幾種思想方法在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的應(yīng)用

2013-10-29 10:20:14肖應(yīng)雄

湖北工程學(xué)院學(xué)報(bào) 2013年3期

肖應(yīng)雄

（湖北工程學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北孝感432000）

數(shù)學(xué)分析是高等師范院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課。無(wú)論從知識(shí)結(jié)構(gòu)的承前啟后，還是從能力的培養(yǎng)和思維品質(zhì)的提高諸方面看，數(shù)學(xué)分析教學(xué)對(duì)師范生的成長(zhǎng)都起著十分重要的作用。由于數(shù)學(xué)分析中概念、定理比較多，因而光靠死記硬背是行不通的。針對(duì)這一現(xiàn)象，為了準(zhǔn)確地掌握概念、定理，并熟練運(yùn)用它們，就此列舉了四種方法，即類比法、化歸法、變式法和圖象法。這些方法均可在數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中運(yùn)用，包括在概念教學(xué)中的運(yùn)用，在定理教學(xué)中的運(yùn)用，在解題中的運(yùn)用。在教學(xué)中巧妙地運(yùn)用好這些方法，可以為學(xué)生探求知識(shí)發(fā)揮有效的作用。但也須注意，不可機(jī)械套用，把未經(jīng)證明的結(jié)論當(dāng)作真理。

1 類比法在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的應(yīng)用

類比法（或稱類比推理法）是指根據(jù)兩個(gè)問(wèn)題有一部分特征相類似，從而推出其他特征也可能相類似的一種推理方法。一般地，為了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題A，會(huì)聯(lián)想一個(gè)已經(jīng)會(huì)解的與A有某些類似特征的問(wèn)題B。于是推測(cè)：

1）問(wèn)題A與問(wèn)題B有某些類似的結(jié)論。

2）用解決問(wèn)題B的類似辦法來(lái)解決問(wèn)題A。

數(shù)學(xué)分析課程中能夠運(yùn)用類比法思考的問(wèn)題是很多的，教師在講授這門課時(shí)，不僅要傳授知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、邏輯論證的能力，還要注重類比法的應(yīng)用，以培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，進(jìn)而提高學(xué)生的創(chuàng)造思維能力。

1.1 類比法在概念教學(xué)中的運(yùn)用

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的抽象，因而概念的理解對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)相對(duì)較難。而類比法非常具有啟發(fā)性，因而數(shù)學(xué)分析中的許多概念可以通過(guò)類比法引出并揭示它的本質(zhì)。

例如，對(duì)于二元函數(shù)極限的概念，學(xué)生理解起來(lái)比較困難，但是，學(xué)生對(duì)一元函數(shù)極限卻比較熟悉。因而，可以在理解一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上去理解二元函數(shù)極限，它們都是利用ε，δ語(yǔ)言描繪變量的變化過(guò)程，因而可類比地表述為：

一元函數(shù)的極限：設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)x0的某個(gè)空心鄰域U°（x0，δ）內(nèi)有定義，A 為確定的實(shí)數(shù)。?ε＞0，?δ＞0，使得當(dāng)x∈U°（x0，δ）時(shí)，有：｜f（x）－A｜＜ε，則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于x0時(shí)以A為極限，記作：（x）＝A

這種方法對(duì)概念的理解具有啟發(fā)性，有利于學(xué)生對(duì)概念的理解，從此提出新的問(wèn)題。

1.2 類比法在定理教學(xué)中的運(yùn)用

數(shù)學(xué)分析中有很多內(nèi)容是定理的證明與公式的推導(dǎo)，其中有許多定理是可以做互相類比的。通過(guò)類比逐步引導(dǎo)學(xué)生引出新定理的內(nèi)容，從而做出推理論證。例如函數(shù)極限的性質(zhì)和柯西收斂準(zhǔn)則可通過(guò)與收斂數(shù)列的性質(zhì)和柯西收斂準(zhǔn)則進(jìn)行類比，引出它的全部性質(zhì)。無(wú)窮限廣義積分通過(guò)與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)進(jìn)行類比，引出它的全部斂散性理論。還有（x）g（x）dx與∑anbn都可用阿貝爾判別法判斷它們的收斂性。

1）若｛an｝為單調(diào)有界數(shù)列，且級(jí)數(shù)∑bn收斂，則∑anbn收斂。

2 化歸在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的運(yùn)用

化歸，從字面上看，就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思。化歸思想是指人們?cè)谘芯繂?wèn)題時(shí)，把待解決的研究對(duì)象，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，把它歸結(jié)到另一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問(wèn)題中去，最終使原問(wèn)題得到解決的一種思維方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。

化歸思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到。對(duì)未解決的問(wèn)題作轉(zhuǎn)化，使之歸結(jié)為已經(jīng)解決的問(wèn)題，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，可以說(shuō)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是如何實(shí)現(xiàn)化歸。在解題教學(xué)中，化歸策略運(yùn)用得當(dāng)不僅可以使解題成功，而且有助于拓寬學(xué)生的視野，提高學(xué)生迅速解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。

