半無限周期光子晶體全反射隧穿機理的干涉詮釋

劉啟能

(重慶工商大學計算機科學與信息工程學院，重慶400067)

1 引言

所謂光子晶體就是其介質的折射率在空間上呈周期性變化的帶隙材料，當光在光子晶體中傳播時由于光子晶體的周期結構會產生光的帶隙。利用光的帶隙結構可以十分方便地控制光的傳播，這使得光子晶體成為控制光傳播的理想材料。根據其周期結構的空間維數不同光子晶體分為一維光子晶體、二維光子晶體和三維光子晶體。一維光子晶體的結構最簡單、研究最方便，但是它卻具有其他高維光子晶體的基本特性。因此對一維光子晶體的研究成為光子晶體研究領域內的重要內容。

光子晶體的研究中，在帶隙特性［1－5］、缺陷模特性［6－9］、濾波理論［10－11］等方面已經取得了可喜成果。近年來人們又發現了光以大于全反射角入射一維光子晶體時出現的全反射隧穿現象［12］。隨后文獻［13］中利用傳輸矩陣法研究了TE波和TM波兩種偏振光以大于全反射角入射一維光子晶體時出現的全反射隧穿現象，得出了TE波和TM波在一維光子晶體的全反射隧穿現象隨入射角和結構參數的變化特征。接著文獻［14］利用傳輸矩陣法進一步研究了一維光子晶體的全反射隧穿效應的濾波特性，發現一維光子晶體的全反射隧穿效應比一維摻雜光子晶體具有更好的梳狀濾波特性。為了解釋一維有限周期光子晶體的全反射隧穿效應產生的物理機理，文獻［15］利用多光束干涉理論推導出一維有限周期光子晶體的全反射隧穿導帶頻率中心滿足的解析公式，從理論上解釋了一維有限周期光子晶體的全反射隧穿效應產生的物理機理。隨后文獻［16］通過建立一維半無限周期光子晶體的諧振腔模型，利用諧振腔的共振條件推導出全反射隧穿導帶波長滿足的解析公式，建立了一維半無限周期光子晶體全反射隧穿效應的共振理論。從理論上解釋了一維半無限周期光子晶體的全反射隧穿效應產生的物理機理。并將共振理論的結果與色散法的結果進行比較，其結果完全吻合。但是文獻［16］中存在一個明顯的不足:它只得出了一維半無限周期光子晶體的全反射隧穿導帶波長的解析公式，而全反射隧穿峰的峰高和帶寬兩個重要特征沒有得到給予解決。因此，文獻［16］中的共振理論是一個不完善的理論，有待進一步深入研究和完善。本文在文獻［16］的基礎上，利用光的干涉理論推導出一維半無限周期光子晶體的全反射隧穿峰的透射率公式和波長公式，解釋一維半無限周期光子晶體的全反射隧穿現象的產生機理，對全反射隧穿峰的波長中心、峰高、帶寬進行全貌研究。

2 隧穿現象

仍用文獻［16］中的一維半無限周期光子晶體結構，它由氟化鎂(其厚度為 d1、折射率為 n1=1.38)和碲化鉛(其厚度為d2、折射率為n2=4.1)兩種介質周期性地交替構成，其周期為無限多個。如圖1。設入射空間的介質也為碲化鉛，即n2=n0。因n0＞n1，所以當光大于全反射角入射該一維半無限周期光子晶體時會產生全反射現象，其全反射角θm=arcsinn1/n0=0.34rad。取中心波 長 λ0=600nm，設歸一化波長Λ=λ/λ0，λ為光在真空中的波長。

圖1 一維半無限周期光子晶體Fig.1 1D half infinite cycle photonic crystal

取n1d1=n2d2=λ0/4、θ0=0.35rad，計算出TE 波入射該光子晶體其色散函數F［17］隨歸一化波長Λ的響應曲線，如圖2。由圖2可知，當光大于全反射角入射一維半無限周期光子晶體時會出現全反射隧穿現象。其全反射隧穿現象具有以下特征:全反射隧穿現象是由多級導帶組成，波長最大的隧穿導帶稱為一級隧穿導帶，隨作波長的減小分別稱為二級隧穿導帶、三級隧穿導帶、……。圖2中歸一化波長Λ在0.45附近的是一級全反射隧穿導帶，歸一化波長Λ在0.23附近的是二級全反射隧穿導帶，…。各級全反射隧穿導帶的帶寬隨級數的增加而減小。

圖2 色散函數隨歸一化波長響應曲線(θ0=0.35rad)Fig.2 Response curves of dispersion function versus wavelength

圖3 多波束干涉模型Fig.3 multiple-beam interference model

圖4 透射率隨歸一化波長響應曲線(干涉理論)Fig.4 Response curves of transmissivity versus wavelength

3 干涉理論

為了解釋一維半無限周期光子晶體全反射隧穿現象的產生機理，建立一維半無限周期光子晶體的多光束干涉模型:當光以大于全反射角入射該光子晶體時，由于n0＞n1，光會在從n0入射到n1的界面上發生全反射，但光并不是完全不能進入n1中，它能夠以倏逝波的形式進入n1約一個波長的深度。而該光子晶體中n1層的厚度d1約為0.2個波長，因此光能夠穿過n1層進入n2層中。當光進入n2層后，會在n2層的前后兩個平行界面間往復地反射形成一個諧振腔，如圖3。該一維半無限周期光子晶體就由無限多個這樣的諧振腔連續排列組成。當光在n2層中第一次反射時會產生透射光線1、第二次反射時會產生透射光線2、第三次反射時會產生透射光線3、……，這些無限多條透射光線會發生相干干涉，其相干干涉出現極大的位置就會產生全反射隧穿現象。由多光束干涉理論［18］可得，這無限多條透射波線發生相干干涉的透射率為:

