疲勞可靠度分析的概率密度演化方法

徐亞洲

（西安建筑科技大學 土木工程學院，西安 710055）

疲勞損傷及斷裂問題是材料和結構失效的常見模式。有資料表明，70%～80%的金屬結構破壞與疲勞損傷及斷裂有關［1］。由于影響結構疲勞損傷及斷裂的因素甚多且物理機制復雜，如材料性質、結構組成、荷載、參數估計、模型誤差、使用環境等［2］，本質上均具有不可忽略的隨機性。因此，采用可靠度的方法分析結構疲勞損傷就成為一種自然的選擇。

疲勞可靠度分析理論一直是該領域的研究重點。針對傳統的應力強度干涉模型的不足，Liao等［8］建議了可以考慮非線性損傷累積的動力干涉模型。倪侃等［9］同建立了疲勞可靠度的二維概率Miner準則。Le等［10］建議了一種未知載荷信息時對結構進行疲勞可靠性分析的方法。通過對已產生疲勞損傷的構件進行剩余壽命測試，并與同類新構件的疲勞壽命進行比較，據此間接地推斷受損構件的疲勞載荷特性。Lu等［11］采用等效初始缺陷尺寸法（EIFS）進行了比例及非比例多軸加載條件下的疲勞壽命分析。王春生等［12］根據Bayes定理建立了既有鋼橋疲勞可靠度更新模型。Pan等［13］采用gamma隨機過程理論及Birnbaum－Saunders雙變量概率分布分析了具有多個退化路徑的疲勞壽命問題。Pipinato等［14］采用線彈性斷裂力學研究了交通荷載損傷與地震損傷組合對橋梁疲勞壽命的影響。基于現場監測疲勞載荷譜，Guo等［15］對加固鋼橋進行了疲勞可靠性分析。Sih［16－19］開展了一系列多尺度疲勞可靠性研究，涉及跨越納觀、介觀、宏觀尺度時材料的疲勞可靠性分析。

本文基于概率守恒原理［20］，從隨機損傷演化的角度考察隨機源和疲勞損傷的聯合概率密度函數在循環加載過程中的變化規律，推導出描述聯合概率密度函數在損傷變化率輸運過程中滿足的演化方程，給出了相應的差分數值解法。最后，通過常幅疲勞及二級加載變幅疲勞試驗結果驗證了方法的正確性。

1 隨機疲勞損傷演化方程

1.1 隨機疲勞損傷模型

疲勞損傷的一般形式可以表示為

其中：Y （n）為隨機損傷過程；n為加載次數；Θ是確定隨機損傷的隨機參數集合；F是描述參數與隨機損傷過程的一般變換，確定著加載次數、疲勞應力幅、累積損傷法則、S－N 關系等因素與疲勞損傷的關系。事實上，疲勞循環應力本身是一個連續過程，只是采用S－N 曲線計算疲勞損傷時將其離散為與加載次數有關的過程。此外，與疲勞壽命的數量級相比可以視加載參數為連續變量，故以下基于此進行基本方程的推導。

f（Θ ，n）為隨機損傷變化率的形式解。疲勞損傷變化率如無解析結果，一般需要采用適當精度的差分格式對其進行離散。

疲勞損傷及其可靠性分析時，通常將不確定性區分為疲勞壽命的離散性和載荷的隨機性，故取

式中：S為疲勞應力幅；Nf為疲勞壽命。

1.2 疲勞損傷的概率密度演化方程

將隨機疲勞損傷視為一般隨機過程，通過時變概率密度函數可以確定其概率結構的演化規律。為此，考慮初始隨機性隨疲勞損傷變化率輸運時隨機損傷與隨機參數的聯合概率密度函數的變化規律，基于概率守恒原理建立聯合概率密度函數的演化方程，據此可實現隨機疲勞損傷的演化規律分析。

記隨機疲勞損傷與隨機參數的聯合概率密度函數為pYΘ（y，θ，n），考慮隨機損傷演化過程中沒有新的隨機源產生，｛Y （n），Θ｝在定義域 ｛ΩY×ΩΘ｝上是概率保守系統，其中ΩY是隨機損傷概率空間，ΩΘ為隨機參數概率空間。

取 ｛ΩY×ΩΘ｝中任意控制體Ω，分析加載次數增量dn內控制體中聯合概率密度函數pYΘ（y，θ，n）變化及其與邊界概率流動的關系。加載次數增量dn內由損傷變化率經過隨機損傷概率控制體邊界?ΩY輸運的概率為

