單端口靜電激勵／電容檢測諧振器的諧波分析*

樊尚春，陳 晨，邢維巍

（北京航空航天大學儀器科學與光電工程學院 北京，100191）

引 言

諧振器的激勵檢測問題是實現高性能諧振式傳感器的關鍵問題之一。靜電激勵／電容檢測方式是目前的典型技術，相對于雙端口激勵檢測方式［1］，單端口靜電激勵／電容檢測方式［2］合并激勵和檢測電極，簡化了結構，既方便加工，又使電容的有效面積達到最大，同時解決了激勵信號與檢測信號間的耦合干擾問題。基于頻域分離法的單端口靜電激勵／電容檢測方式其本質是直接以激勵電壓信號充當載波信號，它被動態電容信號調制而產生的電流信號包含振動信號。根據激勵電壓的不同分為交流電壓激勵及帶直流偏置的交流電壓激勵 （混合電壓激勵）。兩者的區別在于前者產生倍頻激勵力（均相對于激勵電壓頻率而言），后者產生同頻激勵力，最終輸出電流的頻率組成成分有所區別。檢測諧振器的輸出信號時，前者測電流中的三倍頻成分，后者測電流中的二倍頻成分。在一定的條件下，檢測的電流諧波其幅度與諧振梁振動幅度成正比，可用來求取諧振頻率及品質因數Q。檢測的電流諧波與振動位移同相位，可用在鎖相閉環中跟蹤諧振頻率。目前，文獻中對于頻域分離的單端口靜電激勵／電容檢測方法的研究，大多假設諧振子處于線性振動狀態，且在推導過程中進行了大量近似，最終得到包含少量頻率成分的輸出電流表達式［3］。為了給電路設計提供可靠依據，有必要明確檢測信號中包含的各種諧波。同時，國內外學者對諧振器的非線性動力學行為進行了大量研究［4－8］。

筆者在交流電壓激勵和帶直流偏置的交流電壓激勵兩種情況下，分別建立了考慮幾何非線性和靜電非線性［9］的諧振器動力學方程。采用模態截斷的方法得到各自的單自由度系統，這些單自由度系統都通過復雜的二階非線性常微分方程進行描述。采用Runge－Kutta法求常微分方程，由得到的位移和速度數據求解出離散的電流值，再對電流值進行快速傅里葉變換（FFT）處理，求出電流的諧波成分以及相應的幅值。

1 諧振器運動方程建模

筆者研究一種基于平行板電容的諧振器，如圖1所示。諧振器分為可動部分（即雙端固支的諧振梁）以及不可動的底板，諧振梁的長、寬、厚分別為l，b，h，極板間距為d。

考慮幾何非線性，諧振梁的振動微分方程［4］為

圖1 電場激勵下的諧振器簡圖

邊界條件為

代入式（1），（2）得到無量綱化后的動力學方程為

無量綱邊界條件為

2 動力學方程求解

采用分離變量法求解建立的動力學方程。令式（3）解的形式為

其中：φi（）為無量綱后動力學方程線性無阻尼部分的第i階模態，即為滿足微分方程（6）及邊界條件（7）的解。

式（6）具有通解

其中：

代入邊界條件得到

其中：

利用得到的線性模態及模態間滿足的正交性，將式（3）進行空間離散［5］。將式（5）代入式（3），在方程兩端同時乘以φn）（1－）2，并對變量在（0，1）上進行積分，整理得到離散的動力學方程式，即式（12），其中n＝1，2，…，M。式（12）實際上為M 個非線性常微分方程組成的方程組，M的取值根據計算精度和收斂性來確定。工作在第1階固有頻率附近的諧振器，如果各階固有頻率相差很遠，取M 為很小的整數即可保證計算精度和收斂速度。當給定初始條件，式（12）可以采用數值求解的方法計算。如果M值取1或2，式（12）也可以通過攝動法、諧波平衡法和多重尺度法等解析方法進行求解。

