交叉積的有限表現維數*

沈炳良，劉 玲

(1.上海財經大學浙江學院 公共基礎教育部，浙江 金華 321013;2.浙江師范大學 數理與信息工程學院，浙江 金華 321004)

0 引言

Blattner 等［1-2］在1986 年分別獨立地把群上交叉積的理論推廣到Hopf 代數，定義并研究了Hopf 代數上的交叉積.交叉積作為Smash 積的推廣，在Hopf 代數的擴張理論中起著重要的作用:帶有可逆余循環的交叉積即為Cleft 擴張［2-3］，且利用交叉積，可構造新的Hopf 代數.文獻［4］對Cleft 擴張下的表示型和Nakayama 性質進行了研究.

同調代數是代數學的一個重要分支，它的興起對群、李代數與結合代數的研究起了非常重要的作用.其中，環的同調維數是近代環論中的一個重要的研究領域.自20 世紀60 年代以來，同調維數一直是環論研究的重要課題，特別是非交換環的同調維數的研究極大地豐富和發展了同調代數理論，它的理論和方法對代數學和其他相關學科的研究起著重要作用.

本文主要探討Hopf 代數上的交叉積A#σH 和其子代數A 之間的有限表現維數的關系，并且研究交叉積A#σH 成為n-Gorenstein 代數的條件.

1 基本定義

本文中，k 表示一個固定的域，所有的工作將在k 上進行;?和Hom 分別表示為?k和Homk;對于代數A，其左A-模范疇記為A-Mod;對于左A-模M，其內射維數記為inj.dim M.

首先回顧交叉積的定義.若存在k-線性映射H?A→A，記為h?a|→h·a，使得

則稱Hopf 代數H 可測量代數A;若存在映射τ∈Hom(H?H，A)，使得

則稱映射σ∈Hom(H?H，A)是卷積可逆的.

設H 為Hopf 代數，A 為代數，且H 可測量代數A，σ 是卷積可逆的.A 與H 的交叉積A#σH 定義為:作為向量空間時為A?H，并帶有以下乘法:

其中:?h，k∈H;a，b∈A.這里張量積a?h 記為a#σh.

引理1［1-2］A#σH 為帶有單位元的結合代數當且僅當以下條件成立:

1)A 是扭曲H-模，即1·a=a，?a∈A，且

2)σ 是余循環，即σ(h，1)=σ(1，h)=ε(h)1，?h∈H，且

注意:若σ 是平凡的，即σ(h，k)=ε(h)ε(k)1，?h，k∈H，則1)可簡化為A 是H-模;2)是平凡的.此時，A 為左H-模代數.故交叉積簡化為Smash 積［5］.

Ho［6］于1984 年定義了一種新的同調維數——有限表現維數.

定義1［6］設A 是環，M 是左A-模.記M 的有限表現維數為f.p.dim M，并定義為

稱達到下確界的(*)正合列為M 的有限表現分解.若對任意自然數n，沒有正合列(*)，則規定f.p.dim M=∞.

定義2［6］設A 是環.A 的有限表現維數，記作f.p.dim A，定義

由定義1 知，左A-模M 是有限表現的??f.p.dim M=0，且f.p.dim A=0??A 是Noether 環.因此，有限表現維數可以度量任意模與有限表現模的差距，也可以度量任意環與Noether 環的差距.值得注意的是，環的有限表現維數可能比其整體維數小得多.例如Z4，其理想(2)的投射維數為∞，故整體維數為∞.但Z4是Noether 環，故其有限表現維數為0.

2 A#σH 的有限表現維數

接下來將探討交叉積A#σH 和其子代數A 之間的有限表現維數的關系.

考慮以下2 個函子:

其中:A#σH 的右A-模結構是其乘法，即(a#σh)·b=(a#σh)(b#σ1H);A(-)是限制函子.

引理2 設H 是有限維Hopf 代數，A#σH 為交叉積，則(A#σH?A-，A(-))和(A(-)，A#σH?A-)都為伴隨對.

證明 由伴隨結構定理知，(A#σH?A-，A(-))為伴隨對.因為A #σH/A 是右H-Galois 擴張［3］，所以由文獻［7］中的定理9 知，(A(-)，A#σH?A-)也為伴隨對.引理2 證畢.

注1 設(F，G)為Abel 范疇間的伴隨對.若G 是正合的，則F 保持投射對象;若F 是正合的，則G保持內射對象.因A #σH 作為左右A-模都是有限生成自由的，故函子A#σH?A-和A(-)都是正合的，從而它們保持投射對象和內射對象.

