船舶遭遇波浪的VOSS映射快速計算

李夢玉，章社生 (武漢理工大學理學院，湖北 武漢 430063)

船舶遭遇波浪的VOSS映射快速計算

李夢玉，章社生 (武漢理工大學理學院，湖北 武漢 430063)

研究了船舶遭遇波浪的VOSS映射快速計算，建立了高維VOSS映射的Fourier變換數學模型，給出了K個S指示序列的快速算法，理論分析表明，該算法所用乘法次數為(N-1), 遠小于快速Fourier變換所用的乘法次數。算例結果表明，不同風速形成的波浪，對應的VOSS映射功率譜序列是不同的。

波浪；VOSS映射；Fourier變換

波浪是海洋科學中重要的研究對象。文獻[1]敘述了波浪測量方法和波浪譜計算方法；文獻[2]從理論角度闡述船舶在波浪上運動的力學機理和計算方法；文獻[3] 研究了海浪的頻譜模型，依據海浪的數學模型和海浪的頻譜特性,對海浪反演的線性疊加法進行了研究；文獻[4]從海洋學現有的觀測和研究成果出發, 結合海浪的 Gerstner 模型, 提出一種風力作用下的基于海浪譜的三維 Gerstner 海浪模型；文獻[5]對波浪傳播變形數學模型的諸多研究成果進行綜述，認為波浪傳播時會發生變形；文獻[6] 利用GPS量測波浪的運動，其中波高和周期的誤差均小于5%，且誤差不隨波浪大小而改變；文獻[7]給出了時空聚焦方式生成畸形波的三維波浪模型，認為畸形波一般具有大的波高、時空短暫性的特點，對海事工程和海上航行具有巨大的潛在危險性。下面，筆者用VOSS映射[8-10]研究不同振幅的波。

1 波高VOSS映射

在海洋中，波是由若干個波幅不同的波組成，設S={S(n):S(n)∈I,n=0,1,2,…,N-1}為測量得到的波高序列(或波幅序列)，其中波幅組成的集合為I={A1，A2,…,Ak}, 這里Ak為波幅。對任意b∈I, 令：

(1)

取Fourier變換：

(2)

對于一般的N，將集合K={k|k=0,1,2,…,N-1}分為2個子集：

K1={|k=nb(1),nb(2),…,nb(Mb)}K2=(K-K1)

在集合K1上，u(b,n)=1，在集合K2上，有u(b,n)=0， 則:

(3)

式中:

(4)

2 x(n,k)的計算

對于一般的序數n，當n=2,3,4,…N-1時，集合An={x(n,k)|k=0,1,…,N-1}={x(1,m)|m=0,n,2n,…,n(N-1)}?？梢苑譃閚個子集合的和：

(5)

式中，J0=0，Js滿足條件sN-N≤JssN。

由周期性，第s個子集合中的序號數減去sN， 則有：

(6)

式中，k0,1=0,ks,1=Js-sN,ks,2=Js+1-sN，且0≤ks

由式(6)可知，An中第(s+1)個子集合中的第一個元素序號數等于第s個子集合中的最后一個元素的序號數減N，再加上n。由U(b,k)的表達式，有：

(7)

初始值為：

U(b,k,0)=0k=0,1,…,N-1

終值為：

U(b,k)=U(b,k,Mb)k=0,1,…,N-1

由式(7)可知，按整數n的次序，能求出U(b,k)的數值。在實際計算中，具有下標的nb,Sb,Mb整流器數值不需要計算，而由程序自動給出。當求出U(b,k)后，再計算序列S的功率譜序列{P(k)} 和總功率E：

(8)

根據上面給出的計算方法，除了加減法外，只用了(N-2)次乘法和一次調用函數計算X=exp(-j2π/N)。若N=2M,用快速Fourier變換計算U(1,k)需要O(N*log(N))次乘法計算。計算K個U(b,k)需要O(K*N*log(N))次乘法計算。而直接計算x(n,k)=exp(-j2knπ/N)所用乘法次數為O(N*N)?？梢?，在理論上，筆者提出的方法比快速Fourier變換的計算量小。

3 波浪計算

海浪可以表達為下面級數形式[1]：

式中，An為波幅；Kn表示波數；ωn為圓頻率。當波浪測量點固定不動時，取x=0,則有：

波高與譜密度的近似關系式為：

An=[2S(ωn)Δω]1/2

(9)

式(9)表明，只要給出譜密度，就可以近似求出波高。筆者選取ITTC推薦的譜公式：

(10)

計算區間為：

(10)

將區間劃分為M等份，步長為h。選取有義波高ξ1/3=0.19，M=40, 時間步長0.05，數據采樣數N=400。根據波高數據，計算波高絕對值的平均值yM, 將低于平均值的波高數據劃分為第1類，其余數據劃為第2類，然后求功率譜序列P(k)和總功率E。計算結果表明，筆者提出的快速算法所用CPU計算時間為直接法的三分之一。選取2種風速：V=0.5m/s和V=5.0m/s，對應功率譜序列P(k)的計算結果如圖1所示。由圖1可知，在低風速V=0.5m/s時，功率譜序列P(k)分布在整個區間；在高風速V=5m/s時，則在兩端有較大的值，中間數值較小。圖1中，有義波高與風速V的關系為ξ1/3=(V/6.85)2。

圖1 功率譜序列P(k)隨k的變化

4 結 語

將VOSS映射方法用于海洋波浪研究，給出了只有(N-1)次乘法的快速變換算法，并且波浪實際算例證明該方法計算速度快。筆者的研究只將波高分為了2類，進一步的研究是將波高分為多類。

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[7]趙西增,孫昭晨,梁書秀.高階譜方法建立三維畸形波聚焦模擬模型[J].海洋工程,2009(1)：33-40.

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2012-11-26

國家自然科學基金項目(51139005)。

李夢玉(1989-)，女，碩士生，現主要從事應用數學方面的研究工作。

章社生(1955-)，男，博士，教授，現主要從事應用數學方面的教學與研究工作；E-mail:sheshengz@qq.com。

TP391.9；P731.2

A

1673-1409(2013)04-0001-03

[編輯] 洪云飛