KdV－Burgers－Kuramoto方程另一類指數函數求法及新的精確解

胡恒春， 王利金， 劉 磊

（上海理工大學 理學院，上海 200093）

1 問題的提出

Benney在研究具有耗散項和不穩定因素下的KdV 方程時，提出了一個包含耗散項和不穩定項的一維波模型.通過這種一維波模型得出了KdVBurgers－Kuramoto（KBK）方程，也叫Benney方程［1］，它的表達式為

方程（1）在光學物理中起著非常重要的作用，其中，β代表頻率系數，α，γ 分別表示耗散和不穩定作用.它可用于描述斜平面上向下流動黏性流體的非線性表面長波、等離子體中不穩定漂流波、碎片狀多孔介質中的應力波.

當式（1）中的γ＝0 時，KBK 方程就變成了KdV－Burgers（KB）方程，它是流體力學中一種非常重要的物理模型［2］，也是在一維空間中對流體的近似描述，其表達式形式為

當式（1）中的β＝0 時，KBK 方程就變成了Kuramoto－Sivashinsky（KS）方 程.KS 方 程 是Kuramoto和Sivashinsky導出的緩慢變量方程，被認為是無窮維動力學中非常重要的方程，它的動力學特征有相當大的普適性，其表示形式為

KBK 方程、KB 方程和KS方程這些非線性系統在很多學科中都有相當廣泛的應用，因此，求出這些方程的解析解就顯得非常重要.已有一些方法對這些方程進行了求解，如先驗假設法［3］、齊次平衡法［4－5］、F－展開法［6］.1989年蘭慧彬等［7］提出了雙曲正切函數展開法，1992年Malfeit［8］首次系統闡述了這種方法的一般求解過程和步驟.本文通過新的指數函數法，對系數進行簡單選取，并借助于Maple軟件計算了方程新的精確解［9－13］.

2 基本思想

非線性偏微分方程

式中，Ψ 為u，ut，ux，uxx，…的多項式函數.

現介紹指數函數法求解非線性發展方程的步驟.

a.對方程（4）作行波變換

式中，k，ω 為待定常數.

b.將式（5）代入方程（4），得到關于ξ的常微分方程

c.假設方程（6）具有多項式形式的解

d.將方程（6）中的最高階導數項和非線性最高階項用式（5）和式（7）代入，然后平衡它們的最高冪次數就能夠得到d，q 的值.將方程（6）中的最低階導數項和非線性最低階項用式（5）和式（7）代入，平衡這兩項的最低次數確定c，p 的值.

e.將確定值后的u（ξ）代入方程（6）中，合并exp（ξ）的同類項，然后令其系數為零.由此可得關于待定常數an和bm的方程組，再用Maple求解該方程組，將所得的結果代入式（7）就得到了方程（4）的精確解.

3 方程的求解

對方程（1）作行波變換

式中，ξ＝kx＋ωt，k，ω 為待定常數，方程（1）便化為常微分方

方程兩邊對ξ積分，得

設方程（1）的解的形式為

式中，c，d，p，q 為 待 定 正 整 數；an和bm為 待 定系數.

為求得正整數d，q，將方程（10）的最高階導數項和非線性最高階項次數平衡，得

式中，hi表示已確定的系數.

通過計算可得

同樣，為了求得正整數c和p，將方程（10）的最低階導數項和非線性最低階項的次數平衡，得

式中，si為確定的系數.

從而有

由式（14）和式（17）可以看出，c，d 的值可以任意選擇，但方程的精確解并不完全依賴于c，d.當p＝q＝1和p＝q＝2時，通過計算所求得的解都含有γ＝0，此時方程（1）就變為KdV－Burgers方程，文獻［13］已經求出這種情形下的精確解.因此，只需從p＝q＝3開始計算，方程解的形式可以表示為

如果選取a0＝b0＝a2＝a－2＝b2＝b－2＝0，b－1＝b1＝3和b－3＝b3＝1，那么，式（18）就化為

將式（19）代入方程（10），然后合并exp（ξ）的同類項，對那些求得的方程讓它們的系數為零，便可以得到關于待定系數的復雜方程組，借助Maple軟件可得到該方程組的13種解.

4 解的討論

將解a所得的系數代入式（19），并取k＝1，γ＝2，得

由雙曲函數變換

式（20）化簡為

此時所得解的結構如圖1所示.

將解b所得的系數代入式（19），并取k＝2，γ＝1，得

圖1 當k＝1，γ＝2時方程的解結構Fig.1 When k＝1，γ＝2，the solution structure of equation

同樣，通過變換式（21），式（23）可化為

式（24）相應解的結構如圖2所示.

圖2 當k＝2，γ＝1時方程的解結構Fig.2 When k＝2，γ＝1，the solution structure of equation

類似地，可以按照系數的不同分類來構造KdVBurgers－Kuramoto方程各種形式的行波解或者孤波解.另外，解i，j，m 所得的系數中的β＝0，那么，方程（1）就變成KS方程.

將解i所得的系數代入式（19），并取k＝1，γ＝1，得

由雙曲函數變換，式（25）可化為

式（26）相應解的結構如圖3所示.

圖3 當k＝1，γ＝1時方程的解結構Fig.3 When k＝1，γ＝1，the solution structure of equation

5 結束語

用指數函數方法對KBK 方程進行了求解，通過對指數函數形式解中的某些系數取特殊值，得到了13種待定系數的解，并通過指數函數和雙曲函數之間的關系，構造了KBK 方程的雙曲函數形式的精確解.特別地，當所得的系數解中β＝0 時，就得到了KS方程的精確解.

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