基于小波變換的指紋圖像增強算法

孫勤江 （中海石油 （中國）有限公司天津分公司工程建設部，天津300452）

雷 聲 （中國石油天然氣管道局天津設計院，天津300457）

陳建玲 （中海油能源發展股份有限公司油田建設工程設計研發中心，天津300452）

隨著計算機和網絡的迅速發展，基于生物特征識別的智能身份認證技術正受到越來越多的關注。由于指紋識別技術是生物識別領域技術中最成熟的一門應用技術，使得指紋識別成為目前應用最廣泛、可信度最高的個人身份認證技術之一。指紋圖像增強是一個改善指紋圖像紋理特征的過程。在指紋識別流程中圖像增強是一個重要的步驟，通過圖像增強可以獲得高質量的指紋圖像，使提取特征點時獲得的細節信息更為精確［1－2］。然而，在實際應用中，指紋圖像不可能總是擁有很好的質量，噪聲的干擾會破壞脊線的結構。這種脊線結構的損壞可能會由如下原因引起：皮膚疤痕、空氣濕度、灰塵和指紋與錄入器的非均勻接觸。指紋圖像中的噪聲可以分為幾種不同的類型：指紋的折痕，皺紋和表皮受損。

在指紋匹配之前，必須消除這些噪聲，恢復指紋脊線結構。為了改善指紋的脊線結構，需要使用一些指紋增強算法。在增強過程中的方法或算法必須很好地適應指紋的紋理特性，產生良好的處理結果。在圖像增強領域，比較經典的方法是小波變換，它通過高通濾波器對圖像進行濾波，然后與原圖疊加，該算法具有簡單易用的特點［3－4］。但是它在對圖像進行增強處理的過程中也對圖像中存在的噪聲做了同樣的處理，在增強圖像邊緣細節的同時沒有很好的進行圖像消噪。針對這些不足，筆者對傳統的小波變換算法進行了改進。

1 傳統的小波變換圖像增強算法

小波函數的定義域很小，在定義域之外，函數值、平均值和ψ（t）的高階矩陣均為0，即：

小波的容許條件即是均值為0的條件。

小波函數集中的一系列函數均是由ψ（t）經平移和伸縮得來，設j和k分別為收縮和平移參數，則有：小波的寬度隨著j的變化而變化，平移位置則由k決定。

在數字圖像處理中，數據以離散的形式表示，基于離散數據的小波變換是在一定的規則下，對連續小波變換進行采樣。因此離散小波變換一般具備連續小波變換的性質。

設Vj，Wj分別是小波函數集φj，k（t），ψj，k（t）的正交基，則Vj－1空間下的正交基可表示為：Vj－1＝Vj⊕Wj，j∈Z，由此式可得V0空間下的小波分解：

可以通過式（3）使用一對低通和高通濾波器h和g實現小波變換在相鄰尺度空間的分解和重構，使輸入信號在小波域分解成逼近于細節空間的信號。通常的做法是對圖像在小波域上進行分解：

式中，a，b代表圖像的坐標值；Fhp（a，b）代表高頻分量；Flp（a，b）代表低頻分量。設有低通濾波器［5］的傳輸函數 Hlp（a，b），則有：

因此，在頻域角度基于小波變換的圖像增強可用濾波器的合成實現：

基于小波變換的圖像增強算法的實質就是將圖像在頻域上進行小波分解，得到圖像中的高頻分量和低頻分量，再將圖像中的低頻分量去除，在原圖上疊加一個或數個經處理得到的高頻分量，高頻濾波器的傳輸函數一般可表示為：

