正交多項式在非定常氣動建模上的運用

白斌, 徐敏, 祝小平, 郭東

(西北工業大學 航天學院, 陜西 西安 710072)

正交多項式在非定常氣動建模上的運用

白斌, 徐敏, 祝小平, 郭東

(西北工業大學 航天學院, 陜西 西安 710072)

介紹了一種基于多變量正交多項式的全局非線性氣動系數建模方法。首先由離散數據點生成多變量正交函數;然后根據建立的最小平方誤差預測準則,對正交函數進行篩選,保留下來的正交函數均可以分解成普通的獨立變量多項式,最后的模型可以看作是多變量冪級數展開系列中的選擇性保留項。將該方法應用于某高超聲速飛行器的阻力系數建模;將所建模型和仿真數據進行分析比較,其誤差小于3%,能夠滿足工程應用要求。

多變量正交函數; 非線性; 數據擬合; 氣動系數建模

0 引言

隨著航空航天技術的發展,現代高性能戰斗機的飛行包線逐漸擴大,研究范疇由線性區域拓展至非線性區域。第三代以后的戰斗機的顯著特點是能夠在非線性區域內機動。飛行仿真、動力學分析和系統設計過程中都需要高度可信的非線性氣動模型[1]。由于飛行器所處力學環境復雜,氣動系數具有多變量、非線性特點,使得模型難以建立。研究人員通常希望得到一個簡單解析的全機氣動模型,以便于分析、簡化運算,而采用多變量非線性擬合的方法能夠達到上述目的。

擬合需要解決兩個問題,即確定模型的結構和計算結構中的未知參數。如果模型結構采用多變量級數展開的形式,并建立相應的準則對級數項進行適當的刪減優化,則可得到較好的全局擬合解析模型,且能從中獲得更多的非線性氣動特性,而這些信息卻難以通過表格式氣動數據庫體現。

使用傳統的方法建立全局非線性擬合多項式時會遇到很多問題。首先,不知道模型的結構,即級數展開中哪些項需要保留。很多學者使用逐步回歸來選擇多項式[2-4],然而最小平方問題中產生的回歸量具有很大的相關性(例如相同變量構成的線性和立方項總是高度相關),這將導致參數估計出現病態,從而使得參數估計結果不準確。另一大難題是模型結構的確定和參數估計是耦合的。適當的模型結構是準確地進行參數估計的先決條件,而評價給定模型結構的準確度又需要估計模型參數,這使得建模異常困難。針對以上問題,文獻[1]提出了多變量正交多項式擬合方法,該方法很好地克服了以上缺點,不需要事先建立模型就能夠精確地建立全局非線性氣動系數模型。

與傳統的辨識建模方法不同,本文從擬合的角度提出了一種新的建模方法——多變量正交擬合方法。首先介紹了多變量非線性正交多項式擬合的一般方法,然后在某高超聲速飛行器的氣動系數計算中進行了驗證,證明了該方法的有效性。

1 多變量正交擬合方法

1.1 多變量正交擬合原理

設N維非獨立變量y=[y1,y2,…,yN]T,由n個線性相關的正交函數pj(j=1,2,…,n)表示。pj為N維矢量,由m個N×1維獨立變量xi(i=1,2,…,m)決定。令x=[x1,x2,…,xm],則pj=pj(x)。基于以上假設,y可表示為:

y=a1p1+a2p2+…+anpn+e

(1)

其中:

(2)

式中,aj(j=1,2,…,n)為待定常數;e為模型誤差。為確定正交函數pj,在此忽略e的影響。定義N×n矩陣

P=[p1,p2,…,pn]

(3)

同時令a=[a1,a2,…,an]T,則式(1)可以表示為:

y=Pa+e

(4)

為求得a,令

J=(y-Pa)T(y-Pa)

(5)

(6)

1.2 模型結構的確定準則

(7)

將式(5)進一步展開為:

(8)

將式(2)、式(7)代入式(8)可得:

(9)

定義最小平方誤差

(10)

MSE可以保證模型與數據的一致性,但是沒有涉及到整個模型的總項數。由式(9)可以看到,僅通過不斷增大n即可實現減小MSE值,因此式(10)不能很好地確定多項式的項數,需對模型加以改進。改進方式如下:

(11)

其中:

1.3 正交函數的生成

對于多變量正交函數的生成方法在文獻[5]中有詳細的介紹。正交多項式pj(j=1,2,…,n)的生成與xi(i=1,2,…,m)密切相關。為此可以先對普通多項式加以討論,其形式可寫為:

(12)

?{k1,k2,…,kμ-1,kμ,kμ+1,…,km}

k?{k1,k2,…,kμ-1,kμ+1,kμ+1,…,km}

(13)

(14)

將式(13)和式(14)聯立即可求得正交多項式pj;然后利用PSE判別標準,求得能使PSE滿足的n值;最后代入式(7)即可求得相應的系數值,實現多變量非線性數據擬合。

2 氣動系數建模與仿真

以某高超聲速飛行器為例,進一步闡述如何進行多變量非線性數據擬合,本文僅討論定常狀態。對于阻力系數CD其表達形式如下[6]:

CD=CD0(Ma,α,β)+CDδe(Ma,α,δe)+

CDδa(Ma,α,δa)+CDδr(Ma,α,δr)

(15)

