傾轉機身無人機俯仰角奇異問題研究

路平, 肖文健

(軍械工程學院 無人機工程系, 河北 石家莊 050003)

傾轉機身無人機俯仰角奇異問題研究

路平, 肖文健

(軍械工程學院 無人機工程系, 河北 石家莊 050003)

針對傳統四元數向歐拉角轉換公式的奇異性,分析了尾坐式垂直起降無人機在傾轉機身時俯仰角奇異的問題,提出一種新的四元數向歐拉角轉換方法。將雙歐法與四元數法相結合,利用正歐拉角與反歐拉角奇異倒掛的特點,克服了傳統四元數向歐拉角轉換時俯仰角出現的奇異性。仿真結果表明,該方法實現了俯仰角在全角度范圍的變化,有效地解決了尾坐式垂直起降無人機在傾轉機身時俯仰角奇異的問題。

傾轉機身; 四元數; 雙歐法; 奇異性; 全角度

0 引言

垂直起降飛行器對跑道無依賴,且具有可懸停的優勢;與傳統直升機相比,垂直起降飛行器具有更高的前飛速度、更遠的航程。正因為具備這些優點,垂直起降飛行器尤其適用于需要懸停或對起降場地有特殊要求的場合。目前,垂直起降飛行器有許多種類,如英國的“鷂”式垂直起降飛機、美軍的V-22雙傾轉旋翼飛機。“鷂”式飛機通過調整尾噴管方向來實現垂直起降,V-22則通過安裝在飛機上部兩側的兩個可傾轉旋翼來實現這一功能。最近,一種新型尾坐式垂直起降方案引起人們的關注,采用機尾坐地式垂直起飛,達到一定高度后轉入平飛。降落時先爬升且機頭向上,隨后減小推力垂直降落。這種方式結構簡單、質量輕,尤其適用于不必考慮空乘人員生理極限的無人機。這種尾坐式無人機在起飛時俯仰角接近或超過90°,此時歐拉角定義的奇異性將給飛行器姿態的解算帶來一系列問題。目前,克服歐拉角奇異性的方法主要有四元數法和雙歐法等。捷聯慣導多采用四元數來表示飛行器姿態,這樣可以避免歐拉角帶來的奇異。但是由于歐拉角比四元數更加直觀,往往要將四元數轉換為歐拉角,而在傳統四元數向歐拉角轉換的過程中又引入了奇異[1]。20世紀70年代末,中國的科技工作者提出了解決歐拉方程奇異性的雙歐法,并從理論上對此方法進行了深入的論證,研究和計算結果表明,應用雙歐法能夠有效解決歐拉角的奇異問題[2-3]。但是,雙歐法在解正反歐拉方程時會涉及大量三角函數計算,顯然對于多采用嵌入式系統的微小型飛行器很難快速完成這么大的計算量。

本文將討論如何將四元數法與雙歐法相結合,實現俯仰、滾轉和航向三軸歐拉角的全角度測量,以解決尾坐式垂直起降無人機在傾轉機身時俯仰角奇異的問題。

1 奇異性研究

1.1 尾坐式無人機起降原理

尾坐式無人機采用尾坐式停放,以直升機模式垂直起飛。達到允許高度后,自動傾斜器前傾并配合升降副翼下偏,由此產生低頭力矩使無人機轉入固定翼飛機模式平飛。降落時,無人機爬升并使機頭豎直向上,然后協調減小旋翼總距及轉速,緩慢垂直下降直至著陸。起降過程如圖1所示。

圖1 尾坐式無人機起降過程Fig.1 Process of tail seated UAV taking off and landing

從圖1可以看出,這種垂直起降的無人機起降時機頭垂直向上,俯仰角接近甚至超過90°,而通常俯仰角的定義為-90°～90°。當俯仰角接近或者超過90°時,歐拉角法或四元數法在解算姿態角時都會不同程度地出現奇異問題,這給無人機飛行姿態的解算帶來很大問題。

