空間機械臂關節零部件對關節總剛度的影響分析

危清清 王耀兵 劉志全

（中國空間技術研究院，北京100094）

1 引言

空間機械臂主要由臂桿和關節組成，臂桿材料一般采用低密度、高模量的碳纖維復合材料，自身質量不大，而關節一般由金屬材料制成，是空間機械臂減小質量的重點對象。另一方面，空間機械臂關節是空間機械臂動力提供、位置感知和機械連接的核心部件，是保證機械臂運動能力、運動精度和運動平穩性的關鍵。關節剛度對整個機械臂剛度的影響很大［1］，所以空間機械臂關節既是保證機械臂整體剛度的關鍵環節，又是有效減小質量的重點對象，而保持剛度與減小質量在一定程度上又相互矛盾。

空間機械臂關節電機僅能提供幾牛頓米以內的輸出力矩，若電機直接驅動，輸出力矩無法滿足機械臂輔助轉位、對接等任務中所需幾百到上千牛頓米的力矩需求，這使得空間機械臂關節傳動系統必須具備較大的傳動比來提高關節的輸出力矩。然而，在空間機械臂中廣泛應用的大傳動比多級行星齒輪傳動系統的結構復雜性［2］給剛度分析和減小質量都帶來了困難。

加拿大機械臂關節［2］主要通過試驗、參數辨識來實現剛度分析，此方法較為接近實際，但是無法反映關節各部件剛度對于關節總剛度的影響，對于關節減小質量及優化的指導作用不大。針對上述問題，本文采用集中參數法和剛度串聯原理，建立復雜關節等效剛度模型，分析各級齒輪剛度對關節總剛度的影響，從而找出對總剛度影響不大的零部件，對其實施減小質量，為大傳動比空間機械臂關節的小質量高剛度優化設計提供指導。

2 空間機械臂關節傳動系統剛度模型建立

傳動系統的剛度分析方法主要有有限元法與集中參數法。針對圖1所示的大傳動比齒輪傳動系統，用有限元法建模，雖然求解精度高，適用于已定型傳動系統的剛度校核，但建模較為復雜、計算量大、耗時多3，用于關節傳動系統減小質量、優化設計的反復迭代分析不方便。集中參數法將傳動系統構件簡化為集中質量，將齒輪嚙合力簡化為集中力，構件之間的連接簡化為彈簧。文獻［3］證明了此方法的有效性。本文采用集中參數法來分析圖1所示的多級行星齒輪傳動系統各級齒輪對于傳動系統總剛度的影響，探尋提高傳動系統總剛度的方法，給關節減小質量及優化提供參考。

圖1所示為一種典型的空間機械臂關節傳動系統。根據每個齒輪及其所在的軸可以將其分為9組（見表1），對照圖1和表1，這9組的轉速隨著序號的增加而依次降低，1、2、3組為高速級，4、5、6組為中速級，7、8、9組為低速級。電機提供的動力由輸入軸l1經行星輪系A-B-C-h1，傳遞到定軸輪系H-I，然后通過定軸輪系J-K-L及差動輪系M-N（Ol，Or）-Q-h2，由齒輪Q帶動輸出軸輸出。其中，L-M為含內齒圈L和外齒圈M的大齒輪。Ol與Or為齒數、模數均相同的兩個同軸齒輪。下文分別對周轉輪系與定軸輪系進行剛度建模與分析。

圖1 關節齒輪傳動系統Fig.1 Gear transmission system of the joint

表1 傳動系統各齒輪組相對于輸出齒輪Q的傳動比與等效剛度Tab.1 All the described gears′reduction rate and stiffness relative to gear Q

2.1 周轉輪系的剛度模型

對于圖1中 “A-B-C-h1”組成的行星輪系，將輪齒的嚙合力簡化為集中力，同時將輪齒嚙合中產生的彈性變形轉化為齒輪的角變形，齒輪的扭轉剛度定義為：使齒輪沿嚙合線上產生單位角變形所需的載荷［4-5］。

