時頻域并行捕獲算法

占 巍 張曉林 李 娟

(北京航空航天大學 電子信息工程學院，北京100191)

飛行器測控中擴頻信號的捕獲需要考慮載波大多普勒頻率偏移和長周期擴頻偽碼.針對無外部輔助情況下單一直擴信號的快速捕獲，應用的方法主要有:時域并行搜索碼相位方法如匹配濾波器法，頻率域并行方法如 FFT(Fast Fourier Transform)分析法，時頻域并行如PMF-FFT(Partial Match Filter-FFT)捕獲算法.但在DS/FH(Direct Sequence/Frequency Hopping)混合擴頻測控系統中，若使用時域并行或頻域并行捕獲方法實現DS/FH混合擴頻信號捕獲，需要的長捕獲時間將嚴重制約DS/FH混合擴頻系統的跳頻速率，大大降低了DS/FH混合擴頻技術的抗干擾性能;時頻域并行方法的速度最快，現有時頻域并行捕獲算法主要是PMF-FFT算法及其改進，而PMF-FFT方法載波頻率分析精度受限于FFT的柵欄效應［1-2］，且實際分析帶寬受相關損失的影響僅為理論分析帶寬的1/4，在大頻偏情況下其頻率估計精度不能滿足載波跟蹤環路中非線性器件的線性近似范圍;文獻［3］利用了漢寧窗和插值算法對PMF-FFT算法進行了改進，但噪聲環境下若待估計頻率靠近FFT最大譜線位置時，算法會發生插值方向性錯誤導致頻率估計誤差激增.本文在PMF-FFT捕獲算法基礎上，引入了一種運算量小、實時性好的頻率估計算法與PMF-FFT組合，通過一種Quinn頻率插值算法對PMF-FFT算法估計的載波頻偏進一步細估，并利用估計結果調整本地載波，再次進行捕獲.組合算法在時域并行搜索擴頻碼相位，同時在頻域并行搜索載波頻率，具有捕獲速度快、分析帶寬大、頻率估計精度高的優點.

1 PMF-FFT算法原理

到達接收機天線的DS/FH混合擴頻信號經過濾波、放大、下變頻和數模變換后，有用信號數學表述如下:

式中，Ai表示數字信號的幅度電平;D表示調制的數據碼;τ(t)為空間傳播延遲;n為采樣時刻的序號;C為擴頻碼;Ts表示采樣周期;fhi是中頻頻率;fdi是發射機和接收機相對運動造成的附加在信號第i個頻點上的多普勒頻率偏移;φni為載波相位.SIF(nTs)與本地中頻載波混頻為I，Q兩路信號.

PMF-FFT算法原理如圖1所示.

圖1 PMF-FFT捕獲算法原理圖

截取一個擴頻碼周期長度的數據(截取長度視信噪比而定，信噪比大，截取的長度可以減小，否則需要增加截取長度)，數據長度為M點，與本地P個部分匹配濾波器(PMF)相關累積，PMF長度為 L 點(M=L×P).第 d(d=0，1，2，…，P-1)個部分匹配濾波器輸出的復信號為

式中，Ar為本地中頻載波幅度;R(Δτ)為擴頻碼的自相關函數;Δτ為接收信號與本地偽碼的相位差，對該復信號作N(N≥P)點FFT變換，歸一化輸出為

2 頻率估計算法選擇

正弦波頻率估計算法可分為參數法和非參數法.參數法一般運算量大，實時性差;非參數法基于傅里葉變換，早期的非參數法頻率估計誤差較大，近年來提出的比較優秀的基于DFT(Discrete Fourier Transform)頻率估計算法一般分兩步，首先利用FFT得到頻率的粗估計，在這基礎上利用比值法［4-5］、曲線擬合法［6］、二分查找法［7］等對粗估計頻率進行修正.幅度比值法在待估計頻率靠近量化頻率位置時可能會發生插值方向性錯誤，利用迭代插值［8］可以達到 CRB(Cramer-Rao Bound)，但迭代算法不適合實時處理;曲線擬合法是利用主瓣內譜線值構建的曲線方程逼近主瓣來估計頻率的，采樣率越高，頻率估計誤差越小，而高采樣率導致一個擴頻碼周期內的數據量太大，因此曲線擬合插值法不適合對長周期的測距碼捕獲;基于二分迭代插值法頻率估計精度高，但算法需要迭代，運算量大，不能實時處理.Quinn提出了利用FFT主瓣內次大譜線與最大譜線FFT系數復數值之比的實部進行頻率插值的方法［4，9］，該算法的突出優點在于當待估計頻率靠近DFT最大譜線位置時不會發生插值方向性錯誤，且算法簡單，計算量小，估計精度高，該算法的最大標準差為克拉美羅限的1.8倍.