1.2 歐拉角法

確定載體的姿態,就是確定載體坐標系和大地坐標系之間的關系。在起始時刻兩坐標系重合,經過繞z-y-x三軸轉動到達新的坐標系,稱三次轉動角ψ,θ,φ為正歐拉角。由文獻[4]提供的載體坐標系中角速度與正歐拉角的關系式得到正歐拉方程為:

(1)

由式(1)可以看出,當俯仰角θ趨近±90°時,第二項將趨于無窮而無法計算。當θ趨近0°或±180°時,方程解的精度較高。

當確定載體的姿態時,選取另一套與上述正歐拉角轉動順序不同的歐拉角θr,ψr,φr,其轉動順序為y-z-x,稱此歐拉角為“反歐拉角”,為了與上述正歐拉角區別用下標r表示。其對應的“反歐拉方程”為[5]:

(2)

由式(2)可以看出,僅對反歐拉方程而言,也存在奇異性問題。當偏航角ψr趨近±90°時,第一項將趨于無窮而無法計算,方程出現奇異性。當ψr趨近0°或±180°時,方程解的精度較高。

1.3 四元數法

四元數形式的運動方程[6]為:

(3)

式中,q0,q1,q2,q3為描述飛行器姿態的四元數;ωx,ωy,ωz分別為飛行器繞x,y,z軸的角速度。

由于式(3)為線性微分方程組,所以沒有奇異性。但是四元數描述飛行器姿態不夠直觀,當求出四元數q0,q1,q2,q3的值時,很難直觀反映出此時飛行器的姿態。所以通常把四元數轉化為歐拉角,其轉化公式為:

(4)

由式(4)可知,俯仰角只能在-90°～90°之間取值,若俯仰角超過這個范圍,則出現奇異。

2 全角度姿態角解算方法分析

由1.2節中對正反歐拉角的分析可以看出,正反歐拉方程都存在奇異性的問題,但兩個出現奇異性的位置并不一樣。如果綜合考慮,能夠避免歐拉方程在奇異處求解,即為“雙歐法”[7]。

將出現奇異的角度附近區域稱為奇異區,歐拉方程解的精度較高區域稱為精華區。如果以±45°和±135°為界,可將0°～360°的區域按圖2所示劃分。

從圖2可以看出,正、反歐拉方程之間精華區和奇異區存在倒掛的關系。雙歐法正是基于這種思想并利用了這種倒掛關系,既擺脫了單組歐拉方程會出現奇異性的困難,又運用正、反歐拉方程的精華區提高了解算精度。

圖2 正、反歐拉方程精華區與奇異區Fig.2 Essence and singular area of Euler equation

利用雙歐法雖然能解決姿態解算時出現的奇異性問題,但是采用歐拉角進行姿態解算會涉及大量三角函數的運算,影響了算法的實時性。通過1.3節的分析可以看出,在四元數進行姿態解算時沒有過多的三角函數運算,且在計算過程中不會出現奇異,僅在四元數轉歐拉角時引入了奇異性。所以采用四元數進行姿態解算,在四元數轉歐拉角時,借鑒雙歐法的思路來解決出現奇異的問題。

由正歐拉角表示的從大地坐標系到載體坐標系的變換矩陣[8-9]見式(5),由反歐拉角表示的從大地坐標系到載體坐標系的變換矩陣見式(6)。

(5)

(6)

由四元數表示的從大地坐標系到載體坐標系的變換矩陣為:

(7)

因為從大地坐標系到載體坐標系的變換矩陣是唯一的,所以式(5)、式(6)和式(7)的右端矩陣相等,由此可以得到不同的四元數與歐拉角的轉換關系。四元數與正歐拉角的轉換關系為式(4),與反歐拉角的轉換關系見式(8),通過式(4)和式(8)把四元數與雙歐法結合起來。

(8)

在姿態解算過程中采用四元數法,避免了雙歐拉角法中三角函數運算量大的問題;在解算結果輸出過程中,通過采用雙歐法推出不同條件下的歐拉角轉換公式,避免了奇異性問題的出現。