設kA是齒輪A的扭轉剛度，kl1為軸l1的扭轉剛度。則軸l1、齒輪A的總剛度ksA符合設kB是齒輪B的扭轉剛度，kl2為軸l2的扭轉剛度，則軸l2、齒輪B的總剛度ksB符合

同理可得，行星架h1、輸出軸l3和齒輪H的總剛度ksH符合其中，N為行星輪的個數，kh1、kl3分別為行星架h1、軸l3的扭轉剛度，kH為齒輪H的扭轉剛度。

推導可得l1-A-B-C-h1-H的總剛度ksAH符合：

式中rbA、rbB和rbH分別為齒輪A、B和H的基圓半徑；iAH和iBH分別為A→H與B→H的傳動比。下文中傳動比下標的含義均與此類似。

可見行星輪系總剛度與傳動比和基圓半徑比相關。設等效剛度keAH＝iAHibAHksA，keBH＝iBHibBHksB，則式（2）進一步簡化為

因此，l1-A-B-C-h1-H的力學模型表示為圖2，其中JA、JB和JH分別表示齒輪A、B和H的轉動慣量。

同理，將上述方法應用于差動輪系M-N（Ol，Or）-Q-h2可以建立其力學模型，其總剛度ksMQ符合：

式中ksQ為齒輪Q的扭轉剛度；keNQ和keMQ分別為齒輪N和M相對于齒輪Q的等效剛度；keOQ為齒輪Ol與Or的剛度和ksO相對于齒輪Q的等效剛度。等效剛度如表1所示。

2.2 定軸輪系的剛度模型

對于圖1中的定軸輪系H-I-J，設kI為齒輪I的扭轉剛度，kl4為軸l4的扭轉剛度，kJ為齒輪J的扭轉剛度。則軸l4與齒輪I，J的總剛度ksI符合

經推導，可得定軸輪系H-I-J的總剛度ksHI符合：

式中iHI為H→I的傳動比。定義kesH＝iHI2ksH為ksH相對于齒輪I的等效剛度，其中iHI2＝iHI·ibHI，ibHI為齒輪H和I的基圓半徑比，則式（5）可以寫成［6］：

根據剛度串聯原理，可將定軸輪系H-I-J的力學模型表示為圖3形式，其中JI和JJ分別表示齒輪I和J的轉動慣量。

同理，可以建立定軸輪系J-K-L的力學模型，其總剛度ksJL符合：

式中ksL是齒輪L扭轉剛度；keKL和keJL分別為齒輪K和J相對于齒輪L的等效剛度。

2.3 關節傳動系統的剛度模型

基于上述周轉輪系與定軸輪系剛度模型的建立，大型空間機械臂大傳動比關節傳動系統的力學模型可表示為圖4，其中JO為齒輪Ol與Or的慣量和。各組齒輪相對于輸出齒輪Q的等效剛度如表1所示。

圖4 關節傳動系統力學模型Fig.4 Mechanical model of the joint transmission system

表1中等效剛度的推導方法見本文第2.1～2.2節及文獻［5-6］。則關節傳動系統總剛度kesQ為

3 傳動系統總剛度計算結果及分析

對于齒輪材料為不銹鋼，軸系為鈦合金的關節傳動系統，計算表明軸的扭轉剛度與齒輪扭轉剛度在一個數量級內，因此計算各組剛度時應將軸和齒輪都考慮在其中。計算表1中各齒輪與軸相對于輸出齒輪Q的等效剛度，如圖5所示。顯然，表1中序號為第1、2、5、6組的等效剛度比其他組高出許多，當這4組剛度同時降低10%～50%時，傳動系統總剛度基本沒變（見圖6）；當這4組剛度同時降低50%～80%時，傳動系統總剛度略有降低；當這4組剛度同時降低90%時，傳動系統總剛度僅降低1.85%，影響甚微；當超過90%時，則會引起傳動系統總剛度的顯著降低。故上述4組是關節減小質量的重點。

圖5 各組齒輪相對于輸出齒輪的等效剛度Fig.5 Equivalent stiffness of every group of gears

圖6 1、2、5、6組齒輪剛度對總剛度的影響Fig.6 Effect of the stiffness of the 1st，2nd，5th and 6th gears on the general stiffness of the joint transmission system