3 諧振器振動產生的電流

當諧振器第1、第2階固有頻率間隔較大時，為簡便計算，可采用傳統Galerkin模態截斷法只截取第1階模態對諧振器動力學方程進行求解。

令M＝1，式（12）可寫為

式（13）為非線性二階常微分方程，解析求解繁雜，無法得到形式簡單明了的電流表達式，不利于分析其諧波組成。于是在此采用Runge－Kutta法數值求解。

求解出u1后，得到諧振梁各部分隨時間變化的位移（，）。可動板和底板間的電容為

諧振器的輸出電流為（忽略高于u21的三階小量）

當取定初始值后，根據式（13）數值解出u1以及˙u1，在u1達到穩態后取數據點列，設采樣頻率為Fs，采樣點數為 N，取位移點列｛u1（1），u1（2），…，u1（N）｝。相應地，取點列u1中各點對應的速度組成一個速度點列為｛˙u1（1），˙u1（2），…，˙u1（N）｝。以時間點列｛1，2，…，N｝分別對函數sin（1）和cos（1）進行離散，得到另外兩個點列。將以上4個點列代入式（16），得到函數i1（）的一個采樣數據列I1＝｛i（1），i（2），…，i（N）｝，對I1進行FFT變換得到復數數列FI1，即FI1＝fft（I1）。令，其中，j為單位虛數符號。忽略FI1中模接近零的數據，得到點列｛aλ1＋j bλ1，aλ2＋j bλ2，…，aλΥ＋j bλΥ｝，其中，aλk＋j bλk對應 FI1中第Λk個點。得到電流i1（）主要諧波成分為其中，。當有直流成分時，不存在直流成分時

當激勵電壓只含交流部分時，同樣可以得到只考慮一階模態時動力學方程空間離散后的常微分方程（為了區別，將u1記為U1）

數值求解出U1后可以得到諧振器振動產生的電流為

采用類似于混合電壓激勵的情況分析i2（）的諧波成分。

4 算 例

以文獻［6］中的諧振器為例進行計算。諧振器尺寸、材料參數以及無量綱初始軸向力如表1所示。將參數代入式（10），求解可得諧振器的無量綱固有頻率。前3階無量綱固有頻率為1＝24.63，2＝64.83，3＝124.40。諧振器工作在第1階固有頻率時，由于1和2間隔比較大，故采用傳統Galerkin模態截斷法。

表1 諧振器參數

求得歸一化第1階模態如圖2所示。取初始位移和初始速度均為0，Vdc＝1V，Vac1＝Vac2＝0.1V，ac1＝24.63，ac2＝24.63／2，分別計算得到兩種激勵下的振動位移，即式（13）和式（17）的解，如圖3，4所示。從振動的幅頻特性可以看出：諧振梁在混合電壓激勵下的穩態周期運動可以分解為靜態位移、一倍頻諧波分量及二倍頻諧波分量；交流電壓激勵下的穩態周期運動可以分解為靜態位移和二倍頻諧波分量。

圖2 諧振器歸一化第1階模態

在得到諧振器振動響應的基礎上，由式（16），（18）求得兩種激勵下輸出電流i1（）和i2（）的離散點列，對i1（）和i2（）進行FFT，得到電流幅頻特性。不同激勵電壓下的電流幅頻特性如圖5和圖6所示。分析可知：a.當非線性影響較小時，諧振器振動包含一個或兩個主要的諧波成分，此時在混合電壓激勵下，諧振器的輸出電流主要包含一、二及三倍頻諧波；在交流電壓激勵下，諧振器的輸出電流主要包含一倍和三倍頻諧波；b.同一激勵方式下，增大交流電壓的幅值可以提高諧波的幅值。

圖3 混合電壓激勵下諧振器的振動響應（Vdc＝1V，Vac1＝0.1V，ac1＝24.63）

混合電壓激勵下電流的二倍頻諧波由以下3個部分組成：a.激勵電壓的交流部分與一倍頻振動作用的和頻部分；b.激勵電壓的直流部分與二倍頻振動作用；c.激勵電壓的交流部分與三倍頻振動作用的差頻部分。其中，a為有用信號，由于三倍頻振動相對于一倍頻振動很小，因此c相對于a忽略；又由于混合電壓激勵時Vdc相對于Vac1較大，因此有必要考察b相對于a是否可以忽略。