這種基于小波變換的圖像增強算法雖然在圖像增強方面有較好的效果，但是在增強圖像的同時，會放大圖像中的噪聲，使圖像的特征信息質量變差。

2 基于Mallat算法對小波函數的改進

針對傳統小波變換在圖像處理中計算量大、增強圖像的同時會放大噪聲的缺點，筆者使用Mallat算法對小波進行分解和重構，使用非線性算子對圖像高頻部分進行增強。Mallat算法［6］是把多分辨率的概念［7］、濾波器族［8］、金字塔編碼策略［9］等思想結合在一起所形成的，是數字信號處理領域進行小波變換分析的基礎。Mallat算法假定已經計算出函數f（t）在分辨率2j下的離散逼近Ajf（t），可以通過離散低通濾波器對Ajf（t）進行濾波得到f（t）在2j＋1分辨率下的逼近Aj＋1f（t）。

首先需要在一維空間中使用Mallat算法做小波分解。設函數f（t）∈l2（R）在定義域內可積，對函數f（t）進行基于低通平滑函數φ（t）的平滑運算，并把這個計算過程看做為一種在極限情況下的逼近，在逐級逼近的過程中，低通平滑函數φ（t）也在進行伸縮，這樣就實現了在不同分辨率下對f（t）進行逐級逼近，這就是多分辨率的思想。在分析圖像信息時，基于多分辨率的分析非常有效。具體算法如下：

設φj（t），ψj（t）分別為信號函數f（t）在2j分辨率下的尺度函數和小波函數，φj，k（t）為空間Vj中的正交基，Vj中任意函數Ajf（t）可表示為φj，k（t），k∈Z 的線性組合。

在Vj中，有信號函數f（t）的平滑逼近Ajf（t）和細節函數Djf（t）：

根據多分辨率函數空間的分解思想，Ajf（t）分解為：

式（9）為信號函數的一級逼近，在此基礎上進行同樣的操作得到信號函數的二級逼近：

分解算法推導完畢，同理可推導出重構算法，首先進行基于二叉樹結構的濾波和信息抽取：

所以得到非線性變換函數：

同理可得：

使用非線性函數對式（11）推導可得：

改進后的算法實質是在小波分解過程中，對原始信號進行基于二叉樹結構［10］的濾波和信息抽取［11］，得到離散平滑逼近和離散細節逼近，并定義為第一級的逼近，然后再在第一級的離散平滑逼近基礎上進行同樣的操作得到二級逼近。逐級進行操作后可以得到各級的離散細節逼近，并作為各級的小波系數。在對信號進行重構時，則進行反向操作，并將抽取運算變為插值［12－13］運算。在逐級分解的過程中得到了各級的高頻分量，在逐級重構中，使用了非線性函數對圖像高頻區域進行了增強，實現了對噪聲的去除和圖像的增強。

圖1 算法效果對比

3 指紋識別試驗

對圖像進行小波分解，得到一副N×N大小的圖像，用Mallat算法分解為4幅大小的子圖像，對子圖像中含有高頻分量的區域應用非線性函數進行增強，再重構回原指紋圖像，增強處理完畢。

為了使傳統小波變換增強算法與改進后的算法進行對比。在內存為2G、主頻為2.4G雙核的PC機上進行算法測試，指紋圖像為256像素×256像素的8位灰度圖。算法的識別效果圖如圖1所示。圖1（a）為原始圖像，圖1（b）為傳統小波變換算法的處理效果，圖1（c）為改進后的算法處理效果，通過幾幅圖像的比較可以得出，傳統小波變換算法在圖像高頻部分的去噪處理不佳，部分區域產生了毛刺，而改進后的算法既能有效地增強圖像，又在局部很好的抑制了噪聲的影響。

4 結 語

基于Mallat函數，從多分辨率的概念、濾波器族、金字塔編碼策略相結合的角度對小波函數進行了改進，使用非線性算子對圖像的含有高頻分量的部分進行邊緣增強，然后重構回原指紋圖像。從指紋識別結果來看，傳統小波變換的算法在對圖像進行增強的同時也放大了噪聲，筆者所設計的算法比指紋增強的經典算法的邊緣增強效果有一定程度的提高，能夠在增強邊緣的同時有效地抑制噪聲。

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