基于最小均方誤差的認知雷達估計波形設計方法

曹 磊，張劍云，王小平，張 鑫

（解放軍電子工程學院，安徽 合肥 230037）

0 引言

認知雷達（Cognitive Radar，CR）［1］是針對復雜電磁環境下目標探測提出來的一種新體制雷達，它與傳統雷達的不同主要體現在以下三個方面：1）雷達通過不斷地與環境的交互來實現對環境的學習并獲取環境的相關知識以及目標的特性；2）發射機根據反饋信息和先驗知識智能調整照射方式，以實現對環境可靠、有效和穩健地探測；3）雷達所處環境、發射機以及接收機三者組成一個動態、閉環反饋的雷達系統。因此，用一句話總結認知雷達的本質：通過與環境不斷的交互而理解環境并適應環境的閉環雷達系統。

目前，關于認知雷達的研究主要集中在最優發射波形設計方面。大部分是針對目標為確定信道，且假設雷達已經獲得了準確的目標沖激響應，進而根據特定的某種準則設計出最優檢測［2－3］、識別［4－5］、跟蹤［6］等波形。但許多目標的散射特性可能是隨機分布的，且雷達剛開機時，往往并不具備目標的相關信息。由此可見，提出一種針對隨機信道目標的最優估計波形設計方法是十分有意義的。

1 認知雷達波形設計和MMSE準則

1.1 認知雷達波形設計基礎狀況

圖1所示為CR單次循環的離散信號模型。

圖1 信號模型Fig.1 The signal model

目標和雜波被建模為沖激響應為t∈CNt×1和c∈CNc×1的有限沖激響應（FIR）濾波器［2－3］。其中Nt＝Nc。雷達接收回波可以表示為：

因此，式（1）可以表示為矩陣乘積形式：

關于認知雷達波形設計，識別和檢測方面的研究較多，大部分是假設信號模型中的目標沖激響應t是已知的，然后設計相應的最優波形。文獻［4］假設系統已經獲得關于目標沖激響應t的先驗知識后，提出了一種基于遺傳算法和最大滑動相關分類器的波形優化方法。該方法定義目標回波和同類模板之間的匹配系數與該目標回波和異類模板之間匹配系數的差為匹配距離，以最大化各類目標之間的匹配距離的最小值為優化準則，然后通過遺傳算法進行求解，得到最優識別波形。文獻［5］針對多個目標的識別問題，基于互信息準則，通過最大化接收到的信號與目標沖激響應線性加權和的互信息獲得了針對多個目標識別的最優波形。而文獻［2］中，則針對系統在未知的確定信道目標情況下，提出了首先通過對目標沖激響應進行t估計，然后根據估計得到的目標先驗知識設計了最優檢測波形。

1.2 最小均方誤差（MMSE）準則

在尋找最佳估計量的時候，我們需要某些衡量標準，最常見的就是均方誤差（MSE），它度量了估計值偏離真實值的平方偏差的統計平均值。

當估計子為高斯分布矢量x時，則估計子x和量測信息y聯合分布的均值和協方差矩陣分別為：

當R和Ryy非奇異時，那么在給定量測信息y，對估計誤差的任意容許損失函數，參數x最小后驗期望損失估計［7］公式為：

進一步得到估計子的 MSE［8－12］為：

為了得到估計子的最優估計值，常常采用使MSE最小作為標準，即最小均方誤差準則。

2 基于MMSE的波形優化方法

2.1 原理

本文考慮的是隨機信道目標的最優估計波形設計問題，即設計一種波形，使得在該發射波形下雷達能夠更快更準確地完成對目標的估計。隨機信道目標，即雷達每次照射時，目標沖激響應為隨機過程的一個樣本函數，即t～CN（0 ，Rt）。

假設雜波也服從高斯分布，c～CN（0 ，Rc），因此，估計子t和量測信息x是服從聯合高斯分布的，即，且y～CN （μy，Ry）。因此，根據式（4）和（5）可求得聯合分布的均值和協方差矩陣分別為：

接著通過（6）的最小后驗期望損失估計公式求取目標沖激響應的估計值：

然后通過估計值進一步根據式（7）得到目標沖激響應估計值的MSE為：

由于MSE是發射波形S的函數，因此可以將基于MMSE的認知雷達估計波形設計問題描述為如下優化問題：

通過目標函數的優化便可求得認知雷達的最優估計波形。

2.2 步驟

結合上述分析將具體步驟描述如下：

第一步：構造聯合矩陣，求取相應的均值和協方差矩陣。通過式（8）和（9）分別求取目標沖激響應和接收數據聯合分布的均值μy和協方差矩陣Ry。

第二步：計算估計子的估計值。通過式（10）求得對估計誤差的任意容許損失函數，目標沖激響應t的最小后驗期望損失估計值t＾。

第三步：計算估計值的MSE。通過估計值t＾進一步根據式（11）得到目標沖激響應估計值的MSE。

第四步：基于最小均方誤差（MMSE）準則優化波形。根據矩陣理論相關知識［13］進一步將式（12）的優化問題化簡求解便可求得認知雷達的最優估計波形。

3 實驗仿真

對優化問題分析求解可知，白噪聲背景中，偽隨機信號為最優估計波形，色噪聲背景中，根據矩陣跡不等式和拉格朗日乘子法可求解得到的最優波形及還原Toeplitz結構的逼近信號。

