情況下，小角度和大角度單擺都呈周期性變化，角振幅越大周期越長。圖1和圖2所表現的結果符合式(6)。

2 大角度自由振動單擺的相圖

在單擺的擺動問題中，系統自由度為1，選取廣義坐標θ來描述單擺的運動。系統動能為，勢能為 V=mgl(1 －cos θ)，能量關系為

由式(7)可以得到角速度

式(8)給出了角度和角速度的關系，使用Matlab軟件，根據式(9)畫出圖3中單擺不同能量下的運動狀態。

相圖是相平衡系統和一些參數(能量、角度、角速度)的關系圖，圖像可以方便地判斷系統的穩定性，漸近穩定性等。E＜2mgl，單擺能量較小，其軌跡為一閉合的橢圓曲線。E＞2mgl，擺在勢場中作定向運動，其軌跡是兩條不相交的曲線，θ可以趨向 ±∞。E=2mgl，運動出現了臨界狀態(圖3中曲線的交點，即鞍點)，下一刻的運動具有不確定性，由此出現了非線性現象[13]，在非線性振動中，輕微擾動會使系統出現間斷和分岔。

圖3 不同能量單擺的相圖

3 大角度阻尼振動單擺的相圖

如果考慮阻尼影響，將式(4)改為

對于耗散系統，研究的是系統長時間的行為。根據式(11)，用Matlab軟件繪制阻尼振動單擺的相圖。

圖4(a)中說明單擺的在耗散系統中出現了混沌，這種集合環繞形象稱為“奇怪吸引子”。對于相圖中的混沌軌道，可以看出在保守系統中能量的耗散。比較圖4(a)和(b)，阻尼系數做微小的改變，對系統進行輕微擾動，長時間后的變化卻是巨大的，這體現了混沌現象的隨機性和不可預測性。

圖4 有阻尼單擺的相圖

4 彈簧單擺微分方程的求解及動畫效果

設質量為m的擺球掛在勁度系數為k的輕彈簧上，彈簧原長為l0，則系統靜止時彈簧自然下垂長度為l=l0+mg/k，讓擺在豎直平面內自由擺動。系統自由度為2，設r為擺球到固定點的距離，擺角為θ。系統的拉格朗日函數為

由式(12)根據Lagrange方程求出系統的微分方程

為了方便程序的編輯，令 y1=r，y2=，y3= θ，y4=，將式(13)改寫為

給出彈簧單擺編輯程序，了解如何求解簡單的微分方程數值解，建立M文件，文件名存為thb_rk4_5.m，程序編輯如下:

在命令窗口輸入:

時間的終點可以自由改動，所得的數值解可以得到變量之間的關系圖。程序中設定y1、y2、y3、y4的初值均為 1，即當 r(0)=1(0)=1 時得到圖5(a);當(0)=1(0)=1 時得到圖5(b)。

Matlab軟件用于求出微分方程的數值解，簡化了傳統計算微分方程的復雜性[14]。圖5中可以清楚地看到在一定時間內，角度、角速度的變化。在角度趨近零度時，總擺長總是有增大趨勢。說明擺長和角度不是簡單的線性關系，與彈簧的勁度、角速度都有關系(通過改變勁度、角度、角速度任一系數可以觀察相圖變化)。Matlab軟件選取不同的參數[15-16]，可以觀察所選取參數的變化規律。

彈簧擺的運動由于實驗器材帶來的誤差，使得實驗效果不佳，在教學過程中，可以利用Matlab軟件的3D視圖動畫效果觀察擺動現象，如圖6所示，使用pause命令設定擺動時間。

圖5 求解彈簧擺微分方程數值曲線

圖6 彈簧擺的動畫效果

圖6是彈簧擺的動畫，擺球下面的曲線是擺球運動的軌跡，使用Rotate 3D命令可以拖動圖像旋轉，可以從不同角度觀察，這種視圖效果可以直接看到擺動效果，而且彌補了實驗帶來的操作誤差。

5 結語

本文以單擺自由振動為例，展現了Matlab軟件在微分方程求解、動畫視圖、計算結果可視化方面的應用。結果表明，用Matlab處理自由振動問題，可使計算快捷高效，計算結果物理意義清晰，而且大大提高了同學們的學習興趣和自學能力。

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