學習科學視域下的初中數學課例研究

余紅宴，黃凱科

(1.湖北師范學院 數學與統計學院，湖北 黃石 435002;2.湖北師范學院 教師教育研究與發展中心，湖北 黃石 435002;3.湖北省黃石市第十四中學,湖北 黃石 435002)

1 研究背景

在過去的20年見證人類有史以來學習理論發生的最本質與革命的變化[1]。學習科學致力于 “人是如何學習的？”這一主題的研究，植根于真實的情境，采用除教育心理學外的人類學、社會學、認知科學、信息科學等各領域的研究方法，進行跨學科的合作研究。學習科學的研究目標是首先為了更好的理解認知過程和社會化過程以產生更有效的學習；其次是為了用學習科學的知識來重新設計我們的課堂和其他學習環境，從而促進學習者更有效而深入的學習[2]。數學課例研究是致力于“改進課堂環境中發生的學習”這一目標，通過研究者現場觀察、采用社會學、人類學、學習心理學的方法研究課堂教學，改進課堂教學，產生更加高效的課堂教學。

從學習科學的視域來進行數學課例研究是一項有力的嘗試。目前，我們正在開展的湖北省教育科學“十二五”規劃2011年度重點課題：《運用“巧學案”改善初中生學習動機、學業成績和學習自主性的實驗研究》是一個有學科教育專家、科任教師、管理人員合作的項目。針對現在大部分學校教學的“蠻教笨學”現象，我們提出“慧教巧學”的理念，讓教師有智慧的教，學生主動巧妙的學。

2 研究實例：數學學習中正遷移的促進

背景資料:尋找全等三角形:2012年6月7日，初中二年級上午第一節數學課，課題是全等三角形的判定及其應用，教師A使用多媒體講授。

多媒體顯示:問題探究1：已知兩個邊及其一邊的對角相等能判斷兩個三角形全等嗎？為什么？

學生思考3min，教師A點學生回答，回答聲音小。教師A說，會的同學舉手，全班3人舉手。

多媒體顯示:圖形1：

但是△ABC與△ABD不全等.

觀察者視角：學生的反饋讓教師A有點不適應，因為這個例子比較經典，學生從尋找全等三角形到錯例子還有很大的知識距離。一個判斷定理的掌握，舉例顯得尤為重要，舉例主要有正例、旁例、反例。這個屬于反例，有難度。讓學生在同一圖形中抓關系確有困難。

多媒體顯示:問題探究2：畫一個三角形使得一邊長為 3.5cm，一邊長為2.5cm 且其所對的角為40°.動手操作、畫一畫。

教師巡視,下來指導，學生不知如何下手，有的還沒有直尺和圓規，不知如何操作。

觀察者視角：教師的意圖我以為是通過畫圖操作實現探究三角形形成的可能性，但學生操作能力沒有培養好。面對實際動手，顯得舉步維艱。當時我就有個疑問，為什么是40° ?而不是 30°呢？我很疑惑， 40°加大了數學理解的難度，也可能是教師A在這里忽略了教學的設計。

教師A開始演示，取兩條線，長分別為 3.5cm，2.5cm ……畫圖2

圖1 圖2

觀察者視角：學生產生學習困難，從教學的角度要理解問題操作的難度，作圖題涉及的是幾何知識的熟練運用。我問我旁邊的幾位同學，老師在黑板上演示了，你們為什么還是沒有操作一遍？他們都說，黑板上有。這個幾何作圖，若能利用幾何畫板軟件動態作出，那該是什么的學習與教學體驗。

多媒體顯示:例題1

如圖3，OA=OD,OB=OC,求證：△AOB≌△COD.

教師A點學生上來演板。結果出來后，情況不是我們大家想象那樣。老師A本意是想讓學生利用邊角邊(SAS)判定定理，學生的表達出了問題。學生表達如下：會做的同學一直在下面笑，老師A也覺得特失敗。教師A修改后繼續上課。

所以 △AOB≌△COD

觀察者視角：為什么直接運用定理的題學生還是出錯？其實形式化的證明是幾何的高級階段，不容易掌握其中的數學要義。幾何的發展也是分階段，學生學習幾何時，要經歷幾個階段的幾何水平發展，起初的幾何是不需要證明的，如直觀幾何，主要關注學生的操作水平，用折紙等方式打下幾何的經驗基礎。變換幾何是從變換的角度理解幾何，平面上的圖形是動態的，可以對折、平移、旋轉。學生通過變換幾何的認識，加快產生圖形的內在思維操作過程，產生幾何學習的飛躍。理解幾何學習的困難，給學生以幫助。