式中，r為n1，n2兩層界面的反射系數，δ為相鄰兩條透射光線的位相差，δ為:

式中，θ2，λ2分別為n2層中光的折射角和波長。由數學知識可知，要使式(1)出現極大值必須滿足下列條件:

式(3)就是出現一維半無限周期光子晶體全反射隧穿現象的條件。利用θ2=θ0和λ2=λ/n2，由式(1)得出全反射隧穿峰的透射率隨歸一化波長Λ和入射角θ0的變化關系:

由式(3)得出現全反射隧穿峰的歸一化波長滿足的條件為:

式中，j稱為全反射隧穿峰的級數，j=1對應一級全反射隧穿峰，其歸一化波長為Λ1，j=2對應二級全反射隧穿峰，其歸一化波長為Λ2，……。取n2d2=λ0/4、θ0=0.35 rad，由式(4)計算出全反射隧穿峰的透射率隨歸一化波長的響應曲線，如圖4。由圖4可以看出:在歸一化波長 Λ=0.45、0.24、0.15……附近分別出現了一級隧穿峰、二級隧穿峰、三級隧穿峰……，各級全反射隧穿導帶的帶寬隨級數的增加而減小，干涉理論的結果與色散法的結果吻合。這表明干涉理論能成功地解釋一維半無限周期光子晶體全反射隧穿現象的產生機理。

還可以發現:式(5)與文獻［16］中用共振理論推導出的全反射隧穿導帶的歸一化波長公式完全相同。而上述全反射隧穿的干涉理論與文獻［16］中的共振理論是建立在不同的理論基礎上的，兩種不同的方法能夠得出相同的結論，這表明干涉理論和共振理論都是解釋一維半無限周期光子晶體全反射隧穿現象的正確理論。并且干涉理論中的公式(4)不僅能夠得出全反射隧穿峰的歸一化波長公式(5)，而且還能反映全反射隧穿峰高、寬度等信息。因此，本文建立的全反射隧穿的干涉理論比文獻［16］建立的全反射隧穿的共振理論更加全面地、深刻地揭示了產生一維半無限周期光子晶體全反射隧穿現象的物理機理。

4 全反射隧穿峰的特征分析

為了進一步比較干涉理論與共振理論，下面利用干涉理論(即式(4))和共振理論(即式(5))對全反射隧穿峰的特征進行比較研究。

4.1 隧穿峰隨入射角的變化

取n2d2=λ0/4，利用式(4)計算出一級全反射隧穿峰隨歸一化波長和入射角變化的3D圖，如圖5。利用式(5)計算出一級全反射隧穿峰的歸一化波長隨入射角的響應曲線，如圖6。

圖5 隧穿峰隨波長和入射角變化3D圖(干涉理論)Fig.5 Response curves of tunneling peak versus wavelength and incident angle

圖6 隧穿峰波長隨入射角響應曲線(共振理論)Fig.6 Response curves of wavelength versus incident angle

比較圖5和圖6可以得出:

①一級全反射隧穿峰的歸一化波長隨入射角的增加而減小，干涉理論與共振理論得出完全相同的結果。

②但圖6中的共振理論的圖像只能反映全反射隧穿峰的歸一化波長隨入射角的變化特征，卻不能反映全反射隧穿峰的峰值和帶寬隨入射角的變化特征。而圖5中的干涉理論的圖像卻能夠反映全反射隧穿峰的峰值和帶寬隨入射角的變化特征。

4.2 隧穿峰隨腔厚度的變化

腔厚度就是的d2，為了研究方便令d2=Xλ0，X為無量綱的參變量，腔厚度的變化通過X的變化實現。式(4)和式(5)可以化為隨X的變化函數:

固定θ0=0.35 rad，利用式(6)計算出一級全反射隧穿峰隨歸一化波長和腔厚度變化的3D圖，如圖7。利用式(7)計算出一級全反射隧穿峰的歸一化波長隨腔厚度的響應曲線，如圖8。比較圖7和圖8可以得出:

①一級全反射隧穿峰的歸一化波長隨腔厚度的增加而成正比增加，干涉理論與共振理論得出完全相同的結果。

②但圖8中的共振理論的圖像只能反映全反射隧穿峰的歸一化波長隨腔厚度的變化特征，卻不能反映全反射隧穿峰的峰值和帶寬隨腔厚度的變化特征。而圖7中的干涉理論的圖像卻能夠反映全反射隧穿峰的峰值和帶寬隨腔厚度的變化特征。

圖7 隧穿峰隨波長和腔厚度變化3D圖(干涉理論)Fig.7 Response curves of tunneling peak versus wavelength andX

圖8 隧穿峰波長隨腔厚度響應曲線(共振理論)Fig.8 Response curves of wavelength versus X

5 結論

前面通過建立一維半無限周期光子晶體的多光束干涉模型，利用光的干涉理論推導出一維半無限周期光子晶體全反射隧穿峰的透射率公式和波長公式。利用透射率公式和波長公式成功地解釋了一維半無限周期光子晶體全反射隧穿現象產生的物理機理，并利用干涉理論和共振理論對一維半無限周期光子晶體全反射隧穿現象的特征進行了比較研究，兩者的結論是一致的。干涉理論不僅彌補了色散法不能解釋全反射隧穿現象產生機理的不足，而且彌補了共振理論不能反映全反射隧穿峰的峰值和帶寬的不足。

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