以Vdc＝1V，Vac1＝0.2V的混合電壓激勵為例，求取電流時電壓只取交流部分，得到的輸出電流幅頻特性如圖7所示。圖7中的二倍頻諧波僅包含a（忽略c）。與圖5（b）對比可知，b，c對電流二倍頻諧波的貢獻比約為1.25。這使得輸出電流的二倍頻諧波中同時包含了諧振梁一階振動和二階振動的信息。雖然電流二倍頻諧波幅值最大值處的頻率仍與諧振梁的一階固有頻率對應，但開環測試時將無法從開環特性曲線獲取諧振器的Q值。由于電流二倍頻諧波的相位同時取決于諧振梁一階振動和二階振動的相位，不利于鎖相閉環的實現。交流電壓激勵下電流的三倍頻諧波由激勵電壓與二倍頻振動作用的和頻部分及激勵電壓與四倍頻振動作用的差頻部分兩部分組成，而后者相對于前者可以忽略。綜上所述，基于頻域分離法的單端口靜電激勵／電容檢測方式采用交流電壓激勵更合理。

圖4 交流激勵下諧振器的振動響應（Vac2＝0.1V，ac2＝24.63／2）

圖5 不同混合電壓激勵下諧振器輸出電流的幅頻特性（ac1＝24.63）

圖6 不同交流電壓激勵下諧振器輸出電流的幅頻特性（ac2＝24.63／2）

圖7 無直流調制時混合電壓激勵下諧振器輸出電流的幅頻特性圖（Vdc＝1V，Vac1＝0.2V，ac1＝24.63）

提高交流激勵的電壓幅值到Vac2＝1.3V，輸出電流的幅頻特性如圖8所示。由于非線性影響的增大，振動出現更高階的諧波，電流中的諧波分量也隨之增多，包含1，3，5，7倍頻成分。

提高交流激勵的電壓幅值到Vac2＝1.5V，諧振梁出現觸板（Pull－in）現象［6，10］，無法正常工作。

圖8 交流電壓激勵下諧振器輸出電流的幅頻特性圖（Vac2＝1.3V，ac2＝24.63／2）

5 結 論

1）混合電壓激勵下，直流偏置電壓的存在使得輸出電流的二倍頻諧波中同時包含了諧振梁一階振動和二階振動的信息，不利于Q值的獲取及鎖相閉環的實現。相比之下，交流電壓激勵更適合于基于頻域分離法的單端口靜電激勵／電容檢測方式。

2）諧振器在工作時，應選擇合適的激勵電壓，既要使激勵電壓足夠大以利于信號檢測，又要考慮非線性使輸出電流中出現無用諧波成分而干擾檢測，同時應避免觸板現象和頻率響應曲線多值現象［11－12］的發生。由此引發的激勵電壓的選擇問題是后續的研究問題之一。

3）利用本研究的諧波分析方法，同時可用數值法算出靜電諧振器的諧振頻率、觸板電壓（Pull－in voltage）、靜態電容和動態電容等設計諧振器尺寸時必須考慮的參數，簡化了諧振器幾何參數設計的計算，提高了設計效率。

4）在選定的激勵電壓下，電流諧波成分的分析結果可以指導電路的設計。

5）檢測單端口靜電激勵／電容檢測諧振器的有用輸出電流可以采用鎖定放大。利用鎖定放大器（lock－in amplifier，簡稱 LIA）天然為極窄帶帶通濾波器且中心頻率由參考頻率決定的特點，提取輸出電流中特定的諧波分量。由算例的分析結果可知，在微結構諧振器中，由于結構尺寸小，輸出電流在nA量級，輸入干擾相對于有用信號較強。為避免飽和，信號通道的交流放大應選用較低增益，模擬鑒相時為避免鑒相器的直流漂移必須采用開關鑒相器，此時存在諧波干擾問題。交流電壓激勵下檢測電流的三倍頻諧波時，作為參考信號的方波信號其基頻應為三倍頻，其含有的奇次高次諧波為9，15，21等倍頻諧波，電流中的諧波為1，3，5，7，9，11等倍頻諧波。當電流中九倍頻諧波較大時，在LIA的信號通道中應進行適當的濾波。

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