多媒體顯示:問題探究3：如圖4，AC=BD,∠CAB=∠DBA,你能說明AD=BC嗎？說明理由。

觀察者視角：教師A設計意圖是想讓學生利用全等三角形的判定定理，證明△CAB≌△DBA，再得出AD=BC.可是教師A若能領會變換幾何的思想，讓學生在尋找全等三角形的時候運用平移、對折、旋轉三種變換，全等三角形的尋找將是一種什么樣的旅程呢？

圖3 圖4

3 認知學徒制的框架

認知學徒制是艾倫·柯林斯和約翰·西利·布朗在開發基于學徒制經驗的學習環境產生的學習科學的新概念。他們認為[2]：

縱觀歷史，教和學都是以學徒制為基礎的。兒童學習如何說話、農民學習農作物種植、裁縫學習制衣服、木匠學習制作家具，但是他們不是在學校學會這些事情的，而是他們的家庭或社區的長輩告訴他們如何做，并且幫助他們學會的。

……

在現代社會，對于絕大部分其他知識來說，學校教育代替了學徒制。

……

當一個人擁有資源和強烈的學習愿望時，他們也經常會雇用一個教練或輔導教師通過學徒制來教他們——這表明即使是現代社會中學徒制仍然是更有效的教育方式。

認知學徒制注重構成學習環境的四個維度：內容、方法、順序和社會學[2]。在這個框架下研究、探討在真實環境中的數學課例，發現可以促進學生學習、改進教師教學環境設計的地方。

3.1 內容

內容是專家技能需要的知識類型，主要包括領域知識、策略知識(啟發策略、元認知策略、學習策略)。教學設計必須掌握領域知識，即學科具體的概念、事實和程序[2]。課例中學科具體的概念是全等三角形，判定的事實和程序是邊角邊判定定理，這是一個條件性知識，不易掌握，因為應用這個定理是要注意應用條件，所以教師A設計了反例(探究1、探究2)和正例(例1)、旁例(探究3)反復理解這個條件，讓學生理解。教學設計必須掌握策略知識，即啟發策略、元認知策略、學習策略[2]。元認知是關于認知的認知，控制執行任務的過程。學習策略是學習領域知識、策略知識的策略。在課例中，教師A試圖促進學生產生正遷移，可是學生的正遷移反饋情況并不理想。所以教師的教學設計應該是基于設計的教學，其中還要體現教師的策略知識的設計。

3.2 方法

方法是促進專家技能發展的方法。認知學徒制的教學方法主要有六種：示范、輔導、腳手架、表達、反思、探索[2]。

方法的設計中的示范主要是指通過專家演示執行任務的過程，以便于學生觀察并對需要完成的目標過程形成概念模型[2]。例中教師A的規范的示范較少，主要是通過問題探究，學生的學習限于表面，有的時候不理解，因為沒有教師的規范示范，學生沒有可依據的執行完成任務的概念模型。

方法的設計中的輔導包括觀察學生執行任務并為其提供建議、反饋[2]。比如教師可以讓學生問問題，闡明困難的原因、歸納總結等。課例中研究者觀察到教師A沒有太多的輔導設計，對于學生產生的學習困難沒有輔導，只是加以改正說明，學生的學被放到一邊，這對于促進學生的學是個缺陷。

方法的設計中的腳手架是教師為幫助學生執行任務而提供的支持[2]。腳手架體現了教師在幫助和促進學生的支持設計。課例中的教師A的例題設計都是學科教學比較典型的問題，可是沒有設計腳手架，學生沒有得到幫助與支持，學生的反饋也說明這一點，學生覺得很難，可教師認為很簡單，這中間的差距恰好說明了腳手架的存在以及對學生學習的促進作用。腳手架的提供的例子可以是減緩問題的坡度，提供活動的框架等設計或建議。

