數形結合 妙求矢量合成

姜順忠

（江蘇省揚州中學，江蘇 揚州 225009）

高中物理要求學生能夠根據物理問題的實際情況和所給的條件，恰當的運用幾何圖形、函數圖像等形式和方法進行分析、表達.另一方面，抽象思維與數學方法相結合，也是物理科學探究的基本方法.基于此，無論在高考還是物理競賽或自主招生考試中，對學生利用數學的特點、規律進行推導、求解和合理外推的能力都提出了更高的要求.

有一道自主招生的試題：正N邊形的頂點依次分布著電荷量為q，2q，4q…2N-1q的電荷，多邊形中心到各頂點距離為R，求中心O處的合場強.

解法1：如圖1，以多邊形的中心O為原點，q與O的連線為x軸建立如圖1所示的直角坐標系.現用復數來表示各個電荷產生的電場強度矢量.

電荷量為q的第1個電荷產生的電場強度矢量用復數的形式可表示為

圖1

電荷量為4q的第3個電荷產生的電場強度為

電荷量為2N-1q的第N個電荷產生的電場強度表示為

以上運算應用了公式（cosθ＋isinθ）n＝cosnθ＋isinnθ，中心O處的合場強就可以用上述N 個復數的和表示.注意到E1、E2、E3、…、En是一個首項為1＝，公比為的等比數列，應用求和公式可得取復數的模即得電場強度的大小E＝｜Z｜＝

圖2

圖3

圖4

圖5

以上第1種解法應用復數表示矢量，思路清晰，容易理解，但要求學生對復數的運算比較熟練.第2種解法巧妙的應用了矢量的旋轉，方法獨特，但避開了復雜的數學運算，可謂小技巧解決了大問題.另外，第1種解法中可以用復數Z的幅角表示中心處場強的方向，第2種解法中可用E和E0之間的夾角表示場強的方向，這里就不再贅述了.