3 全角度姿態角解算流程

全角度姿態角解算過程包括兩套四元數轉歐拉角的運算。四元數更新過程依據上一次四元數以及當前傳感器數據進行更新運算,與解算出的歐拉角無關。當俯仰角的變化超過±45°時，將引起兩套四元數轉歐拉角公式的變換。因為前后兩次姿態角解算之間俯仰角的變化非常小,所以在算法中采用上一次的俯仰角作為判斷。其具體求解流程如圖3所示。

圖3 全角度姿態角解算流程圖Fig.3 Full-scale attitude angle resolving process

4 試驗結果與分析

本文以某微小型無人機的航姿測量系統為平臺,進行姿態解算得出姿態角。該系統由控制器、陀螺儀、加速度計和磁強計組成,控制器通過采集傳感器數據進行姿態解算,并得出姿態角。為了驗證該全角度姿態解算方法的效果,先不加入上述算法,直接將系統解算出的四元數轉換為歐拉角輸出。保持滾轉角和偏航角為零,逐漸增大俯仰角,并記錄三個歐拉角的變化情況;然后在系統中加入上述全角度姿態解算方法后,進行同樣的仿真,并記錄此時三個歐拉角的變化情況。記錄仿真結果如圖4所示。圖中，姿態角采用不同線型表示,新方法通過加點以示區別。

圖4 姿態角變化曲線Fig.4 Change of attitude angle

從圖4可以看出,采用傳統的方法,當俯仰角接近90°時,滾轉角和航向角均出現突變,從0°分別變到-180°和180°。加入本文所述算法后，系統俯仰角在90°時沒有了奇異性;俯仰角接近90°時,滾轉角和航向角均沒有出現突變的現象。

為了進一步驗證該算法對俯仰角大幅度變化的跟蹤性能,首先設定俯仰角持續跟蹤幅度為175°的正弦信號,觀測俯仰角輸出以及誤差情況,結果如圖5所示。由圖5可以看出,在俯仰角幅度連續大范圍變化中,系統俯仰角跟蹤效果良好,誤差始終保持在±0.5°以內。

圖5 俯仰角大范圍變化跟蹤曲線Fig.5 Tracking of pitch angle variation in wide range

5 結束語

將四元數與雙歐法相結合可以有效地解決俯仰角在全角度范圍內變化的跟蹤問題,并且誤差較小。此算法結合了四元數計算簡單、歐拉角表示直觀的優點,有效地解決了尾坐式垂直起降無人機在傾轉機身時俯仰角奇異的問題,并且對于其他俯仰角變化幅度較大的飛行器也有借鑒價值。

[1] 登志紅,付夢印,張繼偉,等.慣性器件與慣性導航系統[M].北京:科學出版社,2012:20-135.

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ResearchonthepitchanglesingularityproblemoftiltingfuselageofUAV

LU Ping, XIAO Wen-jian

(Department of Unmanned Aerial Vehicle Engineering, Ordnance Engineering College,Shijiazhuang 050003, China)

For the singularity problem of transformation between quaternion and Euler, the pitch angle is singular when the vertical takeoff and landing (VTOL) UAV tilts the fuselage. A new transformation way between quaternion and Euler was proposed. This method utilized the inverse relationship between the ordinary and the reversed Euler equations and solved the singularity problem successfully. Simulation results show that this method could calculate the pitch angle in the full-scale and effectively solve the singularity problem when the VTOL UAV tilts the fuselage.

tilting fuselage; quaternion; Dual-Euler method; singularity; full-scale

V249.1

A

1002-0853(2013)05-0429-04

2013-01-23;

2013-04-06; < class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間:2013-08-21 16:14

路平(1961-)，男，河北石家莊人，教授，碩士生導師，研究方向為無人機通信鏈路與導航；肖文健(1989-)，男，河北張家口人，碩士研究生，研究方向為無人機姿態測量。

(編輯：李怡)