不可微非線性方程的非精確牛頓型法的半局部收斂性*

郭曉梅, 徐秀斌, 詹銅霞

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

不可微非線性方程的非精確牛頓型法的半局部收斂性*

郭曉梅, 徐秀斌, 詹銅霞

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

在求解非線性算子方程H(x)=0時,若H(x)的導數不存在,則可用非精確牛頓型法代替牛頓法求解;在 H?lder條件及H?lder中心條件下,給出了收斂性判斷的條件,及半局部收斂性的證明;最后,給出了一個具體例子進行應用.

不可微非線性算子方程;非精確牛頓型法;半局部收斂;H?lder條件;H?lder中心條件

0 引 言

令X和Y是Banach空間,D是X的一個開凸子集,考慮如下的非線性方程:

求解非線性方程(1)的近似解是一個重要的問題,因為大量的不同類型的實際問題都可歸結為對非線性方程的求解,例如微分方程、邊界值問題、積分方程等.目前,在H是Fréchet可導的條件下,常常用非精確迭代程序來求解非線性方程(1),其迭代式為(初始點x0給定)

式(2)中,殘余序列{rn}的選擇影響著非精確牛頓法的收斂性.例如,文獻[1-2]給出了非精確牛頓法(2)的半局部收斂定理,其中殘余序列{rn}滿足

‖rn‖≤ηn‖H(xn)‖,

此時,0≤ηn<η<1.文獻[3]利用Lipschitz條件在開集B(x0,δ)里給出了非精確牛頓法(2)的半局部收斂定理,此時{rn}滿足

‖H′(x0)-1rn‖≤ηn‖H′(x0)-1H(xn)‖1+β,β≥0.

文獻[4]給出了非精確牛頓法(2)的半局部收斂定理,其殘余序列{rn}滿足

‖H′(x0)-1(rn-rn-1)‖≤ηn‖xn-xn-1‖.

然而,當H不可導時,非精確牛頓迭代法就不能用來求解非線性方程.諸多文獻[5-7]考慮將H分解為可導部分F和不可導部分G,即

H(x)=F(x)+G(x).

其中:F:D?X→Y是一個Fréchet可導的算子;G:D→Y是一個連續算子.

在這種情況下,也已有諸多研究.例如,文獻[5]考慮修正牛頓法

xn+1=xn-(F′(xn))-1(F(xn)+G(xn)),x0∈D,n≥0.

文獻[6]考慮迭代

式(3)中,A(xn)∈L(X,Y)是從X到Y的有界線性算子,近似于F(xn)的Fréchet導數F′(xn).文獻[7]將非精確牛頓法與式(3)相結合,得到了一種非精確牛頓型迭代法,其表達式為

本文主要通過利用H?lder條件、H?lder中心條件和控制條件‖F′(x0)-1(rn-rn-1)‖≤ηn‖xn-xn-1‖,研究非精確牛頓型迭代法(4)的半局部收斂性,其中0≤ηn<η<1.

1 半局部收斂性分析

首先給出引理,然后在引理的基礎上證明非精確牛頓型迭代法(4)的半局部收斂性.

引理1假設存在常數L≥0,ω1≥0,L0≥0,μ1≥0,η≥0,β≥0,p∈(0,1],q∈(0,1),使得

式(5)中:α=(p+1)(ω1+μ1+η);δ=q(p+1).則由t0=0,t1=β,

證明 先用歸納法證明式(7)和如下2個式子同時成立:

當n=0時,由t0=0,t1=β有

因為Lβp+δL0βp+α<δ(1-ω1)成立,所以

δ(1-ω1)-δL0βp>Lβp+α;

因此,

則當n=0時,式(7)～式(9)成立.

(12)

從而可得對于n=k時式(8)成立.

(13)

因為

將上面3個式子代入式(13),可得1-ω1-L0tpk+1>0,即式(9)成立.

因為δ=q(p+1),所以

L(tk+1-tk)p+δL0tpk+1+α≤δ(1-ω1);

L(tk+1-tk)p+α≤δ(1-ω1-L0tpk+1);

當n=k時,

又由式(14)可得tk+2-tk+1≥0,即當n=k時式(7)成立.因此,當n=k時,式(7)～式(9)成立.

最后證tn≤t**.由于

所以,當n=0,1,2時,tn≤t**成立.假設對于所有n≤k-1,tn≤t**均成立,則當n=k時

tk≤tk-1+q(tk-1-tk-2)≤tk-2+q(tk-2-tk-3)+q(tk-1-tk-2)≤…≤

t1+q(t1-t0)+q(t2-t1)+…+q(tk-1-tk-2)≤

(15)

所以{tn}單調遞增有界,收斂于t*≤t**且有

0≤tn+2-tn+1≤q(tn+1-tn)≤…≤qn+1t1=qn+1β.

引理1證畢.

根據引理1,給出非精確牛頓型迭代法(4)的半局部收斂定理.

