頻率域位場延拓表達式的一種簡單推導

劉彩云 (長江大學一年級教學工作部，湖北 荊州 434025)

頻率域位場延拓表達式的一種簡單推導

劉彩云 (長江大學一年級教學工作部，湖北 荊州 434025)

提出了一種頻率域位場延拓表達式的簡單推導方法。從位場拉普拉斯方程出發(fā)，采用傅里葉變換將拉普拉斯第一邊值問題轉(zhuǎn)換為頻率域二階常微分方程，通過求解該常微分方程得到頻率域位場延拓表達式。

位場延拓；頻率域；普拉斯方程；傅里葉變換

位場延拓包括向上延拓和向下延拓，向上延拓可突出深部(區(qū)域)異常、壓制淺部(局部)異常；向下延拓則相反，可突出淺部(局部)異常、壓制深部(區(qū)域)異常[1]，位場延拓在重磁資料解釋中有重要應用[1,2]。

傳統(tǒng)解析延拓推導方法是求解Laplace偏微分方程[3,4]得到空間域解析延拓公式，再由傅里葉變換得到頻率域延拓公式。下面，筆者提出一種簡單的頻率域位場延拓推導方法。

1 傅里葉變換的時頻微分性質(zhì)

傅里葉變換的時頻微分性質(zhì)表明，函數(shù)f(x)的k階導數(shù)的傅里葉變換等于函數(shù)f(x)傅里葉變換乘上因子jω的k次方，通過該性質(zhì)，可以將時域函數(shù)的微分轉(zhuǎn)換到頻域計算。

2 推導過程

將觀測平面上的已知位場數(shù)據(jù)(重力異常或者磁異常)用數(shù)學解析的方法換算成較高平面上的異常，稱為位場的解析上延拓，反之，將已知平面異常換算成低平面上的異常，稱為解析下延拓。

假設在某觀測面上的位場數(shù)據(jù)為已知，則根據(jù)此位場數(shù)據(jù)來計算不包含場源的其他高度的位場數(shù)據(jù)，就可以歸結為求解拉普拉斯方程第一邊值問題：

(1)

式中，函數(shù)f(x,y,z)表示高度為z處的位場數(shù)據(jù)，f(x,y,0)表示地表(z=0)觀測的位場數(shù)據(jù)。

空間域與頻率域變量分別對應為：

(2)

由傅里葉變換的時頻微分性質(zhì)，拉普拉斯方程的傅里葉變換為：

(3)

即：

(4)

位場延拓公式(1)在頻率域可描述如下的二階微分方程：

(5)

方程(4)中其他變量相對z來說都是常量，令:

方程(4)即為：

F″-CF=0

(6)

這是關于變量z的二階常微分方程，求解該二階常微分方程可得其通解：

(7)

(8)

帶入初始條件F(u,v,z)|z=0=F(u,v,0)可確定系數(shù)c1=F(u,v,0)，由此，可得到頻率域拉普拉斯方程(5)的解為：

(9)

公式(1)～(9)是利用傅里葉變換的時頻微分性質(zhì)推導頻率域位場延拓公式的過程。式(9)是頻率域位場延拓的表達式，對式(9)進行反傅里葉變換就可以得到上半空間空間域的位場數(shù)據(jù)。

3 結 語

利用傅里葉變換的時頻微分性質(zhì)，將拉普拉斯第一邊值問題的二階偏微分方程在頻率域轉(zhuǎn)換為二階常微分方程，求解該二階常微分方程得到頻率域位場延拓表達式。該推導方法推導過程簡單，有助于加深對位場延拓的理解。

[1]管志寧.地磁場與磁力勘探[M].北京：地質(zhì)出版社，北京，2005.

[2]陳龍偉，胡小平，吳美平，等.空間域位場延拓新方法研究[J].地球物理學進展，2012，27(4):1509-1528.

[3]焦紅兵，賈美枝.一類非線性的偏微分方程的解[J].數(shù)學的實踐與認識，2007，37(12):153-160.

[4]龔東山，牛富俊.一類高階非線性微分方程解的研究[J].長江大學學報(自然科學版)，2008，5(4):28-30.

[5]熊俊.一類二階微分方程邊值問題正解的存在唯一性討論[J].長江大學學報(自然科學版)，2006，3(3)：12-14.

2013-05-10

國家自然科學基金項目(11201039；61273179)；湖北省教育廳重點項目(D20101304)。

劉彩云(1975-)，女，副教授，博士生，現(xiàn)主要從事最優(yōu)化理論與算法方面的教學與研究。

O171.2

A

1673-1409(2013)28-0004-02

[編輯] 洪云飛