一種非對稱3－(2SPS)并聯機構可達工作空間分析

王少鋒，李開明

(南京理工大學機械工程學院，江蘇南京210094)

0 引言

并聯機構由于具有剛度大、承載力強、位置精度高、慣量小、響應快等優(yōu)良特性，在工業(yè)生產、醫(yī)療衛(wèi)生以及航空航天等領域均有廣泛的應用［1］。目前，大多數并聯機構均采用對稱式結構設計，相對于非對稱式并聯機構，它具有正向求解容易，控制簡單方便，加工制造容易等特性［2-5］。

然而，針對某些方向性能要求較高而其他方向要求相對較低的特殊應用場合，對稱式的并聯機構就不太合適［6-7］。例如，用于測試氣體沖擊射流的試驗平臺，被試驗件的受力主要源自于氣體射流的沖擊力，其方向大體沿射流的沖擊方向，因而在這一方向需要機構具有較好的穩(wěn)定性;同時，為了能夠動態(tài)模擬射流的沖擊力，試驗平臺在射流方向還需要有較長的工作空間。據此特性，本文研究了一種非對稱式3-(2SPS)并聯機構，其動平臺為等腰梯形，定平臺上的6個鉸鏈點成非對稱分布，且不共面，其可達工作空間成逗號“，”型，可初步滿足該實驗要求。

1 機構描述

非對稱3－(2SPS)并聯機構的CAD模型圖和結構簡圖如圖1所示，它由定平臺、動平臺及連接兩平臺的6根可伸縮驅動支鏈組成。每根驅動支鏈均采用伺服電動機—滾珠絲杠副驅動，兩端分別通過球鉸與定平臺和動平臺相連。相鄰的兩根驅動支鏈采用伺服電動機同步驅動，組成一組平行雙聯驅動副，以約束動平臺的轉動，使其只有3個平移自由度。因此非對稱3－(2SPS)并聯機構為3平移并聯機構，由并聯機構自由度公式［1］：

圖1 非對稱三自由度并聯機構

式中：M表示機構的自由度;d表示機構的階數;n為包括機架在內的構件數目;g為運動副的數目;fi表示第i個運動副的自由度;v為冗余約束數目;ε為機構中存在的局部自由度。

可知機構具有6自由度。但是，由于機構中包含3條同步驅動的運動約束，因此，具有平行雙聯驅動副的非對稱3－(2SPS)并聯機構的自由度為3。

機構動平臺上的4個球鉸成等腰梯形布置，梯形的平行短邊長與腰長相等，即B5B16=B16B23=B23B4，其中平行短邊B16B23的兩端為復合球鉸。最外側的兩組平行驅動副在定平臺上的4個鉸鏈點共面，且與中間桿組鉸鏈的中點相距s，如圖1(b)所示。

2 位置分析

如圖 1(b)所示，建立動坐標系o＇－x＇y＇z＇和定坐標系o－xyz。定、動平臺上各鉸鏈點在坐標系中的投影幾何關系如圖 2 所示，圖中點Ci，Ci＇(i=1，2，3)分別為每組平行驅動副的鉸鏈點在定平臺和動平臺上的中點。動坐標系原點o＇為動平臺的外接圓圓心，o＇x＇軸垂直于動平臺;定坐標系原點o為C2C3中點，ox軸垂直于A3A4、A5A6構成的平面。∠C2C1C3=90°，C2C3=2OC1=2R，每組平行驅動副鉸鏈點之間的距離相等且為h，動平臺外接圓半徑為r，梯形的底角為α，且有α=2arcsin(h/2r)。

根據幾何關系，定平臺中各鉸鏈點在定系中的位置矢量為：

式中，p=h/2cosα，q=h/2sinα

圖2 定、動平臺鉸鏈點幾何關系

同理，動平臺各鉸鏈點在動系下的位置矢量為：

式中，w=rcosα/2

由于非對稱3－(2SPS)并聯機構只具有3個移動自由度，因此其姿態(tài)變換矩陣為3階單位矩陣I3。設動坐標系o＇－x＇y＇z＇在定系o－xyz中的位置矢P0=(x0y0z0)T，則動平臺鉸鏈點在定系中的位置矢量表示為：

各驅動支鏈的桿長矢量在定坐標系中可表示為：

從而驅動桿的長度，也就是機構的反解為：

將上述各式代入式(5)中，即可得到非對稱3－(2SPS)并聯機構的唯一反解方程：

式中，t=R－w，m=R－p－h(huán)/2，n=q－w。

對(6)進行代數運算，即可得到非對稱3－(2SPS)并聯機構的位置正解。然而，由于并聯機構結構的復雜性，位置正解的難度一般較大，在求解時通常采用數學推導軟件來輔助求解。