由式（8）知，關節總剛度取決于各齒輪中剛度最小的。顯然，高速級及中速級剛度經減速比及等效半徑比的放大后，剛度明顯大于低速級，則低速級輪系剛度對整個關節剛度影響較大。

由圖5可知，低速級（序號第9）的輸出齒輪Q的剛度ksQ遠遠小于其他組，其剛度增加10倍時，傳動系統總剛度呈近似線性增加（見圖7）；當其剛度增加10～50倍時，傳動系統總剛度盡管增速變緩，但仍會明顯提高；當其剛度增加80倍以上時則對傳動系統總剛度影響較小。齒輪扭轉剛度主要取決于齒輪齒寬及齒輪半徑，增加齒輪的基圓半徑勢必會改變其模數，從而會改變齒輪系其他的性能，因而增加齒輪寬度即可直接有效地提高整個關節剛度，改善關節性能。

由式（7）知，9組等效剛度都很接近時，總剛度最優，則應合理分配各級齒輪的減速比及等效半徑比，以使得各級剛度平均分配。

圖7 輸出齒輪Q的剛度對關節總剛度影響Fig.7 Effect of the stiffness of the last gear on the joint transmission system

另外，行星齒輪個數的增加對整體剛度也會有較大的影響，當將第9組齒輪剛度提高到與第8組齒輪剛度一個量級時，增加1個N級行星齒輪個數，總剛度增加19%。另外，行星齒輪個數的增加可以使齒輪受力更加均勻。

4 結束語

通過本文分析得到如下結論：

1）就本文所述關節傳動系統，第1、2、5、6組對應的齒輪與軸具有較大的剛度裕度，同時降低其剛度90%時，關節傳動系統總剛度僅降低1.85%，影響甚微，是關節減重的重點對象，可以通過減小齒寬等措施來減輕關節質量，但進一步降低第1、2、5、6組的剛度會顯著降低關節傳動系統總剛度，設計時需要權衡考慮。

2）空間多級傳動的大傳動比關節低速級等效剛度低于其他級等效剛度，因此，傳動系統總剛度主要取決于低速級剛度，傳動系統總剛度隨低速級（第9組）的等效剛度的增加而近似線性增加。

3）在關節傳動系統的設計時應盡量將各速度級等效剛度優化至同一量級，以達到提高剛度、減輕質量的綜合效果。

4）周轉輪系中行星齒輪個數的增加有利于提高關節剛度，但同時會增加傳動系統的質量，設計時應權衡考慮。

［1］WOERKOM VAN P TH L M，MISRA A K.Robotic Manipulators In Space：A Dynamics and Control Perspective［J］.Acta Astronautica.1996，38：411-421.

［2］NGUYEN P K，RAVINDRAN R，CAR R，et al.Structural Flexibility Of The Shuttle Remote Manipulator System Mechanical Arm ［C］∥Guidance And Control Conference，San Diego，CA，Collection of Technical Papers.New York，American Institute of Aeronautics and Astronautics，1982.

［3］王龍寶.齒輪剛度計算及其有限元分析 ［D］.鎮江：江蘇大學，2007.WANG LONGBAO.Stiffness Calculation and FME Analysis of Gears［D］.Zhenjiang：Jiangsu University，2007.

［4］CAHALA G.ISO 6336Vs AGMA 2001Gear Rating Comparison For Industrial Gear Applications.［C］.Cement Industry Technical Conference，IEEE-IAS／PCA：19-22.1999.

［5］國家技術監督局.GB／T3480-1997漸開線圓柱齒輪承載能力計算方法 ［S］.北京：中國標準出版社，1997.CHINA STATE BUREAU OF QUALITY AND TECHNICAL SUPERVISION.GB／T3480-1997Calculation Methods of Load Capacity for Involute Cylindrical Gears［S］.Beijing：China Standard Press，1997.

［6］張策.機械動力學 ［M］.北京：高等教育出版社，2007：205-206.ZHANG CE.Machinery dynamics［M］.Beijing：Higher Education Press，2007：205-206.