在Grassmann流形上構造非相干酉空時碼

符達偉，彭立，王利嬌，彭秋平

（華中科技大學 電信系 武漢國家光電實驗室，湖北 武漢 430074）

1 引言

多發射和多接收（MIMO）無線通信系統可分為相干通信和非相干通信2種方式，與之相對應的有相干空時碼（CSTC）和非相干空時碼（NSTC）。CSTC已經進入了工業標準，而NSTC目前仍處于研究階段。眾所周知，相干通信需要接收端確切的知道信道狀態信息，通常采用的方法是發射端發射接收端已知的導頻信號，接收端根據接收的導頻信號來估計信道狀態信息。顯然，導頻信號會消耗信道帶寬，信道估計會增加解調器的延遲，這些缺陷阻礙了相干通信在高速移動的快衰落信道上的應用。非相干通信是根據非相干空時碼的結構特征進行解調的，它不需要發送導頻信號，也不必進行信道估計，延遲較小，有可能在未來的高速移動通信中獲得應用。

NSTC分為差分空時碼[1]和一般酉空時碼[2]。Marzetta和Hochwald在1999年提出了非相干空時碼的設計準則[3]，并得出一個重要結論：逼近容量限的NSTC具有酉矩陣的結構形式。本文主要研究一般酉空時碼的結構設計。目前關于酉空時碼的結構設計成果并不多，已經發表的結構設計包括：系統設計[4]、正交設計[5]和基于三角函數的酉空時星座圖[6]，這些酉空時星座圖的優勢是具有代數結構特征，已知一個星座點，通過計算能夠得到整個星座圖，缺陷是沒有采用優化方法設計，不能確定性能是否最優。ZHENG等人解決了非相干通信系統的信息論問題，給出了NSTC的信道容量，它的另一個重要貢獻是將Grassmann流形這一數學工具引入到NSTC的研究中，認為酉空時星座圖的每一個星座點對應于Grassmann流形上的一個點，故非相干酉空時星座圖的設計方法等效于在Grassmann流形上尋找點的最優包絡（packings）分布[7]。在此之后，KAMMOUN提出了基于指數映射的Grassmannian酉空時碼，由于涉及到指數映射，構造方法較復雜，此外，沒有進行優化設計，因此性能也不是最優的[8]。

CONWAYGE和HARDIN從純數學的角度給出了Grassmann流形上最優包絡分布，但它沒有采用Frobenius弦距離，而是采用其他形式的弦距離和地測距離，所搜索到的最優包絡結果并不能直接成為酉空時碼[9]。文獻[10]證明了Frobenius弦距離是設計Grassmann流形上非相干酉空時星座圖的最佳距離度量準則，并用貪心算法搜索酉空時星座圖，由于貪心算法的局部最優特征只能提供次優的搜索結果；于是提出的改進措施是采用直接設計和旋轉設計，它們的特點是兩階段設計策略。本文提出改進方案不是在搜索算法上挖掘潛力，而是在信號矩陣的結構上尋找突破點，提出基于Grassmann流形的酉空時矩陣框架結構。算法設計的基本原理是：根據數學領域已經有的Grassmann流形上的最優包絡研究成果，設定 Frobenius弦距離閾值，在Grassmann流形上尋找滿足酉空時碼結構約束的酉矩陣（星座點），大于閾值的點被保留，小于閾值的點被丟棄。仿真實驗表明在酉空時矩陣框架約束下，通過設置最優閾值的方法所搜索到的酉空時星座圖的性能優于現有酉空時碼星座圖的性能。

2 系統模型和信號模型

2.1 信道模型

本文采用瑞利平坦衰落信道[1～3]。M 根發射天線，N根接收天線，發射符號間隔為T，在一個T間隔內，信道衰落系數維持不變，從一個T間隔到另一個T間隔，信道衰落參數將隨之改變，有些文獻也稱該信道為準靜態瑞利衰落信道[12]。在文獻[7]和文獻[10]中分析得出：為了在高信噪比下酉空時通信可以達到信道容量，發射符號間隔T必須滿足T ≥ min ｛ M , N ｝ +N，當給定M和N后，非相干信道的容量會隨著T的增加與相干信道接近；在給定N和T的條件下，為了獲得最大的通信自由度，發射天線數目M必須滿足設發射信號為（文獻[2]稱為酉空時調制（USTM）），其中，Φl是一個T×M的酉矩陣。設Y表示接收信號矩陣，由此得到系統模型為

其中，H是M×N維的信道衰落系數矩陣，W是T×N維的加性高斯白噪聲（AWGN）矩陣，H和W中的所有元素都是獨立同分布的隨機變量，服從CN （ 0,1）分布，ρ代表每根接收天線處的信噪比（SNR），歸一化系數能保證每根接收天線的平均信噪比是ρ。