另一方面，控制體內聯合概率密度函數pYΘ（y，θ，n）經過dn后變化為

對于概率守恒系統，經過控制體邊界流入的概率應該等于控制體內概率的增量，故有

運用散度定理將面積分轉化為體積分，引入隨機損傷變化率的形式解＝f（Θ ，n），得

將式（8）代入式（7），注意到形式解fΘ，（ n）與y無關，則有

考慮控制體的任意性，即可得聯合概率密度函數pYΘ（y，θ，n）的演化方程

其物理意義可以解釋為加載開始時聯合概率密度函數的概率分布已知。

上述隨機損傷演化方程的推導類似于流體動力學中連續方程的推導，有關概率守恒及聯合概率密度函數服從的演化方程的詳細討論可以參見文獻［20－21］。

將pYΘ（y，θ，n）在隨機參數概率空間ΩΘ上積分即可獲得隨機疲勞損傷的概率密度函數

至此，給出隨機參數的初始概率分布及累積損傷法則，就可以方便地通過隨機損傷演化方程獲得其概率密度函數。進而，根據定義計算各階特征量（均值、標準差等）和可靠度。

2 疲勞可靠度分析

2.1 基于損傷的疲勞可靠度

通過隨機疲勞損傷概率密度演化方程求得其概率密度函數，再給定疲勞損傷失效的閾值Δ即可獲得其可靠度

Pr｛··｝表示概率。通常疲勞損傷閾值Δ取為1。

2.2 數值方法

聯合概率密度服從的演化方程是偏微分方程，通常無法獲得解析解［22］。采用數值方法求解的具體步驟歸納如下：

1）確定影響疲勞損傷過程Y （n）的隨機參數集Θ及其概率模型，獲得離散點集Θq＝ ｛Θ1，q，Θ2，q…Θm，q｝，其 中 m 為隨機變量數目，q ＝ 1，2…Nsel為選點數目，利用點集Θq求得損傷過程變化率（n）。

3）對pYΘ（y，θ，n）在Θ上積分可得pY（y ，n），利用式（13）求得給定損傷閾值Δ下的疲勞可靠度。

3 算例分析

3.1 常幅疲勞可靠度

常幅疲勞分析中唯一的隨機參數為疲勞壽命Nf，采用Miner線性疲勞損傷準則可得累積疲勞損傷的具體表達式為：

式中：Nf是疲勞壽命，n是加載循環次數。

應力比為0.02，最大應力為281.2MPa時，LY12－CZ合金材料的11個歸一化對數疲勞壽命試驗結果見表1，其中歸一化疲勞壽命由樣本值Ni與均值ˉN之比確定。試驗疲勞可靠度由中位秩給出［23］，歸一化對數疲勞壽命經過假設檢驗可知其服從正態分布，均值為1，標準差為0.304。等間距離散隨機參數（疲勞壽命Nf）獲得100個代表點，代入式（15）可得累積疲勞損傷的100個樣本。根據隨機疲勞損傷演化方程計算的概率密度演化曲面見圖1。可以發現，加載起始時刻的疲勞損傷分布較為集中，隨著加載次數的增加疲勞損傷的標準差逐漸增加，且損傷均值也逐漸增大，表明疲勞可靠性逐漸降低。值得注意的是，疲勞損傷均值及標準差均隨加載次數的增加而增大。由于采用了線性累積損傷模型，相應的變異系數與常幅疲勞壽命的變異系數接近。

表1 LY12－CZ合金歸一化疲勞壽命試驗結果［23］

圖1 常幅疲勞損傷概率密度曲面

給定損傷失效閾值為1，對疲勞損傷的概率密度函數值進行積分也可以獲得疲勞可靠度，與試驗可靠度的比較見圖2。可見，計算結果與試驗結果吻合良好。

圖2 常幅疲勞可靠度分析結果

將疲勞損傷概率密度演化曲面積分可以獲得累積概率分布函數，其累積概率等值線見圖3。由于采用了線性損傷累積法則，疲勞損傷累積概率分布函數的等值線為直線。給定疲勞損傷閾值，與累積概率分布函數等值線族相交的點集對應的加載次數即為具有不同可靠度的疲勞壽命。此處取閾值為1，與累積概率為0.5的等值線相交處（圖3中黑點）對應的無量綱加載次數為1。即50%的保證率下無量綱加載次數至1時發生疲勞破壞（損傷達到1）。給定損傷閾值后，加載次數越大，對應的疲勞可靠度越低，表現為交點對應的疲勞損傷累積概率等值線數值越小。相反地，給定加載次數，則損傷閾值越大對應的疲勞可靠度越高，表現為損傷閾值與加載次數交點處的等值線具有更大的累積概率值。如交點位于兩條等值線之間可采用線性插值計算，也可以直接給出規定累積概率值的等值線進行分析。