定理1假設F:D?X→Y是一階連續Fréchet可導的非線性算子,G:D→Y是一連續算子,D是X的開凸子集,A(x)∈L(X,Y)近似于F′(x).若存在初始點x0∈D,使得F′(x0)-1∈L(Y,X)及A(x0)-1∈L(Y,X)存在,且有常數p∈(0,1],β≥0,μ1≥0,L≥0,L0≥0,ω1≥0,0≤ηn<η<1(n=0,1,2,…),對于所有的x,y∈D,有

其中,{tn}如引理1所定義.若存在R0≤t*,使得

證明 先證

當k=0時,由式(4)有

‖x1-x0‖=‖A(x0)-1(F(x0)+G(x0)-r0)‖≤β=t1-t0.

‖z-x0‖≤‖z-x1‖+‖x1-x0‖≤t*-t1+t1-t0=t*-t0,

下面假設當k=n-1時結論成立,即有

當k=n時,

對θ∈(0,1), 有

‖xn-1+θ(xn-xn-1)-x0‖≤‖xn-1-x0‖+θ‖xn-xn-1‖≤tn-1+θ(tn-tn-1)≤t*.

由式(9)、式(19)和式(20)可得

‖F′(x0)-1(A(xn)-F′(x0))‖=‖F′(x0)-1(A(xn)-F′(xn)+F′(xn)-F′(x0))‖≤

‖F′(x0)-1(A(xn)-F′(xn))‖+‖F′(x0)-1(F′(xn)-F′(x0))‖≤ω1+L0tpn<1.

故由Banach引理有

由式(17)、式(18)、式(20)及式(21)可推得

‖F′(x0)-1(F(xn)+G(xn)-rn)‖≤

‖F′(x0)-1(F′(xn-1)-A(xn-1))‖5‖xn-xn-1‖+

(28)

所以,由式(27)、式(28)及引理1可得

‖xn+1-xn‖=‖A(xn)-1(F(xn)+G(xn)-rn)‖≤

‖A(xn)-1F′(x0)‖5‖F′(x0)-1(F(xn)+G(xn)-rn)‖≤

(29)

L0∫10[θt*+(1-θ)R0]pdθ<1.

2 應 用

下面考慮一個特殊的非線性算子,即第二類Hammerstein積分方程.

令μ∈R,p∈(0,1],

式(30)中:l(s)是一個連續函數,對?s∈[a,b],l(s)>0;g是[a,b]×[a,b]上的非負連續函數.若g(s,t)是定義如下的格林函數:

則式(30)等價于如下的邊界值問題:

則式(30)相當于[H(x)](s)=0的解.令

則有

令x0∈C[a,b],則

‖I-F′(x0)‖≤M((1+p)‖x0‖p+μ).

則

又因為

所以

‖F′(x)-F′(y)‖≤M(1+p)‖x-y‖p,

因此,

文獻[3,7-8]都對此問題有應用研究.本文考慮一個特殊的第二類Hammerstein積分方程,用以說明定理1的優越性.

令a=0,b=1,

則

又根據‖F′(x0)-1(G(x)-G(y))‖≤μ1‖x-y‖得

取x0=0,η=maxηn=0.1,q=0.8,則

|M((1+p)‖x0‖p+μ)|=0.937 5<1.

即式(31)成立.將L,L0,β,α,p,δ的值代入引理1,可得式(5)成立,即

由定理1的證明過程知,可以用非精確牛頓型法(4)解決此問題.

[1]Dembo R S,Eisenstat S C,Steihaug T.Inexact Newton methods[J].Numer Anal,1982,19(2):400-408.

[2]Eisenstat S C,Walker H F.Choosing the forcing terms in an inexact Newton method[J].SIAM J Sci Comput,1996,17(1):16-32.

[3]Argyros I K,Ren H.Kantorovich-type semilocal convergence analysis for inexact Newton methods[J].Comput Appl Math,2011,235(9):2993-3005.

[4]Guo Xueping.On semilocal convergence of inexact Newton methods[J].Comput Math,2007,25(2):231-242.

[5]Argyros I K.The Newton-Kantorovich method under mild differentiablility conditions and the Ptk error estimates[J].Mh Math,1990,109(3):175-193.

[6]Argyros I K.A convergence theorem for Newton-like methods under generalized Chen Yamamoto-type assumptions[J].Appl Math Comput,1994,61(1):25-37.

[7]Argyros I K,Hilout S.Weak convergence conditions for inexact Newton-type methods[J].Appl Math Comput,2011,218(6):1-10.

[8]Shen Weiping,Li Chong.Convergence criterion of inexact methods for operators with H?lder continuous derivatives[J].Taiwanese Journal of Math,2008,12(7):1865-1882.

(責任編輯 陶立方)

SemilocalconvergenceofaninexactNewton-typemethodforsolvingnondifferentiableequations

GUO Xiaomei, XU Xiubin, ZHAN Tongxia

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

It was focused on solving a kind of nonlinear operator equationsH(x)=0 without differentiability of the operator. An inexact Newton-type method was constructed, the semilocal convergence under the H?lder condition and the H?lder center condition was obtained. Finally, a numerical example was used as an application.

nondifferentiable nonlinear operator equation; inexact Newton-type method; semilocal convergence; H?lder condition; H?lder center condition

O241

A

1001-5051(2013)04-0401-07

2013-05-10

國家自然科學基金資助項目(61170109)

郭曉梅(1989-),女,浙江金華人,碩士研究生.研究方向:非線性數值逼近.