自動焦度計定量計算式的研究

謝銀月， 李湘寧

（1.上海理工大學(xué) 光電信息與計算機工程學(xué)院，上海 200093；2.上海醫(yī)療器械高等專科學(xué)校 基礎(chǔ)教學(xué)部，上海 200093）

頂焦度（vertex power）是眼鏡鏡片最重要的光學(xué)參數(shù).對常見的眼鏡鏡片而言，后焦距的倒數(shù)就是眼鏡鏡片的頂焦度［1］.頂焦度的單位名稱為屈光度，單位符號為D.在不同文獻資料中，關(guān)于眼鏡鏡片的術(shù)語和參數(shù)名稱不盡相同，本文的相關(guān)表述主要依據(jù)現(xiàn)行使用的《中華人民共和國國家計量檢定規(guī)程》（焦度計）JJG 580－2005 和《中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)》（眼鏡鏡片，第1部分：單光和多焦點鏡片眼鏡鏡片）GB10810.1－2005.

焦度計是眼鏡行業(yè)最重要的計量儀器，主要用于測量眼鏡鏡片的球鏡頂焦度、柱鏡頂焦度和柱鏡軸位等.自動焦度計問世時間不長，國外產(chǎn)品占據(jù)大部分市場份額［2］.自主研制自動焦度計的一個關(guān)鍵內(nèi)容是對光學(xué)系統(tǒng)測量原理的充分理解.作者查閱了大量文獻資料，并沒有查閱到關(guān)鍵的定量計算式，還發(fā)現(xiàn)，有些文獻對測量原理的分析不夠細致，甚至出現(xiàn)錯誤，這不利于自主研制自動焦度計.作者對帶孔光闌為4個小孔的光學(xué)系統(tǒng)測量原理進行深入研究，用棱鏡效應(yīng)理論推導(dǎo)出被測鏡片的球鏡頂焦度、柱鏡頂焦度和柱鏡軸位的計算式，并用Zemax軟件仿真測量，證明了這個計算式的可靠性.

1 光學(xué)系統(tǒng)

圖1是測量鏡片頂焦度的光學(xué)系統(tǒng)示意圖，u為帶孔光闌到觀察屏的距離，F(xiàn)′為后焦點.點光源位于準(zhǔn)直物鏡的物方焦點上，經(jīng)準(zhǔn)直物鏡后發(fā)出平行光，平行光線經(jīng)被測鏡片后發(fā)生偏折，再經(jīng)過光闌到達觀察屏［3］.

圖1 測量鏡片頂焦度的光學(xué)系統(tǒng)示意圖Fig.1 Optical system for measurement of ophthalmic lenses’vertex power

帶孔光闌上有4個小孔，小孔位置如圖2所示，各小孔 坐 標(biāo) 為A（0，h），B（0，－h(huán)），C（－h(huán)，0），D（h，0）.對特定系統(tǒng)而言，小孔在觀察屏上的落點位置與被測鏡片的頂焦度之間存在確定的函數(shù)關(guān)系，光學(xué)系統(tǒng)測量原理的關(guān)鍵內(nèi)容是建立這個函數(shù)關(guān)系式.對球鏡鏡片而言，上述函數(shù)關(guān)系式很易推出，但若被測鏡片是散光鏡片，則情況比較復(fù)雜.

圖2 光闌上4個小孔的分布圖Fig.2 Positions of four holes on diaphragm

散光鏡片可等效為球鏡鏡片和柱鏡鏡片的疊加［4］，表示為“FSDS／FCDC×θ”，其中，F(xiàn)S，F(xiàn)C和θ分別代表該散光鏡片的球鏡頂焦度、柱鏡頂焦度和柱鏡軸位.測量散光鏡片應(yīng)包含F(xiàn)S，F(xiàn)C和θ這3個特征量的測量.球鏡鏡片是柱鏡頂焦度為零的特殊的散光鏡片.

2 眼鏡鏡片的棱鏡效應(yīng)與棱鏡度

光線經(jīng)過棱鏡后，總是向棱鏡底的方向偏折，這稱為棱鏡效應(yīng).棱鏡度用于定量描述棱鏡效應(yīng)，數(shù)值上等于光線通過鏡片后，在每米距離上由偏折面產(chǎn)生的位移厘米數(shù).眼鏡鏡片可看作是無數(shù)個小棱鏡的疊加，因此也存在棱鏡效應(yīng)，鏡片上某點對光的偏折力用該點的棱鏡度來表示［5］.