在數(shù)學(xué)分析解題中，化歸思想的運(yùn)用有兩種形式：

1）判斷問(wèn)題，若P、Q是互相等價(jià)的命題，則判定P可歸結(jié)為判定Q，反之亦然。

2）計(jì)算問(wèn)題，若A、B是兩個(gè)相等的量，則計(jì)算A可歸結(jié)為計(jì)算B，反之亦然。

以上兩種化歸都是可逆的。在數(shù)學(xué)分析課程里，大量的數(shù)量關(guān)系都存在著可逆成分，因而數(shù)學(xué)分析中的很多問(wèn)題都可以利用化歸思想來(lái)解決。在解題過(guò)程中，若按照思維的習(xí)慣陷入困境時(shí)，可把思維轉(zhuǎn)到另一逆方向，則更有利于問(wèn)題的解決。但在具體運(yùn)用時(shí)往往忽略這一方向的化歸，有時(shí)正是由于這一方向的化歸，往往會(huì)使人茅塞頓開，絕境逢生，使問(wèn)題得到解決。

3 變式在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

變式，是指在給學(xué)生提供范式的同時(shí)，通過(guò)變更問(wèn)題的條件、方法、形式，使事物的非本質(zhì)屬性時(shí)隱時(shí)現(xiàn)，而事物的本質(zhì)屬性保持的變化方法。

變式有多種形式，它作為一種重要的教學(xué)途徑，在實(shí)施變式教學(xué)時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)同一來(lái)源材料從不同角度、不同方位聯(lián)想及思考問(wèn)題，探求不同的解答方案，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果，有利于學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)和提高。

3.1 形式變式在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的應(yīng)用

在對(duì)一類探索性問(wèn)題進(jìn)行研究時(shí)，可以將條件和結(jié)論完整的題目改造成給出，先猜結(jié)論，再進(jìn)行證明；也可以改造成給出結(jié)論，探索條件的條件；還可以將一類問(wèn)題等效地?cái)⑹觯纯梢赃\(yùn)用建模的方法，將一類實(shí)際問(wèn)題抽象成形式化的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

例1 設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間［－a，a］（a＞0）上連續(xù)，則：

通過(guò)形式變式：

形式一：如果f（x）在x0的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，并且關(guān)于直線x＝x0對(duì)稱，證明?a＞0（x0＋a，x0－a為鄰域內(nèi)的點(diǎn)），則有

形式二：如果f（x）與g（x）在x0的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，并且關(guān)于直線x＝x0對(duì)稱，證明?a＞0（x0－a，x0＋a為鄰域內(nèi)的點(diǎn)），

則有

注：通過(guò)變式，對(duì)掌握積分的基本性質(zhì)，簡(jiǎn)化一類積分運(yùn)算具有重要意義。同時(shí)，也激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)和鍛煉了學(xué)生研究學(xué)習(xí)的能力。

3.2 內(nèi)容變式在教學(xué)中的應(yīng)用

內(nèi)容變式是指通過(guò)變更問(wèn)題的條件、結(jié)論或關(guān)鍵數(shù)據(jù)而形成的一種形式類似解法或難度迥異的新題。根據(jù)需要，可將問(wèn)題特殊化，也可一般化，通過(guò)內(nèi)容變式，可幫助學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)問(wèn)題的本質(zhì)。

例2 給定兩正數(shù)a1與b1（a1＞b1），作出等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)，令an＋1＝

4 圖象法在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)分析中我們常常會(huì)運(yùn)用圖形來(lái)解決一些不易解決的問(wèn)題，從而使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化、直觀化。

4.1 羅爾定理中的圖象法

定理1 （Roll中值定理）若函數(shù)f滿足如下條件：

ⅰ）f在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)

ⅱ）f在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)

ⅲ）f（a）＝f（b）

則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f

′（ξ）＝0。

圖1

幾何意義：在每一點(diǎn)都可導(dǎo)的一段連續(xù)曲線上，如果曲線的兩端點(diǎn)高度相等，則至少存在一條水平切線。

4.2 拉格朗日中值定理

定理2 （拉格朗日（Lagrange）中值定理）若函數(shù)f滿足如下條件：

1）f在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；

2）f在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，

則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得

分析：在羅爾定理中由于f（a）＝f（b），顯然相應(yīng)的線段AB平行于x軸，由此看出羅爾定理是Lagrange中值定理的特殊情況。將羅爾定理的圖形旋轉(zhuǎn)，即把弦AB繞其某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到不與x軸平行（A，B兩點(diǎn)不在同一高度），就轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)agrange中值定理了。

下面我們就利用其圖形的意義來(lái)證明一下。

證明一：如圖1所示，作輔助函數(shù)