下面對本文算法進行仿真分析，仿真條件：目標沖激響應和雜波沖激響應長度Nt＝Nc＝30，離散信號長度Ns＝40，所以接收數據和噪聲長度Nx＝Nn＝Nt＋Nc－1＝69，假設信號的載頻、帶寬、脈沖重頻等發射波形的其他參數都滿足雷達要求。功率P與噪聲和雜波PSD取同一量級單位（kW），目標和雜波PSD采用隨機產生。

實驗一：白噪聲背景，Rn＝＝0.5。圖2為隨機產生的目標和雜波PSD采樣值；圖3顯示了MSE與功率P的關系；圖4為發射功率等于5 kW時，MSE隨發射信號長度Ns變化曲線圖。

圖2 目標、雜波PSDFig.2 The PSD of target and clutter

圖3 MSE與發射信號功率的關系Fig.3 The MSE versus the power P

圖4 MSE與發射信號長度的關系Fig.4 The MSE versus the length of waveform

由仿真結果可以看出：1）隨著發射功率的增加，各個發射波形對應的MSE都逐漸減小，且偽隨機信號對應的始終低于常規的LFM信號對應的，這說明偽隨機信號的估計性能明顯優于LFM信號。2）隨著發射信號長度的增加，LFM 信號對應的MSE不斷增大，這是由發射功率一定的限制條件引起的。3）當發射信號長度小于40時，偽隨機信號對應的MSE存在波動，而大于40以后，基本處于平穩狀態。這是由于偽隨機信號本身的限制引起的，使得矩陣SHS與PINt的相似度隨著發射波形長度的變化而變化。可見，當發射信號長度大于40以后，可以認為此時與發射波形長度無關，且其MSE始終處于LFM下方，這說明偽隨機信號在估計性能上遠遠由于LFM信號。與理論分析一致。

實驗二：色噪聲背景。圖5顯示了隨機產生的目標、雜波、噪聲PSD 采樣值σt，i、σc，i、σn，i以及發射信號功率為1kW時求解的信號奇異值σs，i。圖6（a）為雜波PSD、噪聲PSD之和與目標PSD的比值，圖6（b）為信號奇異值的條形圖。

圖5 目標、雜波、噪聲PSDFig.5 The PSD of target，clutter and noise

由圖5和圖6可知，本文算法求解的信號奇異值始終與目標PSD呈現相同趨勢，與雜波和噪聲PSD之和與目標PSD的比值呈現相反趨勢，滿足了注水原理［8］。這說明優化的發射波形是選擇在目標特征較明顯的頻率分配較多功率，而在雜波、噪聲特征較明顯的頻率分配較少功率，這樣，便使得雷達的接收回波能攜帶更多的目標特征信息。以上結論是經過多次實驗驗證得到的。

圖7顯示了LFM信號、上述優化信號Sopt以及逼近信號分別對應的MSE與發射信號功率的關系。

圖6 注水原理圖解Fig.6 The principle of injection

圖7 MSE與發射信號功率的關系Fig.7 The MSE versus the power P

由圖7仿真結果可知：1）各個發射信號對應的MSE都隨發射信號功率的增加而逐漸減小，且本文優化信號對應的始終明顯遠小于LSM信號；2）逼近信號雖然在性能上略差于最優信號，但相對于常規的LFM信號仍有較大的優勢，這說明了逼近方法的可行性。同時逼近信號恢復了信號卷積矩陣的固有Toeplitz結構，因此比最優信號更有實用價值；4）隨著發射功率的增加，逼近信號的MSE越來越靠近最優信號，說明逼近程度直接受發射功率影響。發射功率越大，逼近效果越好。

4 結論

本文基于最小均方誤差準則提出了一種針對隨機信道目標的認知雷達估計波形設計方法。該方法首先聯合觀測數據和估計子構造一個新的聯合矩陣，接著通過貝葉斯方法在該向量的基礎上求取估計子的估計值，然后計算估計值的 MSE，最后基于MMSE準則對發射波形進行優化。仿真結果表明，通過該方法優化的波形，在估計性能上相對于傳統的LFM信號具有明顯的優勢，且證明了白噪聲背景中，偽隨機信號是最優估計波形；色噪聲背景中，根據拉格朗日乘子法和矩陣跡不等式求解得到的最優波形，滿足注水原理。

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