對于式(6)，可以很容易的求解出y0：

將其代入式(6)后，式(6)可化簡成一個二元二次方程組。借助于Matlab數值分析軟件求解簡化后的方程組，可以得到該機構的全部正解方程。從求解結果來看：y0，z0均為唯一解，只有x0具有兩個解。這表明，非對稱3－(2SPS)并聯機構對應一組給定的驅動桿桿長，可能會有2種可能的位形，而這2種可能位形只在x軸方向的取值不一。

3 可達工作空間分析

并聯機構的可達工作空間是指機構末端操作器上某一參考點可以達到的所有點的集合，它的大小是衡量并聯機構性能的重要指標，也是進行機構設計的重要依據。影響并聯機構工作空間的主要因素包括機構的結構尺寸、鉸鏈的轉角范圍以及各支鏈之間的干涉等。其求解在很大程度上依賴于機構位置解的研究結果，至今也沒有非常完善的方法。對于比較簡單的機構，如平面機構，其工作空間的邊界可以用解析表達;而對于空間6/6型并聯機構，目前還只有數值法。

3.1 約束條件分析

影響非對稱式3－(2SPS)并聯機構可達工作空間的因素包括：驅動支鏈的長度限制，定、動平臺上的球鉸轉角范圍限制，以及每組平行驅動桿之間的支鏈干涉。

1)驅動支鏈長度限制。對于每根驅動桿，必須滿足：

此處Lmin和Lmax是支鏈所能達到的最短長度與最長長度。當其中的一條支鏈達到最長或最短桿長時，上平臺即處于工作空間的邊界位置。

2)球鉸轉角范圍限制。球鉸副的轉角由球鉸的姿態(tài)向量npi和與球鉸相連接的驅動桿的方向矢量li來確定。設球鉸的許用半錐角為θmax，則驅動桿的轉角θ需滿足：

3)平行驅動桿之間的支鏈干涉。假設Di(i=1～3)為每組平行驅動桿中心線之間的最短距離，由于每一組平行驅動桿在運動的過程中始終保持平行，則它們不發(fā)生干涉的條件為：

式中：D為驅動桿的最大直徑。

3.2 實例計算分析

設定該機構的動平臺外接圓半徑r=350mm，平行桿鉸鏈點間距h=350mm，α=60°;定平臺外接圓半徑R=620mm，s=300mm;伸縮桿最短lmin=650mm，最長lmax=1200mm，桿最大直徑D=80mm;球鉸的轉角范圍 θ=70°。

借助Matlab數值計算軟件，采用邊界搜索法繪制出非對稱3－(2SPS)并聯機構可達工作空間的三維表面圖，如圖3所示。圖4為工作空間在二維平面上的截面圖。

圖3 工作空間三維表面圖

圖4 工作空間二維截面圖

從圖3中的整體外形來看，非對稱3－(2SPS)并聯機構的可達工作空間形似逗號(“，”)，其左側較大，右側狹小，中間向上拱起，邊界表面為光滑的弧形，內部不存在空洞。從圖4(a)、圖4(c)可以看出，該機構的工作空間關于xoz平面對稱。從圖4(b)可以看出，機構在左半部分有較大的工作空間，而這一側也正好是中間桿組偏置的那一側;在右半部分則為一條狹長的弧形。

利用左側區(qū)域，可以定姿態(tài)測量沖擊射流，并且具有較大的調節(jié)范圍;而左側至右側的這一狹長區(qū)域，則可用來動態(tài)模擬沖擊射流。

4 結論

在對非對稱3－(2SPS)并聯機構進行位置分析的基礎上，借助于MATLAB軟件繪制出了該機構的可達工作空間三維表面圖及在各坐標軸方向的二維截面圖。從分析的結果可以看出，非對稱3－(2SPS)并聯機構的可達工作空間可基本滿足氣體沖擊射流對測試平臺結構的要求，為后續(xù)研究提供了參考。

［1］黃真，趙永生，趙鐵石.高等空間機構學［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［2］王銀，李開明.并聯機器人單支鏈伺服控制研究［J］.機械制造與自動化，2011，40(6)：167-170.

［3］高繼良，李開明，陳有清.3－(2SPS)并聯機構的工作空間分析及結構參數對其影響分析［J］.機床與液壓，2011，39(23)：51-54.

［4］陳海真，鄒忠月，郝秀清.一種新型三平移并聯機構運動輸出及工作空間分析［J］.機床與液壓，2010，38(5)：24-26.

［5］姚裕，吳洪濤，張召明，等.基于并聯機構的六分量并聯天平及其力雅克比矩陣研究［J］.機械科學與技術，2004，23(7)：768-770.

［6］吳孟麗，張大衛(wèi)，趙興玉.一種新型非對稱并聯機構的運動學分析［J］.中國機械工程，2008，19(12)：1423-1428.

［7］胡波，路懿，許佳音.一種新型兩移一轉非對稱并聯機構的運動學及靜力學［J］.燕山大學學報，2008，32(4)：290-294.