等效錐度的計算及驗證＊

吳 寧，董孝卿，林鳳濤，文 彬，王悅明

（1 中國鐵道科學研究院 機車車輛研究所，北京100081；2 華東交通大學 載運工具與裝備省部共建教育部重點實驗室，江西南昌330013）

輪軌幾何接觸是解釋鐵道車輛動力學性能的基礎，等效錐度是輪軌幾何接觸中的重要參數。當鐵道車輛運行在直線線路或大半徑曲線線路上時，等效錐度決定著輪軌之間的匹配程度［1-2］。

對我國多條線路上的動車組振動狀態及車輪磨耗跟蹤研究的結果表明，輪軌匹配等效錐度的大小與動車組運行過程中的動態響應密切相關。如等效錐度過小導致動車組運用過程中出現晃車現象［3-4］，等效錐度過大引起動車組車輛構架橫向振動報警［5］。因此，定期獲取運用動車組車輪廓形并準確計算等效錐度是很必要的。

在關于輪軌關系的研究領域內，等效錐度是一個重要參數。等效錐度與鐵道車輛的動力學性能有著密切的聯系，歐洲標準UIC518［6］將等效錐度作為車輛型式試驗的關鍵參數并規定了試驗過程中等效錐度的范圍。國內鐵道車輛領域內很多研究工作探討了等效錐度和車輛動力學性能的關系［7-11］。文獻［12］比較了幾種等效錐度計算方法的差別。

對于確定的輪軌廓形和參數，等效錐度的計算結果應該是確定的。等效錐度算法并不局限于一種，且計算結果受輪軌廓形平滑插值方法影響較大。因此需要有相關驗證標準對等效錐度算法進行驗證，一種等效錐度算法只有在完全通過相關標準驗證后其計算結果才能被認可。歐洲標準EN 15302用于等效錐度算法的驗證［1］，UIC519給出了等效錐度的計算方法［2］。

1 等效錐度的定義

錐形踏面輪對在線路上具有相對固定的正弦運動軌跡，Klingel理論指出這一運動軌跡的波長取決于輪對踏面的錐度角以及左右輪軌接觸斑之間的距離，即Klingel公式：

式中λ為輪對運動軌跡的波長，m；e為左右輪軌接觸斑之間的距離，即為跨距，m；r0為輪對處在對中位置時的車輪滾動圓半徑，m；γ為車輪踏面的錐度角，弧度。

實際運用中的車輪踏面具有變化的錐度角，可以采用對左右車輪滾動圓半徑差（取決于輪對橫移量）進行積分的方法獲得輪對的運動波長，再將該波長與Klingel理論中的相應波長對照，得出輪對等效錐度。即：

式中tanγe為等效錐度。

等效錐度定義為給定輪對運動波長相同的錐形車輪輪對的車輪錐度角正切值。如圖1所示。

圖1 等效錐度定義

等效錐度的實質是非錐形踏面輪對在每一橫移幅值下均等效于一個錐形踏面輪對。其等效的依據是兩者的運動軌跡波長相等。

2 等效錐度的計算方法

等效錐度計算的流程見圖2。主要分為以下幾個步驟：（1）對輪軌廓形進行平滑和插值處理；（2）根據輪軌廓形和位置參數計算得到輪軌接觸點；（3）根據輪軌接觸點得到與輪對橫移量對應的左右車輪滾動圓半徑差；（4）基于左右車輪滾動圓半徑差計算結果，計算等效錐度。

圖2 等效錐度計算流程

以上4個步驟中，每一步均可采用不同的計算方法。步驟（1）可選擇采用通用的數學平滑插值處理方法，步驟（2）和步驟（3）采用的計算方法均為一般意義上的解析幾何方法。以下簡要由滾動圓半徑差計算等效錐度步驟（4）的2種方法（圖3）。

方法1：半徑差函數線性回歸算法。根據滾動圓半徑差積分確定輪對橫移幅值和橫移量的對應關系，再由橫移幅值對應的橫移量確定滾動圓半徑差的線性回歸范圍，對該范圍的滾動圓半徑差進行線性擬合，擬合后的斜率之半即為對應輪對橫移幅值下的等效錐度。