3 一種時頻域并行捕獲算法

本文提出了一種采用反饋式結構的時頻域并行捕獲算法.采用雙駐留檢測方式，原理如圖2所示.

圖2 一種反饋式結構的時頻域并行捕獲算法

利用捕獲判決1模塊對PMF-FFT算法輸出進行粗捕獲判決，判斷捕獲后利用一種Quinn頻率插值算法對PMF-FFT結果分析，提取載波頻率精估計值并反饋至本地載波，利用捕獲判決2模塊進行驗證.

算法理論表述如下，為表述簡潔，令

記s(k)最大值處對應離散頻率索引為k0，k0=int［fdiLTsN］，int［x］表示最接近 x 的整數.對于較大的N，s(k0)可近似表示為

式中δ是信號真實頻率與頻率估計值的差值關于頻率分辨率的倍數，δ=fdiLTsN-k0.

4 算法分析與仿真結果

相對于PMF-FFT算法，本文提出的一種反饋式結構的時頻域并行捕獲算法提高了載波捕獲的精度.由于利用了Quinn頻率插值算法，載波捕獲精度大大提高.文獻［10］給出了Quinn算法的頻率估計方差:

式中T為采樣數據的時間長度.

從仿真數據看，相對于PMF-FFT算法，載波頻率估計誤差大大降低，如圖3所示.

仿真參數:DS/FH混合擴頻信號跳頻速率100跳/s，跳頻頻率7個，跳頻間隔25 MHz;數據速率10kbit/s，擴頻碼長1023，碼速率10.23 Mbit/s;信噪比-5dB，采樣速率512Mbit/s，PMF累積點數400，PMF個數128，做128點FFT，每個頻點蒙特卡羅仿真100次.

從仿真結果看，PMF-FFT算法的最大頻率估計誤差為5 000 Hz，達到了其頻率分析精度的一半;而本文算法的最大頻率估計誤差僅為20 Hz，其頻率估計結果無需頻率牽引即進入了載波跟蹤環路的線性近似區間.

圖3 PMF-FFT與反饋式結構的時頻域并行捕獲算法載波捕獲誤差對比

在低信噪比、大頻偏下，本文算法減少了平均捕獲時間，理論表述如下:

在有信號時，PMF-FFT輸出近似服從Rice分布，檢測概率為

無信號時，PMF-FFT輸出近似服從Rayleigh分布，虛警概率為

雙駐留檢測方式下，當跳頻同步采用等待搜索法時，PMF-FFT算法對DS/FH混合擴頻信號的平均捕獲時間［2］為

式中，K為懲罰因子;r為驗證階段需要的擴頻碼周期;M為擴頻碼長度;Nh為跳頻圖案中頻率個數;Th是跳頻時間;(Pd1，Pfa1)和 (Pd2，Pfa2)分別是捕獲階段與驗證階段的檢測概率和虛警概率，且PD=Pd1×Pd2，PFA=Pfa1× Pfa2.由于跳頻同步采用等待搜索法，跳頻平均捕獲時間和擴頻捕獲無關，式(21)中前項為DS信號平均捕獲時間，后項為FH信號平均捕獲時間.

本文時頻域并行捕獲算法表達式和PMFFFT算法完全相同.但相對于PMF-FFT算法，本文算法在捕獲后，通過調整本地載波減小了頻率誤差，大幅度提升信號均值s.如圖4所示，當信噪比-20dB、頻偏995kHz時，PMF-FFT方法捕獲時信號均值僅為157，而本文反饋式結構的時頻域并行捕獲算法的信號均值達到了904.

若本文算法在驗證階段的判決閾值和捕獲階段相同，且等于PMF-FFT算法的判決閾值，則相對于PMF-FFT算法，本文算法提高了 Pd2，由式(21)可知，降低了平均捕獲時間.圖5描述了判決閾值Vt相同時，兩種算法在不同頻偏下DS信號平均捕獲時間對比，無跳頻，其余仿真參數如前相同.

圖4 PMF-FFT與本文算法捕獲輸出對比

圖5 相同判決閾值時兩種算法平均捕獲時間對比

由圖5可見，在頻偏較小時，兩種算法的平均捕獲時間相同，且基本維持一個恒定值，這是由于串聯了多個PMF，此時單個PMF的檢測概率Pk在一定范圍內不能改變總的檢測概率Pd.頻偏較大時，本文算法的平均捕獲時間明顯小于PMFFFT算法.

