船舶靜態電場混合模型的逐步回歸法優化求解

胡英娣，龔沈光，閆永貴

（1.海軍工程大學兵器工程系，湖北 武漢 430033；2.海洋腐蝕與防護重點實驗室，山東 青島 266061）

0 引言

船舶水下靜電場起源于船體不同材料之間的腐蝕電池及在船體上施行的各種防腐措施［1］，是船舶重要的目標特征信號，研究船舶靜電場建模是實現電場深度換算和靜電場隱身研究的基礎，對船舶的探測和防護技術的發展有著重要意義。

由于船舶靜電場的場源是船身及海水中的腐蝕與防腐電流，因此船舶腐蝕相關電磁場可以用位于船舶水下部分所占區域內的電偶極子產生的電磁場疊加來等效［2］，即目標船舶的靜電場可以用若干個靜態電偶極子產生的電場來模擬，這種建模方法稱為等效源法。文獻［3］采用位于船模縱向中心線上的一系列三分量電偶極子產生的電場來模擬船模水下靜電場，此方法采用的模擬源數量很多，需要的測量數據量大，計算較為復雜。文獻［4］提出可以采用一個水平電流線與若干個離散偶極子結合的混合模型對船模靜電場進行了模擬，此模型較為簡潔，具有較高的實用性，但是由于建模過程中模擬源的數量和位置往往難以確定，再加上測量信息不可避免存在誤差，該文獻中的模型求解方法通常不容易獲得準確的解，極大影響建模精度。

本文針對此問題，提出基于逐步回歸法的求解方法，對混合模型進行優化求解。

1 船舶靜電場混合模型及逐步回歸法

1.1 艦船靜電場混合模型的典型形式

混合模型的形式為由一個線電流和若干個三軸電偶極子組成的陣列，每一個三軸電偶極子分別由x、y、z三個方向的電偶極子組成，因此每個位置上都會有三個相互垂直的電偶極距。它們在海水中的點Pj（xj，yj，zj）處產生的電場為各個模擬源產生的電場的疊加。

在已有的研究中，通常采用船舶靜電場三分量場強數據來建模，研究表明，可以利用靜態磁場的垂向分量實現船舶磁場的建模和定位［5］，類似的，可以只采用靜電場的垂向分量來對船舶靜電場進行建模，這樣可以減少模型的維數，提高效率。因此模型方程可以表示為：

其中A表示方程組的系數矩陣，由于模型中任意方向偶極子源實際上是三個方向上的偶極子源的結合，因此矩陣A為M×（3 N＋1）維矩陣，即

X是待求的模擬源參數，即線電流的大小和各個偶極子的電偶極矩，構成3 N×1矩陣：

電場E是M×1矩陣

通過方程（2）求解出各個模擬源的參數是建模的關鍵，對于方程（2），由于船舶靜電場建模中，測量數據向量長度通常大于模型向量長度，因此式（2）一般為超定方程，存在最小二乘解，

但是由于用模擬源法對船舶靜電場進行建模時，通常是根據經驗人為地設置模型中模擬源的個數和位置，而為了建模準確一般會選取盡量多的模擬源，因此模型中模擬源的個數有時會大于準確的模型所需要的模擬源個數，此時用最小二乘法求解的結果將包含冗余的模擬源，造成模型錯誤［6－7］。為避免這個問題，本文采用逐步回歸法對模擬源的參數進行篩選再求解。

1.2 逐步回歸法

逐步回歸法［5］是以多元回歸為基礎，利用最小二乘法原理建立正規方程，求回歸系數的一種回歸方法。其基本原理是：將所要分析的n個自變量ai（i＝1，2，…，n）與因變量Y 的關系寫為：

上式稱為回歸方程，逐步回歸分析是在全部因素ai（i＝1，2，…，n）中按照對Y 作用的顯著程度，由大到小逐個引入到回歸方程（4）中，同時對回歸的每一步進行顯著性檢驗，因此當先引入的變量由于后面變量的引入而變得不顯著時，則隨時將其剔除，回歸過程一直持續到沒有顯著的變量可以引入回歸方程為止。

2 混合模型的逐步回歸法優化

本文利用文獻［4］提出的混合模型，在模型求解過程中用逐步回歸法對模型中的模擬源進行選擇優化，提高了模型的穩定性和準確性。

根據上文逐步回歸法的原理，應用逐步回歸法求解上述混合模型的步驟是：

1）計算式（3）中系數矩陣A的相關系數矩陣；

2）引入最顯著的變量。計算（4）中各個變量ai與Y的相關系數，找出相關系數最大的變量，對它的偏回歸平方和做顯著性檢驗，若檢驗結果是顯著的，則將其引入回歸方程；

3）剔除不顯著的變量。對回歸方程（4）中已包含的變量逐個做顯著性檢驗，若其偏回歸平方和變為不顯著，則剔除此變量，若顯著性不變，則保留；

4）重復步驟2）和3），直到沒有變量可以引入方程，也沒有變量可以被剔除；

5）根據回歸結果求解參數xi（i＝1，2，…，n）。

通過上述過程獲得方程的解之后，代入方程中考察擬合誤差，若誤差較小則表明求解結果可用，若擬合誤差仍然很大就說明建模失敗，需要選擇其他數據或重新建模。

3 仿真算例

為檢驗方法的性能，設計仿真實驗，對一艘中型船舶進行建模。目標船舶的尺寸為：水線長117m，水線寬15.6m，吃水深度6.27m。該船舶船身涂層大致完好，只有銅制的螺旋槳和船頭某處船殼有破損，船身上有4個對稱布放的輔助陽極。由于船身產生腐蝕的區域主要是螺旋槳、船殼破損處及輔助陽極，因此將模型中線電流放置在船身縱向中心線上，長度為從螺旋槳到距離最遠的輔助陽極的距離，偶極子均勻分布于線電流所在的直線上。在完成電場建模以后，分別采用最小二乘法和逐步回歸法求解模型，并將結果與測量值相比較。在兩個深度（h1＝10m，h2＝20m）上測量船舶在海水中的電場值作為仿真數據，由于客觀條件限制，無法進行實船試驗，因此靜電場數據測量數據采用邊界元法對目標船舶進行模擬的結果。邊界元法通過分析船舶腐蝕和防腐情況，可以精確預測船舶腐蝕相關電磁場的分布，且已形成了成熟的商業軟件，因此用邊界元法模擬得到的數據相當于理想測量條件下的測量結果，可以用來進行換算和驗證。