方法2：非線性微分方程積分算法。根據滾動圓半徑差積分確定輪對橫移幅值和橫移量的對應關系，再由邊界條件（即橫移幅值對應的最大橫移量和最小橫移量對應的搖頭角Ψ均為0）計算求解搖頭角Ψ時的常數C，得到常數C后積分確定搖頭角Ψ與橫移量y的函數，之后再進行積分，確定出輪對橫移幅值對應的輪對運動波長λ，最后由公式（2）得到等效錐度tanγ。

圖3 由滾動圓半徑差計算等效錐度的2種算法

3 等效錐度算法編程實現

根據上面介紹的等效錐度計算方法，采用方法1實現了等效錐度計算的算法編程，以適應批量計算實測輪軌廓形等效錐度的需要。

（1）輪軌廓形的插值平滑處理

輪軌廓形的插值平滑處理主要根據輪軌廓形坐標數據及輪軌幾何參數（軌距，輪對內側距，軌底坡等）實現輪軌廓形坐標的插值、平滑及輪軌位置定位。采用兩次插值處理，一次平滑處理實現輪軌廓形坐標插值平滑處理：先對初始輪軌廓形坐標值進行插值處理，接著對插值處理后的坐標進行平滑處理，最后再對平滑處理后的坐標進行插值。其中平滑處理采用濾波的方法實現。插值平滑處理完成后根據最終的輪軌廓形坐標及輪軌幾何參數輸出用于計算輪軌接觸點的左右側輪軌廓形坐標。

（2）計算輪軌接觸點

采用左右側輪軌垂向距離最小極值的方法計算輪軌接觸點，具體的計算流程見圖4。輪對橫移量一般從-20mm計算到20mm。左右側輪軌最小垂向距離之差絕對值的控制變量ε是一個很小的正數，其值越小，輪軌接觸點的計算精度越高。但若ε過小，則可能得到錯誤的輪對側滾角，從而得到錯誤的輪軌接觸點。ε的選擇與輪軌插值點橫向坐標間距有關，如輪軌插值點橫向坐標間距取0.1mm時，ε可取0.01mm。圖5為計算得到的輪軌接觸點示意圖。

（3）計算左右車輪滾動圓半徑差

在得到輪軌接觸點后，根據輪對橫移量對應的左右車輪上接觸點可直接得到左右車輪滾動圓半徑差。

（4）根據左右車輪滾動圓半徑差計算等效錐度

等效錐度的實質是非錐形踏面輪對在每一橫移幅值下均等效于一個錐形踏面輪對，等效錐度是輪對橫移幅值的函數，因此首先要確定輪對橫移量和輪對橫移幅值的對應關系。

確定半徑差為0時對應的橫移量yem，該橫移量對應的輪對位置即為輪對相對于軌道的平衡位置。對半徑差進行積分，積分S（y）=-∫Δr·dy分別從yem向橫移量正方向y+和負方向y-各進行一次，確定出在輪對橫移振幅ym下輪對的最小橫移量yemin和最大橫移量yemax。對最小橫移量yemin和最大橫移量yemax之間的半徑差進行直線擬合，擬合得到的斜率之半即為輪對橫移振幅ym下的等效錐度。

圖4 輪軌接觸點及計算流程

圖5 輪軌接觸點示意圖

如果Δr=f（y）特征在區間［yemin，yemax］內關于原點對稱性較差，應對每部分（正和負）分別進行回歸得到兩個等效錐度值tanγe，p和tanγe，n，等效錐度可通過下式得到：

4 等效錐度算法的驗證

由于計算等效錐度可采用不同的計算方法，且計算等效錐度的每一步均可選取不同的數學算法。對于確定的輪軌廓形及輪軌參數，等效錐度計算結果應是確定的、穩定的。因此必須采用相關標準對整個等效錐度算法進行驗證。一個具體的等效錐度算法只有完全通過相關標準驗證后才能用于實測輪軌廓形等效錐度的計算。