若本文算法的捕獲判決閾值和PMF-FFT算法相同，而將驗證階段判決閾值設置在合理范圍，則不僅可以提高Pd2，還可以降低驗證階段的虛警概率Pfa2，從而進一步減小了平均捕獲時間.如圖6所示，捕獲階段判決閾值1為60，驗證階段判決閾值2為200，其它仿真參數同圖5.

在低信噪比、大頻偏下，本文算法增加了實際分析帶寬.飛行器以第一宇宙速度運動時，Ka波段最大多普勒頻率偏移±790 kHz，考慮到頻率源不穩定引起的頻率漂移，頻偏更大.從式(4)可以看出，G1(Δfd，k)在頻偏下產生相關損失，頻偏越大，相關損失越大，如當頻偏1 MHz時，上述其它仿真參數不變，相關損失高達12.6 dB，導致平均捕獲時間很長，所以PMF-FFFT算法的實際分析帶寬一般僅為理論分析帶寬的1/4.而本文算法通過改變驗證階段的檢測概率與虛警概率，可以在相同平均捕獲時間指標下，實現更大的頻偏捕獲范圍.圖6中，當平均捕獲時間為10-4s時，PMF-FFT算法實現的頻偏捕獲范圍為100kHz，而本文算法的頻偏捕獲范圍達到了115 kHz.

圖6 雙判決閾值時兩種算法平均捕獲時間對比

5 結束語

在大頻偏條件下，由于 FFT的柵欄效應，PMF-FFT算法的載波捕獲精度超出了載波跟蹤環路鑒相器、鑒頻器等器件的線性近似范圍，本文一種反饋式結構的時頻域并行捕獲算法通過PMF-FFT算法粗估載波頻偏，利用一種Quinn頻率插值算法提高頻偏估計精度，并使用估計結果反饋調整本地載波，使載波捕獲的精度大大提高，仿真環境下，本文算法的載波捕獲結果無需頻率牽引即進入了載波跟蹤環路的線性近似區間.

在低信噪比、大頻偏條件下，本文一種反饋式結構的時頻域并行捕獲算法減小了平均捕獲時間，增加了實際分析帶寬.

但由于Quinn算法是利用譜峰左右的兩條譜線來估計頻率，當對PMF輸出數據補零后進行FFT，此時譜線值已發生改變，導致Quinn算法頻率估計誤差激增.因此本文算法不適合對數據大量補零做FFT的情況.

References)

［1］ Liu Chang，Zhang Jun.Analysis and optimization of PMF-FFT acquisition algorithm for high-dynamic GPS signal［C］//2011 IEEE 5th International Conference on Cybernetics and Intelligent Systems.Qingdao:IEEE，2011:185-189

［2］ Qi Hua，Shi Xiaoqian，Ji Le.PMF-FFT algorithm for PN code acquisition［J］.Journal of Xi'an Technological University，2010，30(1):57-61

［3］章蘭英，袁嗣杰，陳源.航天擴頻測控系統中偽碼捕獲方法研究［J］.電子學報，2011，39(6):1471-1476 Zhang Lanying，Yuan Sijie，Chen Yuan.Research on pseu-do code acquisition method in aerospace spread spectrum TT＆C system［J］.Chinese Journal of Electronics，2011，39(6):1471-1476(in Chinese)

［4］ Thomas Grandke.Interpolation algorithms for discrete Fourier transforms of weighted signals［J］.IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement，1983，32(2):350-355

［5］ Quinn B G.Estimating frequency by interpolation using Fourier coefficient［J］.IEEE Trans on Signal Processing，1994，42(5):1264-1268

［6］曹延偉，張昆帆，江志紅，等.一種穩健的離散頻譜校正方法［J］.電子與信息學報，2005，27(9):1353-1356 Cao Yanwei，Zhang Kunfan，Jiang Zhihong，et al.A robust discrete spectrum correcting method［J］.Journal of Electronics ＆Information Technology，2005，27(9):1353-1356(in Chinese)

［7］ Aboutanios E.A modified dichotomous search frequency estimator［J］.IEEE Signal Processing Letters，2004，11(2):186-188

［8］ Aboutanios E，Mulgrew B.Iterative frequency estimation by interpolation on Fourier coefficients［J］.IEEE Trans on Signal Processing，2005，53(4):1237-1242

［9］ Quinn B G.Estimation of frequency，amplitude，and phase from the DFT of a time series［J］.IEEE Trans on Signal Processing，1997，45(3):814-817

［10］齊國清.幾種基于FFT的頻率估計方法精度分析［J］.振動工程學報，2006，19(1):86-92 Qi Guoqing.Precision analysis of several FFT-based frequency estimation methods［J］.Journal of Vibration Engineering，2006，19(1):86-92(in Chinese)