接收端采用最大似然解調[2]，其解調表達式為

其中，Tr(?)表示矩陣的跡運算，(?)?表示復共軛轉置。從式(2)可以看出，接收端根據發射信號星座圖和接收信號Y，就能進行最大似然解調，不需要進行信道估計。

2.2 Grassmann流形上的酉矩陣框架

設 GT,M表示Grassmann流形，是T維復歐式空間CT上所有M維子空間的集合，它也構成一個齊次空間，與正交群的商空間 O ( T ) /(O( M ) × O ( T -M))或酉群的商空間 U ( T ) (U( M ) × U ( T - M ))同構，因此，GT,M上所有T×M維的酉矩陣構成等效類，或者說 GT,M可用一個酉矩陣來表示。

定義1 (Grassmann流形上非相干酉空時碼矩陣框架)：設矩陣Φ ∈ GT,M，其中，T表示相干時間間隔，M表示發射天線數， φij∈ C (i = 1 ,…,T,j = 1 ,… ,M )表示Φ中的元素，如果構造矩陣

滿足以下3個條件。

1)Φ?Φ = IM，其中， IM為M維的單位矩陣。

2)Φ中元素的自由度為 d imΦ(GT,M)=M(TM )，表示Φ的TM個復元素中有 M ( T - M )個復元素是獨立的，余下 T M - M ( T - M ) = M2個元素可由獨立的 M ( T - M )個元素確定。

3) φij≠0， i = 1 ,… ,T , j = 1,…,M ，則稱Φ 是基于Grassmann流形的酉空時碼矩陣框架。

如果將復元素φij看成廣義的QAM調制符號，那么式(3)的酉矩陣Φ實際上是對任意復數的調制符號φij∈C進行空時編碼。由于定義 1只給出了酉空時矩陣Φ的部分信息，如維數T×M和矩陣的某種結構關系（酉矩陣結構和元素獨立約束），但沒有給出每個元素φij的值，因此稱Φ為發射信號星座圖的矩陣框架。 L =2RT由式(3)確定的Φl矩陣構成Grassmann流形上的酉空時信號星座圖，編碼速率為R =(lbL)/T(bit/s/Hz)。對于Φl中所有元素φij∈ C (i = 1 ,… , T , j = 1,… ,M )，當 φij≠ 0時，酉空時調制保證給出滿發射；當某個 φij= 0時，表示第j∈[1,M ]根天線在第i∈[1,T]個時刻沒有發射信號，發射端不能形成滿發射分集。初步觀察可以發現：如果發射的酉矩陣Φ的所有元素均不為零，那么空時碼一定能達到最大分集增益和最大編碼增益（反之，不一定成立）。因此，本文的主要任務是在 Grassmann流形上尋找最優分布的，使所有Φl滿足定義1中的3個條件。

2.3 距離測度

于是，本文定義的最優包絡問題描述如下：給定L、T、M，在酉矩陣框架(3)的約束條件下，尋找集合，使盡可能得大。

在文獻[9]中，研究了Grassmann流形上的最優包絡問題，采用與式(4)不同的距離測度，給出了L= 2 ～50的最優包絡搜索結果，如 L = 1 6的最優包絡給出的弦距離為=1（這里 dc不是Frobenius弦距離）， L = 1 8的最優包絡構成正多邊形，邊長為 dc= 1 ，但所得到的最優包絡不能很好地充當空時碼，因為搜索到的任意中，可能存在一定數量 φij= 0 的情況，使空時碼的編碼增益和分集增益有所損失。文獻[10]研究以 4為測度，利用貪心算法、直接設計和旋轉設計等方法尋找的最優分布問題，由于沒有給出類似于定義1的框架約束條件，所得到的最優并不是在Grassmann流形上的點，并且尋找最優分布的搜索工作存在下列 2個問題：1）能夠搜索到的次優或最優分布，但不一定是最優空時碼，出現與文獻[9]一樣的情況；2）在未加約束的任意范圍內搜索，可能找到最優分布，但搜索工作的計算量相當大。本文引入滿足酉矩陣條件1）、Grassmann流形的參數條件 2）和空時碼條件 3）的框架約束，不僅能找到Grassmann流形上的最優包絡，也能保證在滿分集增益和滿編碼增益條件下，搜索到距離特性最優的酉空時碼星座圖。

