變形雙重介質分形油藏不穩定滲流數學模型有限元法求解研究

張 勇 (瀘州醫學院生物醫學工程系，四川 瀘州 646000)

何國良 (電子科技大學數理學院，四川 成都 611731)

變形雙重介質分形油藏不穩定滲流數學模型有限元法求解研究

張 勇 (瀘州醫學院生物醫學工程系，四川 瀘州 646000)

何國良 (電子科技大學數理學院，四川 成都 611731)

變形雙重介質分形油藏的不穩定滲流數學模型，當邊界條件為第一類邊界條件時，用預估-校正法可以很好地解決；當邊界條件含有第二類邊界條件時，證明差分解的存在性和收斂性時卻遇到巨大困難。為了較為簡單地解決上述問題，采用有限元方法求其數值解，并證明了有限元離散解的存在性和收斂性，為其在石油工程中的應用提供理論依據。

不穩定滲流；收斂；有限元法；收斂性

在石油勘探和開采中，利用計算機技術進行油藏數值模擬是了解地下儲油變化的一項簡便方法。為此，研究者提出相關模型和算法。Warren-Root模型建立在均質油藏歐幾里得幾何基礎上，不適用于具有壓力敏感效應的非均質油藏[1]。文獻[2]以Warren-Root模型為基礎，引入分形參數df、θ和壓縮系數αf、βf，考慮壓力對具有分形特征的滲透率和孔隙度的影響，建立變形雙重介質分形油藏不穩定滲流數學模型如下：

(1)

(2)

上述模型可用來刻畫具有軸稱特征的地下油藏，然而由于該模型的復雜性，如何高效求解成為一個亟待解決的問題。

1 含有第二類邊界條件滲流數學模型的有限元離散

當邊界條件為第一類邊界條件(井底定壓和有界定壓外邊界)時，用預估-校正法[2]可以很好地解決該類定解問題；當邊界條件含有第二類邊界條件(定產量和封閉外邊界)時，對差分解的存在性以及收斂性的證明卻十分困難。因此，為了較為簡單地解決上述問題，可以采用有限元方法來求其數值解。

在不引起混淆的情況下，令t=τ，τ=Δt，則將式(2)代入式(1)并記為如下形式：

(3)

其中:

f1(u,η)=ωe(θ+2)u(1-αDη)γD-1f(u,η)=(β-1)

定解條件上述各條件令l=lnRe，記:

將式(3)按如下格式對時間進行離散化：

于是有：

(4)

用單元線性插值的有限元方法求解式(10)和其定解條件。對于不同的邊界條件選取不同類型的有限元空間sh，其都滿足通常的逼近性質和逆性質[3]。

(5)

于是可得到方程組為：

CP=G

(6)

(7)

2 有限元離散的滲流數學模型的收斂性分析

為了證明該有限元算法的收斂性，可以在解存在、有界性的基礎上利用經典的Gronwall不等式來進行分析。

為方便起見，記：

(8)

式(3)、式(2)所對應的弱解形式在各邊界條件下為：

(9)

其中HΓ由式(8)來定義，且由式(3)有：

(10)

設Pi為原始地層壓力，則PfD為一有界量，不妨設為PD0，則在有限區域Ω:Ω={0

|f1(u,ηn)-f1(u,ηn-1)|≤C2ωe(θ+2)l|ηn-ηn-1|C2=αD(1-γD)(1-αDη*)γD-2

于是由式(2)、式(3)、式(9)及邊界條件，可得誤差方程為：

(11)

其中：

Fn=(

取檢驗函數v=dtζn，則有：

有:

此外:

利用分部積分和分部求和有：

將式(11)兩端同乘以2τ，并對n從2到M-1(m≤N)求和有：

則當h和τ充分小時，由離散的Gronwall不等式有[5]：

在式(11)中，取n=1,v=d1ζ1，有:

從而有：

由此該有限元離散解的的收斂性得到證明。

3 結語

數學建模同數值模擬相結合是解決復雜問題的便捷而有效的分析工具。有限元方法是求偏微分方程中使用較為普遍的方法，其對邊界條件恰如其分的處理是其他許多方法無可比擬的。當建立的變形雙重介質分形油藏不穩定滲流數學模型的定解問題含有第二類邊界條件時，由于相關方程是非線性的，為了克服有限差分法證明其離散解的存在性和收斂性時遇到的困難，利用有限元法解決該類定解問題。研究表明，利用有限元方法能夠方便、簡潔地證明有限元離散解的存在性和收斂性，從而為變形雙重介質分形油藏不穩定滲流數學模型應用于石油工程提供理論參考。

[1]Warren J E，Root P J.The behavior of naturally fractured reservoirs[J].SPE13245,1963.

[2]何國良,向開理.變形雙重介質分形油藏滲流數學模型及壓力動態特征[J].西南石油學院學報,2002,24(4):24-27.

[3]Dendy J E.An analysis of some Galerkin schemes for the solution of nonlinear time-dependent problems[J].SIAM J Numer Anal,1975，12(4): 541-565.

[4]Wheeler M F.A priori -error estimates for Galerkin approximations to parabolic differential equations[J].SIAM J Numer Anal,1973，10(4):723-759.

[5]袁益讓,王宏.非線性雙曲型方程有限元方法的誤差估計[J].系統科學和數學,1985，5(3):161-165.

[編輯] 李啟棟

O29

A

1673-1409(2013)22-0013-04

2013-05-14

張勇(1976-)男,碩士，講師,現主要從事數據挖掘方面的教學與研究工作。