方法的設計中的表達包括讓學生明確陳述某個領域中的知識、推理或問題解決的過程[2]。把學生學習的內在思維過程顯化為數學語言，對于學生的數學學習是一個有效的促進方法。“啞巴數學”的現象比較普遍，就是存在數學的表達的設計的忽略，教師只是傳遞知識，學生只是接受知識。基于學的設計要考慮學生的學，還要考慮學生的數學語言表達。包括數學語言的聽說讀寫思的培養。課例中教師A雖然也以提問的方式教學，探究的形式提問，可是為什么沒有促進學生的學習正遷移呢？學生的內部思維沒有得到展現，學生演板出現的問題和錯誤，教師沒有反思深層原因，也沒有給機會學生表達和闡釋，學習只是接受教師的修正，沒有自己的“話語”，長期的“失語”使得學生的數學學習的主體性喪失，參與性學習減少，智力參與活動與深層學習缺失。

方法的設計中的反思是指學生將在自己的問題解決過程與教師、同學對比。鼓勵學生反思可以促使學生的批判思維的形成，與教師或專家的內部認知模式進行比較，其目的是從專家或教師的行為的關鍵特征的“抽象重播”[2]。課例中的反思很少，使得學習的思維停留在記憶和模仿。沒有反思，就不可能形成“抽象重播”，沒有情境的學習使得學生的學習沒有思維與行為的參照和重復性，數學的學習變得很困難。數學的學習在本質上是一種“模式”的學習。這種模式是可遷移的，是從在反思中歸納專家的關鍵行為而獲得的。

方法的設計中的探索是指引導學生自主尋找解決問題的模型[2]。在課例中，雖然都是以探究的形式出現的，但是學生的自主性不強。教師A的方法設計中沒有真正探索。學生沒有形成對教師A的整個設計意圖的認識，不是在教師的引導下探索問題，而是教師提問，學生回答,不會或錯誤，教師給予答案或糾正。這種模式不會產生探索，因為學生的主體性喪失，話語喪失，自主性消失了。探索的方法設計讓教師認識到要設計探索，如課后開放性問題、課堂的題組設計等都可以形成探索的源泉。

3.3 順序

學習的順序設計是指引導學生活動的先后順序。一般是逐漸增加復雜性、逐漸增加多樣性、全局優先局部等[4]。結合課堂中學習的發生、發展的邏輯的特點，設計順序，優化學習過程。課例中的問題設計沒有體現順序，難度沒梯度，知識重點知識的羅列，順序的功能沒有體現，其中幾個探究問題還有進一步發展的可能。

3.4 社會學

認知學徒制的社會學視角主要涉及情境化學習、實踐共同體、內部動機、促進合作等方面的視角[2]。課例中實踐共同體和促進合作方面比較缺失的。課堂中“話語模式”基本上是“教師問、學生答；不會，教師講解；錯誤，教師糾正”。沒有生生的合作和交流與班級的學習共同體和合作的相互學習模式的形成，課堂社會學的視角的設計是今后應該努力的一個方面。

4 建構主義的視角

建構主義學習觀認為，學習活動不應該是由教師向學生傳遞知識，而是幫助學生建構自己知識的過程，學習者不是被動地吸收知識，而是主動地建構信息的意義，同時把社會性的互動作用看做促進學習的源泉[3]。人們基于他們已經知道的知識去建構新知識和新知識的理解。建構主義者認為不管如何教一個人，所有的知識是基于已有的知識而建構起來的[6]。這些知識成為新的教學的邏輯起點。學習就是學習者的意義建構、是社會互動與協商。數學教育家費賴登塔爾就強調要關注學生的數學現實與數學經驗。

社會建構主義認為社會對個體知識的建構起著重要的支持和促進作用，并且認為人的高級心理發展是自然性與社會性相互作用內化的結果[5]。數學知識的基礎是語言知識、約定和規則而語言就是一種社會建構，主觀的數學知識只有得到社會數學專業共同體的承認才能轉化為客觀知識,數學學習既是一個“個體建構” 的過程，同時也是一個“文化建構”的過程，教學設計中要體現情境性，建構學習者的意義，增加數學文化環境的預設。

