帶p-Laplacian算子的分數階微分方程邊值問題在無窮區間中解的存在性

胡 宏 ，徐 娜

(1.徐州工程學院數理學院，中國 徐州 221116；2.中國礦業大學理學院，中國 徐州 221116)

近年來，分數階微分方程在國內外引起了極大的研究興趣，特別是邊值問題解的存在性[1-4]．據作者所知，目前很少有學者研究帶p-Laplacian算子的分數階微分方程邊值問題解的存在性[5-6]，尤其是無窮區間中解的存在性研究甚少[7]．

無窮區間上的邊值問題在物理學、自然科學等領域中有很多實際應用，如不穩定的氣體通過半無窮帶氣孔媒介問題，孤立中子的電勢問題等[8-10]．因此，對它的研究具有重要的意義．

受以上文獻的啟發，本文主要利用Schauder不動點定理研究如下一類帶p-Laplacian算子的分數階微分方程邊值問題在無窮區間中解的存在性：

(1)

1 預備知識

定義1函數y:(0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分數階積分為

其中α>0,Γ(·)是Gamma函數.

定義2函數y:(0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分數階導數為

其中α>0,Γ(·)是Gamma函數，n=[α]+1.

引理3[11](X,‖·‖X)和(Y，‖·‖Y)是Banach空間.

本文主要是在空間Y中研究解的存在性，但Arzela-Ascoli定理在Y中緊性不再適用，因此，我們給出如下引理來證明相對緊.

引理4[11]令Z是Y的有界子集，若Z是Y中的相對緊集需要滿足如下條件：

(ii)對任意的ε>0,存在常數T=T(ε)>0,滿足

引理5[12]設K是Banach空間X的1個有界凸閉集，而T是K到其自身內的任一全連續映象，則T在K內至少有一個不動點.

2 主要結果

為了得到本文主要結果，假設：

引理6假設(H)成立，則對任意的t∈J,邊值問題(1)等價于如下積分方程：

(2)

證首先，由(H)得

c‖u‖Y<+∞.

(3)

因此，積分方程(2)是存在的.

由引理2得

再次利用引理2得

因為u(0)=0,所以c2=0.由引理1，進一步得

從而積分方程(2)成立.

另一方面，若積分方程(2)成立，那么由引理1可以得到如下方程：

定理1假設f∈C(J×R2,R)并且條件(H)成立，那么邊值問題(1)在Y中至少有一個解.

證首先，對任意的t∈J,定義算子T：

(4)

由引理6，知邊值問題(1)的解可以轉化為求算子T的不動點.由(4)及引理1，得

(5)

令M≥|u∞|/(Γ(α)-2c),U={u(t)∈Y|‖u‖Y≤M}.下面將證T：U|→U.

對任意的1<α≤2,t,s∈J,并且t>s,顯然有(t-s)α-1/(1+tα-1)≤tα-1/(1+tα-1)≤1.對任意的t∈J,u(t)∈U,1<α≤2,由(4)和(5)分別得

(6)

(7)

由(3)，(6)，(7)及M≥|u∞|/(Γ(α)-2c),可以得

因此‖Tu(t)‖Y≤M,即T：U|→U.

對任意的u(t)∈D,t1,t2∈I滿足t1

那么，對任意的ε>0,存在常數L>0滿足

(8)

(9)

(10)

取T=max{T1,T2},對任意的t1,t2>T,u(t)∈D,由(8)～(10)得

類似地，可得

因此，由引理4，我們可以得TU是相對緊的.

最后，我們證明T：U|→U是連續算子.對任意的t∈J,un,u∈U(n=1,2,…),并且滿足‖un-u‖Y→0(n→+∞),那么

結合(3)，進一步可得

類似地，我們得

2c‖un‖Y+2c‖u‖Y≤4c‖u‖Y≤2Γ(α)M≤2M.

因此，由Lebesgue控制收斂定理可得T：U|→U是連續的.

綜上，由引理5得，算子T在U中至少有一個不動點，從而邊值問題(1)在U中至少有一個解.

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