由圖3可分析出，鏡片上任意一點G 的棱鏡度P 與鏡片頂焦度F′之間的關(guān)系滿足

式中，δ為光線偏折角；lF′為后焦距；對球鏡鏡片而言，e是G 點到光心的距離；而對柱鏡鏡片而言，e是G 點到柱鏡軸的垂直距離.

圖3 眼鏡鏡片的棱鏡度Fig.3 Prismatic power of ophthalmic lens

設(shè)G 點坐標(biāo)為G （x，y），如圖4 所示，鏡片在xoz子午面與yoz 子午面（圖4中z軸沒有畫出）上的頂焦度為［6］

圖4 被測鏡片上的光線入射點Fig.4 Incident light spot on the ophthalmic lens under test

特別應(yīng)該指出，如果根據(jù)式（1）、式（2）得出，G點的棱鏡度在x，y 軸兩個方向上的分量為那是錯誤的，即式（3）是不正確的，在有些文獻中就出現(xiàn)了這樣的錯誤.因為對球鏡鏡片和柱鏡鏡片而言，式（1）中的距離e含義不同，故應(yīng)把球鏡與柱鏡分開考慮，單獨得出球鏡棱鏡度和柱鏡棱鏡度，然后兩者相加［7］.設(shè)G 點到柱鏡軸的垂直距離為e，當(dāng)θ≤90°時，有

若是θ＞90°，則式（4）中cosθ應(yīng)用cos（180°–θ）代替.

3 推導(dǎo)眼鏡鏡片光學(xué)參數(shù)的計算式

圖1中，設(shè)帶孔光闌與觀察屏之間的距離為u，被測鏡片后表面與光闌之間的距離遠小于u，可近似為零.根據(jù)鏡片的棱鏡效應(yīng)與小孔對稱性，可以分析出觀察屏上的4個落點A′，B′，C′，D′的移動規(guī)律及它們的分布特點：球鏡頂焦度FS使落點對稱收縮或擴張到a，b，c，d 點；當(dāng)FC為正時，4個落點再垂直移向柱鏡軸；當(dāng)FC為負時，4個落點再垂直遠離柱鏡軸；并且A 與A′之間的距離等于B 與B′之間的距離，C 與C′之間的距離等于D 與D′之間的距離，A′與B′、C′與D′分別關(guān)于原點對稱，如圖5所示.

圖5 觀察屏上4個落點的位置Fig.5 Positions of four light spots on observation screen

設(shè)相對于初始位置（不放被測鏡片時的光斑位置），落點A′在x軸、y軸方向的偏移量為x1，y1，落點D′的偏移量為x2，y2，規(guī)定朝x軸、y軸正方向偏移時，偏移量為正，反之為負.根據(jù)落點分布的對稱性特點，無論FC為正或者為負，圖5（a）和圖5（b）的落點A′，B′，C′，D′的坐標(biāo)都可以寫成A′（Δx1，h＋Δy1），B′（－Δx1，－h(huán)－Δy1），C′（－h(huán) －Δx2，－Δy2），D′（h＋Δx2，Δy2）.由式（4），無論θ≤90°或者θ＞90°，與小孔對應(yīng)的被測鏡片上4個點的棱鏡度都可寫成

根據(jù)式（1）和偏移量的正負分析，無論FC為正或者為負，無論θ≤90°或者θ＞90°，都滿足

從而得到落點A′，D′在x 軸、y 軸的偏移量與FS，F(xiàn)C和θ 的函數(shù)關(guān)系

若實際探測到的是觀察屏上落點的坐標(biāo)值，由于存在對稱性，只需探測A′，D′的坐標(biāo)，即A′（x1，y1），D′（x2，y2），理論上y2＝x1.這樣，Δx1＝x1，Δy1＝y(tǒng)1－h(huán)，Δx2＝x2－h(huán)，求解方程組（7），可得到FS，F(xiàn)C和θ 的計算式

當(dāng)柱鏡頂焦度FC為正時，式（8）中第一式的“?”取負，反之取正；而第三式的“±”與FC相同.因此，只要探測到x1，y1和x2的值，就可計算得到被測鏡片的球鏡頂焦度FS、柱鏡頂焦度FC、柱鏡軸位θ.