3.2 低高二級加載變幅疲勞可靠度

低 高兩級加載冷軋軟鋼彎曲疲勞試驗結果見表2。第一級載荷為應力幅S1＝280.2MPa時固定循環n1＝4×105次，然后在應力幅為S2＝329.9MPa的第二級載荷下加載至試件疲勞破壞，第二級加載次數為n2。兩級載荷對應的常幅試驗對數疲勞壽命均服從正態分布，其中第一級載荷下的對數疲勞壽命為lgNf1～N（6.009，0.256） ，第二級載荷下的對數疲勞壽命lgNf2～N（5.274，0.190）。

表2 低高兩級加載軟鋼疲勞壽命試驗結果［24－25］

表2 低高兩級加載軟鋼疲勞壽命試驗結果［24－25］

序號 n2／105 試驗疲勞可靠度／% 本文疲勞壽命／105 序號 n2／105 試驗疲勞可靠度／% 本文疲勞壽命／105 1 0.19 88.45 0.42 13 1.75 42.41 1.232 0.30 86.79 0.46 14 1.97 34.18 1.483 0.34 86.12 0.47 15 2.10 29.56 1.624 0.65 79.69 0.63 16 2.11 29.22 1.645 0.76 76.88 0.70 17 2.16 27.52 1.716 0.82 75.23 0.74 18 2.33 22.10 1.937 1.09 66.88 0.88 19 2.37 20.91 1.988 1.26 60.95 0.96 20 2.62 14.31 2.409 1.37 56.92 1.01 21 2.64 13.84 2.4310 1.40 55.80 1.03 22 2.71 12.29 2.5411 1.64 46.64 1.15 23 3.03 6.69 3.0912 1.74 42.80 1.21

二級加載變幅疲勞分析中的隨機參數為疲勞壽命Nf1和Nf2，仍然可以通過Miner疲勞損傷準則計算累積疲勞損傷

式中：n1＝4×105。物理上考慮，如第一級加載時試件即發生疲勞破壞（Nf1＜n1），此時無法進行第二級加載，相應的損傷值等于1。如不考慮這一事實，繼續根據第二級加載計算損傷值在物理上是不真實的。因此，如抽樣所得第一級載荷對應的常幅疲勞壽命Nf1＜n1，則取相應的累積疲勞損傷Y＝1，相當于設置了一個吸收邊界條件，表示在n1次加載下試件已經疲勞破壞。

本文方法計算的二級加載疲勞損傷概率密度演化曲面見圖4，試驗疲勞可靠度和計算可靠度的比較見圖5，相應的累積概率分布函數等值線見圖6。與等幅疲勞分析結果類似，加載次數較小時疲勞損傷分布較為集中。隨著加載次數的增加，疲勞損傷均值及標準差逐漸增大。試驗疲勞可靠度與計算結果吻合較好。預測偏差的原因在于：一方面，盡管算例試驗樣本數目達23個，但據此計算可靠度本身可能產生誤差；另一方面，二級低高加載本質上屬于變幅疲勞試驗，僅根據兩級載荷各自的常幅疲勞壽命分布參數，且采用線性Miner法則計算累積損傷可能帶來模型誤差。

圖4 變幅疲勞損傷概率密度曲面

圖5 變幅疲勞可靠度分析結果

圖6 變幅疲勞損傷累積概率分布函數等值線

4 結論

考慮疲勞壽命變異性和載荷隨機性為疲勞損傷的隨機源，基于概率守恒原理推導出隨機參數與疲勞損傷聯合概率密度函數的損傷演化方程。采用兩步Lax－Wendroff差分格式可以獲得聯合概率密度函數的數值解，對其在隨機參數空間進行積分即可獲得隨機疲勞損傷的概率密度演化信息。給定損傷失效閾值，可以進一步計算其疲勞可靠度。此外，據此計算的疲勞損傷累積概率分布等值線可用以分析給定損傷閾值時疲勞壽命的可靠度，也可以分析給定加載次數時不同損傷閾值條件下的疲勞可靠度。

根據LY12－CZ合金材料常幅試驗結果確定其對數疲勞壽命服從正態分布，給出其參數估計值。采用隨機損傷演化方程獲得隨機疲勞損傷概率密度函數的數值解，取損傷閾值等于1計算的疲勞可靠度與試驗疲勞可靠度吻合良好。此外，基于冷軋軟鋼兩級載荷各自常幅疲勞壽命分布參數，采用Miner準則計算累積疲勞損傷，根據疲勞損傷概率密度演化方法計算的低高兩級加載彎曲疲勞可靠度與試驗結果吻合較好。

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