式中,δe,δr,δa分別為升降舵、方向舵、副翼舵偏角。由CFD計算得到式(15)右邊四項對應的仿真數值,各參數范圍如下:

Ma=3.0,4.5, 6.5

-8°≤α≤8° (Δα=4°)

β=±8°,±6°,±4°,0°

-10°≤δe≤10° (Δδe=2°)

-10°≤δa≤10° (Δδa=2°)

-20°≤δr≤20° (Δδr=2°)

運用正交函數擬合首先得到CD0(Ma,α,β)的解析表達式如下(為表述方便,α,β在式(16)中為弧度,而在其他圖形及表格中均轉化為度):

CD0=c1Ma4+c2Ma3α+c3Ma3+c4Ma2α2+

c5Ma2α+c6Ma2β2+c7Ma2+c8Maα3+

c9Maα2+c10Maαβ2+c11Maα+c12α3+

c13α2β2+c14α2+c15αβ2+c16β4+c17β2

(16)

式(16)各系數值如表1所示。

表1 CD0(Ma, α, β)表達式各系數值Table 1 Coefficients of expression CD0(Ma, α, β)

為了形象地進行對比,固定Ma=6.5,表2給出了在不同α,β條件下,部分仿真數據和擬合數據的結果。可以看出，不同α,β下擬合誤差均在2%以內,精度較高。

表2 CD0(Ma, α, β)的仿真數據和擬合數據Table 2 Simulation and fitted data of CD0(Ma, α, β)

圖1給出了Ma=6.5時仿真數據和擬合數據的三維圖,可以看出兩者在空間的走勢一致,沒有出現突變現象,說明擬合表達式具有全局有效性。

圖1 CD0(Ma, α, β)三維圖形Fig.1 Three-dimensional results of CD0(Ma, α, β)

圖2分別給出了Ma,α,β中固定兩個變量時的二維對比圖,其中虛線表示擬合多項式的函數曲線,實心點表示離散仿真數據結果。由圖2(a)和圖2(b)可知,擬合曲線與仿真數據點符合得較好;而在圖2(c)中,由于數據點較少擬合曲線波動較大,無法驗證其精確度。由此可知,擬合精度不但與擬合方法有關,還與原始數據點多少、分布是否合理有關,數據量越大,分布越合理,相應地擬合精度越高。

圖2 Ma, α, β中固定兩個變量時的二維對比圖Fig.2 Two-dimensional comparison figure when two variables of Ma, α, β are fixed

(17)

將表2的數據代入式(17),可以求得當Ma=6.5時,擬合誤差為2.18,具有較高的擬合精度。

按照上述方法可以分別求得式(15)中的CD0,CDδe,CDδa,CDδr,進而得到阻力系數CD,最終完成全局氣動系數的建模。

3 結束語

傳統的非定常氣動建模大部分都是從辨識的角度出發,過程較為復雜繁瑣,并且模型重復利用率較低,不利于后續分析運用。本文從擬合的角度闡釋了基于多變量正交多項式的建模方法,該方法較為新穎,省去了很多工作,能夠建立解析的氣動模型,簡潔易懂,通用性強,值得推廣。同時,已經將該方法運用到大迎角耦合氣動建模中,完成了氣動特性分析,這些將在后續的文章中加以介紹。

[1] Morelli E A.Global nonlinear areodynamic modeling using multivariate orthogonal functions [J].Journal of Aircraft,1995,32(2):270-277.

[2] Klein V,Batterson J G,Murphy P C.Determination of airplane model structure from flight data by using modified stepwise regression[R].NASA-TP-1916,1981.

[3] McBrinn D E,Brassell B B.Aerodynamic parameter identification for the A-7 airplane at high angles of attack[C]//Proceedings of the AIAA 3rd Atmospheric Flight Mechanics Conference.TX,1976:108-117.

[4] Hall W E,Jr Gupta N K.System Identification for nonlinear aerodynamic flight regimes[J].Journal of Spacecraft and Rockets,1977,14(2):73-80.

[5] Weisfeld M.Orthogonal polynomials in several variables[J].Numerische Mathematik,1959,1(2):38-40.

[6] 李新國,方群.有翼導彈飛行動力學[M].西安:西北工業大學出版社,2005:4-9.

Nonlinearaerodynamicmodelingusingonorthogonalpolynomials

BAI Bin, XU Min, ZHU Xiao-ping, GUO Dong

(College of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

A technique is introduced for modeling of nonlinear aerodynamic coefficients based on multivariable orthogonal polynomials. All the multivariable orthogonal functions are generated from the scatter data and a minimum squared-error predication criterion is used to screen the orthogonal functions according to their contribution which is easy to optimize. Each retained orthogonal function is then decomposed into an expansion of ordinary independent variable polynomial so that the final model could be interpreted as selectively retained terms from a multivariable power series expansion. The approach has been applied on the drag coefficient modeling for a hypersonic aircraft. By comparing the analytical model with the CFD data, it is found that the squared-fit error is less than 3%, which can meet the requirements for engineering application.

multivariable orthogonal function; nonlinear; data fit; aerodynamic coefficient modeling

V211.4

A

1002-0853(2013)05-0398-04

2012-12-04;

2013-04-08; < class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間:2013-08-21 18:46

白斌(1990-)，男，四川營山人，碩士研究生，研究方向為飛行器穩定性分析。

(編輯：李怡)