3 在G4,2上非相干酉空時碼設計

3.1 在G4,2上的酉空時碼矩陣框架重構

蠻力搜索式(3)的Φ矩陣是很困難的，可以根據元素間存在的相互關系，對Φ進行重組。重組方案有2種，一種是將Φ矩陣看成M個列矢量，可以在矢量空間中尋找M個彼此標準正交的列矢量構成的T×M維Φ矩陣，并由此尋找L個Φ矩陣構成相應的星座圖，關于這個方法的論述見文獻[9]；另一種是本文討論的將Φ矩陣按列分成K個子塊，即當T = KM，K為任意大于等于2的正整數，要求每個分塊子矩陣都是一個M×M的方陣，故Φ可以表示為表示矩陣轉置。有

為了便于展示本文所提出的構造星座圖方法的過程和性能，給出了發射時間間隔為 4T= ，發射天線和接收天線均為2(即 2K= )條件下的星座圖構造(T和M的選取滿足 3.1節中的約定，且T KM= ，K為常數)。根據定義1的框架結構，本節給出Grassmann流形4,2G 上酉空時碼星座圖的設計方法。根據式(5)，可將搜索自由度為4的42×矩陣簡化為搜索2個22×子矩陣，其中每個子矩陣的自由度為2。設1φ和2φ是自由度為2的一個22×酉矩陣中的2個復元素，且1φ和2φ相互獨立。如果允許每個復元素能進行乘-1、乘和共軛操作，那么1φ和2φ在22×的酉矩陣中的分布會有許多排列方案，下面是幾種排列的例子：

可任取其一作為Φ4×2矩陣的子矩陣，為了簡單起見，假設取Φ1=，那么Φ2與Φ1有相同的結構：

其中，φ1, φ2, φ3, φ4相互獨立。考慮對列矢量的歸一化，得到Grassmann流形 G4,2上的酉空時碼矩陣框架為

φi（ i = 1 ,2,3,4）可以表示成幅值A和輻角θ的極坐標形式，即 φi= Aiejθi，i = 1 ,2,3,4，j為虛數單位。由此可得在 T = 2 M = 4時基于QAM調制符號的酉空時編碼矩陣

記式(7)為G4,2上酉空時碼矩陣框架，稱在該框架下構造的星座圖為G4,2-QAM酉空時星座圖。余下的問題是在 G4,2上尋找最優包絡，以便確定Ai和θi，i= 1 ,2,3,4。

3.2 在G4,2上酉空時星座圖的優化搜索

對于 L = 1 6， T = 2 M = 4，構造Grassmann流形 G4,2上最優星座圖的問題等效于下列優化問題。即尋找滿足矩陣框架(7)的Ai和θi(i=1,2,3,4)，使盡可能大。G4,2可看成 R4空間的一個球[9]，由式(7)構成的酉矩陣集合是球上的點，這個球的半徑是1，球上位于直徑兩端的點稱為對跖點，對跖點之間的距離是2，也是球上任意兩點的最遠距離(即球的直徑)。設QΦ表示T維復空間的M維子空間，QΦ⊥是QΦ的補空間，該補空間內的點也是 Grassmann流形上的點，實際上Φ∈QΦ和是Grassmann流形上的對跖點。

優化搜索算法描述如下：設{Φ}表示一個空集，選擇一個初始點 ( Φ4×2)1放入集合{Φ}中，計算(Φ4×2)1的對跖點，將也放入{Φ}中。根據式(7)構造一個4×2的(Φ4×2)l矩陣，具體做法是設置變化的步長為a，θi變化的步長為b，由于Ai不能為0（因為 φij≠0），所以Ai的取值范圍為[a,1]，θi的取值范圍為[0,2π]。在步長a和b的控制下，選取4個復數值 φ = A e jθi， i = 1 ,2,3,4，構成形如式(7)

i i的酉矩陣(Φ4×2)l，計算(Φ4×2)l與集合{Φ}中所有已有星座點的Frobenius弦距離，如果所有距離值均大于事先確定的距離閾值dth，那么將(Φ4×2)l保留在集合{Φ}中，如果所計算出的距離值中有一個小于dth，則放棄這個(Φ4×2)l。繼續修改Ai和θi值，生成新的(Φ4×2)l，重復上述過程，直到集合{Φ}中的元素個數為 L = 1 6，則完成星座圖的設計。

對上述算法有如下幾點說明。

1) 初始點 (Φ4×2)1的選取可以是任意滿足式(7)的酉矩陣，為簡單起見，本文規定 Ai= 1 和 θi=0,i= 1 ,2,3,4，即可得到 ( Φ4×2)1，設它的對跖點為(Φ4×2)1和中的列矢量存在彼此正交的關系，它們的結構如下