歐洲標準EN 15302：2008規定了驗證等效錐度算法的過程、驗證采用的基準輪軌廓形及采用基準輪軌廓形計算得到的等效錐度基準結果和容許誤差。采用EN 15302：2008對整個等效錐度算法程序進行驗證。整個驗證過程共分為3步。

（1）采用EN 15302：2008附錄中給出的基準輪軌廓形數據及匹配參數作為輸入，考核被驗證的算法程序的計算結果是否在規定的容許誤差界定范圍內。其目的是考核計算程序能否準確地計算出等效錐度，即驗證計算程序的準確性。圖6給出了一個驗證結果示例，本例中左側車輪廓形為標準附錄中的車輪B廓形，右側車輪為標準附錄中的車輪A廓形，軌道廓形為標準附錄中的軌道A廓形。圖中同時給出了ADAMS軟件輪軌接觸計算模塊的計算結果。

圖6 等效錐度算法程序驗證第1步圖例

（2）將EN 15302：2008附錄中定義的隨機誤差添加到基準輪軌廓形數據中，考核被驗證算法程序的計算結果是否在規定的容許誤差界定范圍內。其目的是當考核輪軌廓形有一定誤差時計算程序的計算結果是否穩定，即驗證計算程序的穩定性。圖7給出了一個驗證結果示例，本例中車輪廓形為標準附錄中的車輪A廓形，軌道廓形為標準附錄中的軌道A廓形。

圖7 等效錐度算法程序驗證第2步圖例

（3）將EN 15302：2008附錄中定義的柵格誤差添加到基準輪軌廓形數據中，考核被驗證的算法程序計算結果是否在規定的容許誤差界定范圍內。其目的是考核輪軌廓形數字化過程中引入柵格誤差后計算程序的計算結果是否穩定，即驗證計算程序能否用于實測輪軌廓形等效錐度的計算。圖7給出了一個驗證結果示例，本例中車輪廓形為標準附錄中的車輪A廓形，軌道廓形為標準附錄中的軌道A廓形。

圖8 等效錐度算法程序驗證第3步圖例

5 結束語

詳細地介紹了等效錐度的定義、計算方法和算法驗證過程。以期對等效錐度算法編程實現及算法程序驗證有很好的參考作用。

［1］EN15302：2008，Railway applications-Method for determining the equivalent conicity［S］.

［2］UIC 519；2004；Method for determining the equivalent conicity［S］.

［3］董孝卿，王悅明，倪純雙，吳 寧，等.京津城際鐵路動車組車輪運用情況深入研究，TY字第3041號［R］.北京：中國鐵道科學研究院機車車輛研究所，2010.

［4］董孝卿，王悅明，王林棟，倪純雙，等.京津城際鐵路CRH3C型動車組車體晃動專題研究報告，TY字 第3056號［R］.北京：中國鐵道科學研究院機車車輛研究所，2011.

［5］康 熊，董孝卿，王悅明，文 彬.車輪外形磨耗及動車組振動狀態跟蹤研究，TY字第3217號［R］北京：中國鐵道科學研究院機車車輛研究所，2011.

［6］UIC518；2005；Test and approval of railway vehicles from the point of view of their dynamic behaviour-Safety-Track fatigue-Ride quality［S］.

［7］李 霞，溫澤峰，張劍，等.軌底坡對輪軌滾動接觸行為的影響［J］.機械強度，2009，（03）：130-135.

［8］羅世輝.軌距對機車車輛穩定性影響的研究［J］.中國鐵道科學，2010，（2），56-60.

［9］張 劍，金學松，等.基于CRH5型高速動車組車輛的輪對動態特性與等效錐度關系初探［J］.鐵道學報，2010，32（3）：20-27.

［10］樸明偉，樊令舉，等.基于輪軌匹配的車輛橫向穩定性分析［J］.機械工程學報，2008，44（3）：21-28.

［11］陳厚嫦，黃體忠，等.輪對內側距對機車車輛動力學性能影響的試驗研究［J］.中國鐵道科學，2006，27（5）：99-103.

［12］任利惠，謝 綱，沈 鋼，等.踏面等效斜率計算方法的比較［J］.城市軌道交通研究，2011，（6）：8-13.