5 情境認知與學習的遷移促進

學校教育的一個目標是為了使得學生能靈活地適應新的問題和情境而做準備，即學生的知識遷移能力。我們可以從三個方面認識影響學習的遷移促進因素：首先是知識性質。Anderson把知識分為兩類：陳述性知識與程序性知識，探討知識的表征性質以及它們的功能。Mayer提出廣義的知識觀，把知識分為三類：語義知識；程序性知識，策略性知識。策略性知識對于如何學習、記憶，包括應用策略進行自我監控。策略知識的獲取受原有知識背景、反省認知發展水平、動機水平的影響[3]。第二是學習策略。學習科學的新研究表明,幫助學生對自己學習進行自我監控的重要性。元認知就是對認知的認知，包括關注于理解、自我評價和根據所學和需要改進的地方進行反饋的活動，對知識遷移到新情境的程度得到增強[1]。第三是情境認知。先前的知識可能幫助或妨礙新信息的理解。有效的教學促進正遷移，這是通過主動確定學生帶到學習情境相關知識與能力并在此基礎上的進行建構來實現的[1]。情境以強有力的方式影響著學習及其遷移。研究表明，知識與認知技能的獲得均高度的依賴于獲得它們的情境。學習遷移是解決問題等創造性思維的核心能力，是學生學習過程中必不可少的和期望出現的現象[4]。

6 課例的迭代設計

基于設計的研究是學習科學的對于學習環境設計的研究方法之一，柯林斯希望發展一種教育的科學，是一門設計的科學。他們認為設計是對未來的創造，在多次循環迭代中，對理論進行“漸近式修正”，也是一種面向實踐的發展性研究[5]。課例的迭代設計參考思路如下：

1)明確設計目標。學習目標就是正確的使用邊角邊(SAS)判定定理，是屬于條件性情境的創設，通過正例、旁例、反例說明判定定理使用的條件。

多媒體顯示:例題1 如圖5，OA=OD,OB=OC,求證：△?△COD.

觀察者視角：直接運用SAS判定定理，對特定的圖形進行識別，全等三角形的尋找，運用變換幾個的觀點可以遷移到下面的問題。

多媒體顯示:例題2如圖6，AC=BD,∠CAB=∠DBA, 你能說明AD=BC嗎？ 說明理由。

圖5 圖6

觀察者視角：對這個問題直接運用SAS判定定理，失去了一次深層學習的機會，若對上題圖形作旋轉、平移、對折可以變為這個問題的圖形，讓圖形內在的聯系表現出來，產生學習遷移。即下圖7的思路：

2) 創設具體情境

多媒體顯示:探究1:如圖8.有一池塘，不知池塘對岸A,B兩點距離，現已取定池塘邊一點O，測得OA，OB之距離，問可否知道AB之距離？

觀察者視角：創設情境，讓學生聯系日常生活實際，聯系例題1，拓展幾何的應用，可以建構例題1的圖形。延長AO,BO至C,D.使得OA=OC，OB=OD聯結CD,測量CD即可。

3)促進深層學習

多媒體顯示:探究2,如圖9，畫一個三角形使得一邊長為 4cm，一邊長為 2.5cm且其所對的角為 30°,動手操作、畫一畫。

圖7

圖8 圖9

觀察者視角：通過學生實際的動手操作，獲得數學活動經驗，探究AB的臨界值的重要價值。分三類問題：大于2cm,等于2cm,小于2cm.課例中的探究就是存在兩個符合條件三角形的可能性，如是探究問題：已知兩個邊及其一邊的對角相等能判斷兩個三角形全等嗎？為什么？

7 結論與建議

促進學生的學習的有效遷移，是我們教學設計致力的一個設計目標。為學習而設計的教學向為學習的有效遷移轉化。知識的學習永遠是有限的，但學習的遷移能力是在負責的新情境中仍然可以適應的能力，是學校教育所期待出現現象,是有效學習的一個重要的標志。從學習科學的視角，關注人的學習。基于設計的研究方法，面向實踐的建構性發展，關注學習環境的創設和認知學徒制的范式的形成，為課例研究提供一個新的視角和嘗試。

教學設計者在設計與教學實踐中,要考慮學生自己的先前的知識基礎,要創設知識學習遷移的學習環境，發展學生的學習的元認知等認知策略，考慮學生的學習的社會性，加強學生之間的對話與交流的設計，促進班級“學習共同體”學習文化的形成。

參考文獻:

[1]約翰·D·布蘭斯福特.人是如何學習的——大腦、心理、經驗與學校[M].高文,譯.上海：華東師范大學出版社,2002.

[2]R·基思·索耶.劍橋學習科學手冊[M].徐曉東等,譯.北京：教育科學出版社,2010.4.

[3]喻 平.論數學解題教學的現代理論基礎[J].數學傳播，2002,26(4),60～68.

[4]王靜文.情境認知與學習[M].重慶：西南師范大學出版社,2005.

[5]高 文.學習科學的關鍵詞[M].上海：華東師范大學出版社,2009.