建立如圖1所示的坐標系，以海平面為z＝0的平面，原點選在船舶的中心，z的正方向指向地心，x正方向指向船首，y正方向指向船的右舷。

圖1 電流線＋電偶極子建模Fig.1 Current line＋electric dipole modeling

假設模型中包含3個三軸電偶極子，那么混合模型由9個電偶極子和1個線電流源組成，用10m水深處的Ez數據建立模型并求解。在10m水深平面上選取平行于船舶縱向中心線的四條直線，直線坐標分別為y＝－6m，－2m，2m，6m，每條直線上選取12個測量點，一共48個測量點并用其Ez值建立模型。分別用最小二乘法和逐步回歸法求解方程，解的誤差如圖2所示，圖中實線表示電場測量值，＊號表示通過方程的解計算得到的電場值，可以看到對于此模型，用兩種方法求解模型方程的結果都比較好。

圖2 模型求解誤差示意圖Fig.2 The fitting error curve of model

利用求得的模型計算20m深處一條直線（y＝－2）上的Ez，選取40個測量點的電場值作為第二組數據進行對比驗證，將計算結果與測量值進行比較結果見圖3。

圖中可以看到兩種方法求解模型并進行換算的結果與測量值符合較好，說明由3個三軸電偶極子和一個線電流組成的模型能很好地模擬目標船舶的靜電場。這是由于測量點數據是由一個腐蝕情況較為理想的目標船舶所產生的，而模擬源的位置剛好位于船身腐蝕區域的位置。而在實際情況下，對船舶的靜電場進行建模時往往并不清楚其腐蝕區域，而且像例子中的船舶這樣，整個船身只有很小的一塊區域被腐蝕的情形是不可能出現的，因此實際上對船舶靜電場進行建模時往往采用盡量多的模擬源，以保證建模的精度。將模型稍作改進，增加偶極子源的數量，用上述兩種方法求解模型并換算到第二組測量點處的值，換算值與測量值比較的結果如圖4所示。當模型中包含5個均勻分布的三軸電偶極子即15個電偶極子，換算結果如圖4所示，隨著模型中偶極子數量的增加，用最小二乘法求解模型時，結果誤差明顯增大。這是由于最小二乘法求解的結果將包含了無效的模擬源，這就導致模型變得不準確。而逐步回歸法則對模擬源進行篩選，剔除無效源，有效地保證了建模精度。

圖3 Ez模型換算值與測量值對比曲線（3個三軸電偶極子）Fig.3 The contrsting curve of extrapolation result and theoretic result of Ez （the model of 3three components dipoles）

圖4 Ez模型換算值與測量值對比曲線（5個三軸電偶極子）Fig.4 The contrsting curve of extrapolation result and theoretic result of Ez （the model of 5three components dipoles）

4 結論

本文基于逐步回歸法提出了船舶靜態電場建模的優化求解方法。該方法在模型求解過程中通過逐步回歸法對偶極子的偶極矩參數進行優化選擇，剔除對模型不重要的偶極矩，得到符合船舶靜電場特征的模型，避免了人為設置靜電場模型的弊端。

仿真結果顯示逐步回歸法結果在模型中模擬源數量較多時建模準確度遠大于最小二乘法，表明本文的方法建模具有較高的精度。

［1］林春生，龔沈光.艦船物理場［M］.北京：兵器工業出版社，2007：237－242.

［2］彭祖贈.數學模型與建模方法［M］.大連：大連海事大學出版社，1997：237－242.

［3］劉勝道.艦船水下電場的測試技術與電偶極子模型研究［D］.武漢：海軍工程大學，2002.

［4］陳聰，龔沈光，李定國.基于電偶極子的艦船腐蝕防腐相關靜態磁場研究［J］.兵工學報，2010：31（1），113－118.CHEN Cong，GONG Shenguang，Li Dingguo.Research on the static magnetic field related with corrosion and anti－corrosion of ships based on the electric dipole model［J］.Introducing Journal of China Ordnance，2010，31（1）：113－118.

［5］陳聰，李定國，龔沈光.艦船水下標量電位的混合建模研究［J］.武漢理工大學學報（交通科學與工程版），2010：34（6），1117－1120.CHEN Cong，LI Dingguo，GONG Shenguang.The sduty of mixed modeling of ship's underwater electric potential［J］.Journal of Wuhan University of Technology（Transportation Science ＆Engineering），2010，34（3）：1117－1120.

［6］王金根，龔沈光，劉勝道.磁性目標的高精度建模方法［J］.海軍工程大學學報，2001，13（3），49－52.WANG Jingen，GONG Shenguang，LIU Shengdao.High accuracy method for modeling magnetic object［J］.Journal of Naval University of Engineering，2001，13（3）：49－52.

［7］楊明明，劉大明，連麗婷.基于磁場梯度的船舶磁場模型［J］.艦船科學技術，2008，30（5）：95－97.YANG Mingming，LIU Daming，LIAN Liting.Vesselmagnetic field model based on magnetic gradient［J］.Ship Science and Technology，2008，30（5）：95－97.