引理3 設H 是有限維Hopf 代數，A#σH 為交叉積，則

1)對任意左A#σH-模M，f.p.dimAM≤f.p.dimA#σHM;

2)對任意左A-模M，f.p.dimA#σH(A#σH)?AM≤f.p.dimAM.

證明 1)直接由注1 可得.

2)不妨假設f.p.dimAM=n ＜∞.設

為AM 的有限表現分解，則由注1 得

是正合的.其中每個(A#σH)?APi都是投射A#σH-模，且顯然(A#σH)?APn+1，(A#σH)?APn是有限生成的.由此可得f.p.dimA#σH(A#σH)?AM≤n.引理3 證畢.

引理4［4］設H 是有限維半單Hopf 代數，A#σH 為交叉積，則對任意左A#σH-模M，M 為(A#σH)?AM 的A#σH-直和項.

命題1 設H 是有限維半單Hopf 代數，A#σH 為交叉積，則對任意左A#σH-模M，f.p.dimAM=f.p.dimA#σHM.

證明 由引理3 知，f.p.dimAM≤f.p.dimA#σHM.反之，因H 是有限維半單Hopf 代數，故由引理4知，M 為(A#σH)?AM 的A#σH-直和項，由此易知f.p.dimA#σHM≤f.p.dimA#σH(A#σH)?AM.再由引理3知，f.p.dimA#σH(A#σH)?AM≤f.p.dimAM，可得f.p.dimA#σHM≤f.p.dimAM.命題1 證畢.

由命題1 可直接得出本節的主要結果:

定理1 設H 是有限維半單Hopf 代數，A#σH 為交叉積，則f.p.dim A#σH≤f.p.dim A.

因Smash 積為交叉積的一種特殊情況，故有以下推論:

推論1 設H 是有限維半單Hopf 代數，A#H 為Smash 積，則f.p.dim A#H≤f.p.dim A.

3 n-Gorenstein 代數A#σH

本節將討論交叉積A#σH 成為n-Gorenstein 代數的條件.

首先回顧n-Gorenstein 代數的定義.設R 是環，若它是左右Noether 環，且其左右正則模的內射維數有限，即inj.dimRR ＜∞，inj.dim RR＜∞，則稱R 為Gorenstein 環.設R 是一個Gorenstein 環，若inj.dimRR≤n(此時inj.dim RR≤n)，則稱R 為n-Gorenstein 的.一個代數若作為環是Gorenstein 的，則稱此代數為Gorenstein 代數［8］.

定理2 設H 是有限維Hopf 代數，A#σH 為交叉積，則A#σH 為n-Gorenstein 代數當且僅當A 也為n-Gorenstein代數.

證明 因為A#σH 為有限生成A-模，故若A 是左Noether 的，則A#σH 也是左Noether 的.反之，因A#σH可通過以下作用為左H*-模代數:

所以就有Smash 積代數(A#σH)#H*.從而，如果A#σH 是左Noether 的，那么(A#σH)#H*顯然也是左Noether 的.由Blattner-Montgomery 對偶定理［3］知，(A#σH)#H*?Mn(A)，這里dim H=n.因此，它與A 是Morita 等價的，從而A 也是左Noether 的.

類似可證A 是右Noether 的當且僅當A#σH 也是右Noether 的.

因A#σH 為自由A-模，故可得inj.dimAA=inj.dimAA#σH≤inj.dimA#σHA#σH.

下證inj.dimA#σHA#σH≤inj.dimAA.不妨設inj.dimAA=n ＜∞，且

為左正則模AA 的長為n 的內射分解.由注1 知，序列

為(A#σH)?AA 作為左A#σH-模的一個內射分解.又因有左A#σH-模同構:(A#σH)?AA?A#σH，從而

類似可證inj.dim A#σHA#σH=inj.dim AA.定理2 證畢.

在代數學中，有著名的Gorenstein 對稱猜想［9］仍未解決.

Gorenstein 對稱猜想(Gorenstein Symmetric Conjecture):設A 為Artin 代數(有限維代數).若inj.dimAA有限，則inj.dim AA亦有限.

由定理2 立得以下推論:

推論2 設H 是有限維Hopf 代數，A#σH 為交叉積，則Gorenstein 對稱猜想對A#σH 成立當且僅當Gorenstein 對稱猜想對A 也成立.

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