應(yīng)該特別強調(diào)，式（8）有一個適用條件，那就是圖1中被測鏡片的光學(xué)中心應(yīng)位于光學(xué)系統(tǒng)的光軸上，這是光闌設(shè)計為4個對稱小孔（而不是2個小孔）的重要原因.此外，若另探測到B′，C′的坐標(biāo)值，則也可以利用式（8）進行計算，然后取平均值以提高測量精度.

4 Zemax仿真測量

Zemax是目前廣泛應(yīng)用的光學(xué)設(shè)計軟件［8］，用它可方便設(shè)計出正、負2個散光鏡片.在面型中選擇“Paraxial XY”，選X，Y 方 向 的 光 焦 度 分 別 為＋6.000D和＋2.000D，這等效于一個正散光鏡片（FS＝＋2.000D，F(xiàn)C＝＋4.000D，θ＝90°）；選X，Y方向的光焦度分別為－8.000D 和－2.000D，這等效于 一個 負 散 光 鏡 片（FS＝－2.000 D，F(xiàn)C＝－6.000D，θ＝90°）.

帶孔光闌用透鏡陣列進行仿真模擬，考慮到設(shè)置2×2透鏡陣列不能滿足如圖2所示的4個小孔的分布特點，因此設(shè)置3×3 透鏡陣列，模擬出9個“小孔”，選擇符合位置要求的4個“小孔”A，B，C，D 作為關(guān)注對象，形成4個小孔的仿真光闌，每個透鏡單元的尺寸為3×3，單位為mm，波長選用0.632 8μm.

按圖1所示的光學(xué)系統(tǒng)進行結(jié)構(gòu)設(shè)計，不放入鏡片時的像面點列圖就是仿真帶孔光闌，如圖6（a）所示.分別放入正、負散光鏡片后，像面點列圖發(fā)生明顯變化，如圖6（b）和圖6（c）所示.需要測量的是像面點列圖中相關(guān)光斑的中心位置坐標(biāo)值（x，y），這在Zemax中可方便實現(xiàn).如果不是仿真測量，而是實際儀器的測量，則可利用圖像處理軟件得到每個光斑中心的坐標(biāo)值［9－10］.

圖6 仿真測量眼鏡鏡片的像面點列圖Fig.6 Spot diagram on image surface in simulation measurement of astigmatic－power lens

仿真帶孔光闌與像面的距離u＝70.000 mm，測得仿真光闌的4個小孔的平均坐標(biāo)值h＝2.962 1mm，正 散 光 鏡 片 的 A′，D′ 坐 標(biāo) 為A′（－0.000 3，2.547 1），D′（1.739 0，0.001 6），由式（8）計算得到FS＝＋2.001 D，F(xiàn)C＝＋3.897 D，θ＝90.02°，F(xiàn)S和FC的百分誤差分別為0.05%和2.58%.負散光鏡片的A′，D′坐標(biāo)為A′（0.000 1，3.386 3），D′（4.597 6，0.000 4），由式（8）計算得到鏡片的FS＝－2.046 D，F(xiàn)C＝–5.842 D，θ＝90.00°，F(xiàn)S和FC的百分誤差分別為2.30%和2.63%.測量值與理論值基本相符，點列圖中光斑中心位置的確定存在偏差，這是仿真測量的誤差主要來源.

5 結(jié)束語

本文推導(dǎo)出被測鏡片的球鏡頂焦度FS、柱鏡頂焦度FC和柱鏡軸位θ 的具體計算式，并用Zemax軟件進行仿真測量，證明了這個計算式的可靠性.

在實際設(shè)計光學(xué)系統(tǒng)時，光闌上的小孔需要有一定的孔徑，小孔在觀察屏上的落點實際是光斑，式（8）中的落點坐標(biāo)值實際是光斑中心位置的坐標(biāo)值.光學(xué)系統(tǒng)與圖像處理系統(tǒng)相結(jié)合，即可實現(xiàn)眼鏡鏡片光學(xué)參數(shù)的自動測量.

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