二維三溫能量方程的RT混合線性有限元及其數值模擬

陳鐵軍，李躍軍，肖建新

(益陽醫學高等專科學校，中國益陽 413001)

二維三溫輻射流體動力學方程組的求解是數值模擬的重要組成部分，而求解能量方程是一個十分重要的環節，而且在整個系統的計算中，能量方程求解所占的機時比重相當大(約80% 以上)，為此，尋求一個收斂快、穩定性好的二維三溫能量方程數值解法是一個值得探討的問題.二維三溫能量方程可表示為非線性拋物型方程組，二維三溫能量方程的標量式經簡化得到如下方程組:

其中，Te，Ti，Tr分別為電子、離子、和光子的溫度;ρ 為介質密度，在內部為常數，在介質區界面處間斷;Ke，Ki，Kr分別為電子、離子和光子的熱傳導系數;分別為電子、離子和光子的能量交換系數，均為依賴于介質材料的常數，在介質內部連續，在介質區界面處間斷.在模型方程組近似地描述了ICF 內爆動力學過程中輻射能量在靜止介質中的非線性傳播過程，同時也體現了原始問題的主要特性和求解的難度.

近年來，針對二維三溫輻射熱傳導方程組的離散方法以及離散系統的快速算法設計已取得了一些成果［1-8，10-15］，利用混合有限元求解的算法文獻不多，本文將主要討論二維三溫輻射熱傳導方程簡化模型的RT混合線性有限元數值求解，獲得了理想的計算結果.

考慮二維三溫輻射熱傳導方程的簡化模型問題:

其中f1，f2，f3都是Ω 上適當光滑的函數，β ≥β0＞0，是非負光滑函數.同樣考慮兩片光滑函數

其中令Ω=Ω+∪Γ ∪Ω－，Γ 是開子區域Ω+和Ω－的交界線，?Ω=Γ1∪Γ2且不妨假設(否則對β 的下界進行尺度化即可滿足).minβ ≥β0≥1.如圖1所示.

問題(1)的解函數ui∈C(Ω)(i=1，2，3)，Flux 函數β▽ui∈C(Ω)(i=1，2，3).

圖1 區域示意圖Fig.1 Diagrammatic sketch of area

1 連續鞍點變分問題

令p1=β▽u1，p2=β▽u2，p3=β▽u3，記p=(p1，p2，p3)T，q=(q1，q2，q3)T，u=(u1，u2，u3)T，v=(v1，v2，v3)T，f=(f1，f2，f3)T.則混合邊值問題(1)等價于方程組

其中

記Y=(L2(Ω))3，相應的范數為:

定義空間

記X=X1× X2× X3，定義X 上相應的范數:

則(2)的等價連續鞍點變分問題為:

求p ∈X，u ∈Y，使

其中

容易驗證α(·，·)和b(·，·)分別是X× X 和X× Y 上的有界雙線性泛函，且上界不依賴于系數β 的跳幅(因為由假設知

定理1問題(3)存在唯一解p，μ 滿足

‖p‖X+‖u‖Y ≤C(‖G‖X*+‖F‖Y*)

其中C 是僅與連續雙線性形式a(·，·)，b(·，·)相關的常數.

證對任意的P ∈V，由于div(p)∈Y，故有

即Brezzi 定理的第一個條件成立，下面驗證第二個條件亦成立.

對任意的ν ∈Y，引入輔助問題

令p=β▽u，則P ∈X，且有正則性估計

其中C 只與β 的正下界β0和區域的尺寸有關.

因為，由輔助問題的定義，顯然有

有

這樣根據(5)和(6)，我們就證得了(4)成立，其中C 只與β 的正下界β0和區域的尺寸有關.

由(4)可知，對任意的ν ∈Y.有

其中C 只與β 的正下界β0和區域的尺寸有關

這樣問題(3)的B-B 條件得到驗證，因此由Brezzi 定理知結論成立.

2 對應的離散鞍點變分問題(RT 混合元)

則Xh為X 的有限維子空間，Yh為Y 的有限維子空間.

本文僅考慮k=1 時的情形，我們可構造混和有限元空間Xh和Yh，于是離散鞍點變分問題為:

求ph∈Xh，uh∈Yh，使

類似標量方程，我們定義插值函數.

對任意的u ∈Y，uI表示u 在三角形剖分單元重心點處的常數插值.

對任意的p ∈Xh，其插值函數Πp 由以下條件確定:

其中p1(τ)是τ 上線性多項式集合.

同樣對于這樣定義的插值函數，我們有以下引理

引理1設，若，則有如下誤差估計

其中C 是與β 及h 都無關的常數.

證由插值函數性質有

因此

其中C 是與β 及h 都無關的常數.

定理2問題(7)存在唯一解Ph，uh滿足

‖Ph‖X+‖uh‖Y≤C(‖G‖X+‖F‖Y)，

其中C 是僅與連續雙線性形式a(·，·)，b(·，·)相關的常數.

證明從略.

3 誤差分析

定理3問題(7)的解滿足如下誤差估計:

證明從略.

定理4設，若，則鞍點問題(3)和其離散問題(7)的誤差滿足

‖P－Ph‖x+‖u－uh‖Y=O(h).

證由定理3 知

結合引理1 和插值函數的誤差估計有

定理5.

證明從略.

4 數值實驗

例1考慮間斷線為圓β 取為

真解為:

數值實驗結果列于表1～表4.

表1 非光滑系數(α=0.1)時，真解u 與其混合有限元解uh 的誤差表Tab.1 Nonsmooth coefficients(α=0.1)，the true solution u and mixed finite element error solution uh in the error table

表2 非光滑系數(α=0.1)時，div(p)與其混合有限元解div(Ph)的誤差表Tab.2 Nonsmooth coefficients(α=0.1)，div(p)and the mixed finite element solution of div(Ph)in the error table

表3 非光滑系數(α=0.01)時，真解u 與其混合有限元解uh 的誤差表Tab.3 Nonsmooth coefficients(α=0.01)，the true solution u and mixed finite element error solution uh in the error table

表4 非光滑系數(α=0.01)時，div(p)與其混合有限元解div(Ph)的誤差表Tab.4 Nonsmooth coefficients(α=0.01)，div(p)and the mixed finite element solution of div(Ph)in the error table

5 結論與展望

本文考慮了二維三溫輻射熱傳導方程在界面處跳躍條件都連續的情形，適定性和收斂性分析中得到了最優L2階的誤差估計，從數值實驗可以得到其真解u，div(p)分別與其混合有限元解存在最優差價，且最優差價與跳系數β 及剖分尺度h 均無關.另在界面處的不連續［u］Γ≠0，［βun］Γ≠0 的情況都有待深入研究.

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