2) 步長a的選擇可以是(0,1]之間的任意值，取a = 1 /m，m是正整數，步長b的選擇可以是[0,2π]任意值，取 b = 2 π/n，n是正整數。則候選矩陣的個數為，由此可以看出，m和n的取值決定了上述搜索算法的復雜度。顯然，步長a和b的取值越小，步長的倍數值m和n的取值越大，等待候選的矩陣個數就越多，搜索計算量就越大。例如，當 m = 4 ， n = 4 ， a = 0 .25， b =π/2時，候選點的數量為上述搜索算法的一個簡化方案 Ai是：只需搜索7個點，然后求它們的對跖點。

3) 距離閾值 dth的選取根據實際情況確定。根據文獻[9]提供的 Grassmann流形 G4,2上的最優包絡搜索結果，對于 L = 1 6的最優包絡，幾何弦距離的最小值為1，所對應的最小Frobenius弦距離初步估計略大于0.8，所以取 dth= 0 .8。這16個星座點的Frobenius弦距離分布如圖1所示。在G4,2-QAM酉空時星座圖集合中，到初始點 (Φ4×2)1的Frobenius弦距離為1.082 4的酉矩陣有2個，弦距離為0.808 3的酉矩陣有6個，弦距離為1.345 0的酉矩陣有6個，弦距離為 2。0的酉矩陣有 1個。在這個星座圖中，成對最小Frobenius弦距離為0.808 3。

4 仿真與結果分析

非相干酉空時碼的實際應用需要考慮與二進制信息序列之間的映射關系，即給星座圖中每一個點分配一個二進制序列作為該點的標識，對于星座圖需要給每個點分配 nb= lb(L) = 4bit的二進制序列。由圖1的距離分布可以看出，星座圖點之間的距離并不是一致的，距離相近的點發生解調錯誤的概率較大，若把 Frobenius距離相近的星座圖點分配漢明距離相近的二進制序列，這顯然可以改善誤碼性能，這種映射規則就是準格雷映射。本文采用文獻[11]中介紹的準格雷映射算法完成從二進制序列到G4,2-QAM星座圖的映射。

圖1 15個G4,2-QAM酉空時碼字到初始點的Frobenius弦距離分布

在天線數目 M = N= 2 、相干時間 T = 2 M =4和星座圖尺寸 L = 1 6（或數據速率 R = 1 bit/s/Hz）的條件下，圖2給出了本文提出的G4,2-QAM非相干酉空時碼與某些現有非相干酉空時碼的性能比較曲線。這些現有非相干空時碼包括：文獻[4]的基于計算機搜索的系統設計酉空時碼、文獻[5]的正交設計的酉空時碼和文獻[6]的基于三角函數的酉空時碼。圖2的仿真結果表明，在誤碼率為 1 0-5數量級時，本文提出的方案比正交設計的酉空時碼性能改善1 dB，比系統設計的酉空時碼性能改善2.1 dB，比基于三角函數的酉空時碼性能改善8 dB。

圖2 G4,2-QAM空時碼與某些已有酉空時碼的性能比較

圖 3給出的是本文構造的酉空時碼與文獻[8]中同在Grassmann流形下用指數映射方法構成的酉空時碼的性能比較，容易看出G4,2-QAM非相干酉空時碼比基于指數映射Grassmann酉空時碼性能改善2dB。這種性能的改善得益于在框架結構約束下Grassmann流形上最優包絡點的搜索結果。

圖3 G4,2-QAM空時碼與基于指數映射Grassmann酉空時碼的性能比較

圖4是在本文設計方法基礎下星座圖大小分別為16和32點的星座圖的性能比較，可以看到16點星座圖碼的性能優于 32點星座圖碼，但其傳輸速率低于32點的酉空時碼星座圖，32點星座圖的編碼速率為 1.25R= bit/s/Hz。

圖4 G4,2-QAM空時碼16點和32點星座圖的性能比較

5 結束語

本文設計了一種新的具有潛在實用價值的Grassmannian非相干酉空時碼星座圖，它是目前在Grassmann流形上所構造出來的最優非相干酉空時碼星座圖，其仿真性能也優于非Grassmann流形上非相干酉空時碼星座圖的性能。用Grassmann流形這一數學工具來研究非相干酉空時碼的理論問題的研究成果較多，但提出實用酉空時碼結構的應用研究一直進展緩慢，本文所提出的酉矩陣框架結構，給出了非相干酉空時碼的在Grassmann流形上的實用模型，并使Grassmannian星座圖的搜索算法比現有的遍歷搜索算法具有更低的計算復雜度。未來的研究工作是構造有利于降低最大似然解調算法計算復雜度的Grassmannian非相干酉空時星座圖。

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