具非線性源快擴散方程組解的熄滅

劉 令,王國銘,朱立勛

(1.吉林建筑大學 基礎科學部,長春 130118;2.吉林大學 數學學院,長春 130012)

0 引 言

考慮如下快擴散方程組解的熄滅性質:

(1)

其中: 00;Ω是N(N=1,2)中的有界光滑區域;非負非平凡函數u0,v0∈L∞(Ω).問題(1)可用于描述牛頓流體在多孔介質中的擴散、可燃混合物的燃燒或種群密度的變化規律等[1-3].

與解的有限時刻爆破一樣,解的有限時刻熄滅也是發展型方程的一個重要性質.自從Kalashnikov[4]通過比較Cauchy問題:

對于如下形式的非線性擴散方程:

(2)

具有非線性源項的快擴散方程

(3)

解的熄滅性質也得到了廣泛研究,其中00時,李玉祥等[15]借助積分估計和Sobolev嵌入定理證明了: 如果q>m,問題(3)的唯一解對適當小的初值u0在有限時刻熄滅;如果q

陳玉娟等[3]考慮了當N>2時問題(1)解的熄滅性質,先證明了該問題弱解的局部存在性及某些特殊情形時弱解的唯一性,然后借助常微分方程組不變區域理論和積分估計的技巧,對某些特殊情形證明了當初值u0與v0“可比”時,該問題的解在有限時刻熄滅.基于此,本文研究問題(1)當N=1,2時解的性質.通過改進文獻[3]使用的方法,對更廣泛的源函數給出了問題(1)的解在有限時刻熄滅的充分條件.本文使用的方法不僅可以處理低維情形,還可以極大簡化高維情形時類似結論的證明.由于問題(1)的反應項當0

1 弱解的局部存在與唯一性

當m,n>1時,問題(1)是退化的;而當0

定義1如果向量值函數(u,v)∈L∞(QT)×L∞(QT)滿足下列3個條件,由稱其為問題(1)在QT上的一個弱下解(弱上解):

1)u(x,0)≤(≥)u0(x),v(x,0)≤(≥)v0(x),x∈Ω;

2)u(x,t)≤(≥)0,v(x,t)≤(≥)0,(x,t)∈ΓT;

3) 對任意的t∈(0,T)和任意的ξ,η∈F,

如果(u,v)既是弱上解,又是弱下解,則稱(u,v)是問題(1)在QT上的一個弱解.

問題(1)弱解的局部存在性可通過標準正則化方法證明[19],本文僅簡述其過程.考慮如下正則化問題:

(4)

選取T>0充分小,使得對任意的k∈,問題(4)在QT上存在唯一正解(uk,vk),且‖uk‖L∞(QT)+‖vk‖L∞(QT)關于k是一致有界的.事實上,對任意的k∈,常微分方程Cauchy問題:

(5)

的解是問題(4)的一個上解.只需選取T>0為問題(5)解的最大存在區間即可.此外,由一致拋物型方程組解的比較原理可知,如果k

類似地有

(7)

定義有界函數Φk,Fk,Ψk和Gk,使其滿足:

則式(6)和式(7)可改寫為

?Qt(u-uk){ξs+ΦkΔξ}dxds+?Qtξ(v-vk)Gkdxds,

用類似于文獻[19]的方法選取恰當的檢驗函數ξ,η并借助Gronwall不等式可得(u,v)≤(uk,vk),從而有(u,v)≤(U,V).故(U,V)是問題(1)的最大解.

下面建立問題(1)在某些特殊情形下解的唯一性.令λ1>0和φ1(x)分別是如下特征問題的第一特征值和相應的特征函數:

-Δφ(x)=λφ(x),x∈Ω;φ(x)=0,x∈?Ω.

(8)

選取φ1(x)>0,將其單位化,使得‖φ1‖L∞(Ω)=1.

命題1如果下述條件之一成立,則問題(1)的局部解是唯一的:

1)q>m且p>n;

2)q>m,p=n且λ1≥1;

3)p>n,q=m且λ1≥1;

4)q=m,p=n且λ1≥1.

證明: 當條件4)成立時,問題(1)的解是唯一的[3].因此只需證明情形1)～3).令(u,v)是問題(1)的任意解,(uk,vk)是問題(4)的解,選取φ1(x)作為檢驗函數可得

令k→∞,得

?Qt{-λ1(Um-um)+(Vp-vp)}φ1(x)dxds.

(9)

類似地有

?Qt{-λ1(Vn-vn)+(Uq-uq)}φ1(x)dxds.

(10)

先考慮q>m且p>n的情形.由文獻[21]可知,存在M>0和常數00,使得對任意的0≤a≤b≤M,都有

(11)

命題2假設(u,v)和(z,w)分別是問題(1)在QT上的非負弱上、下解,且存在δ>0,使得(u,v)≥(δ,δ),則(u,v)≥(z,w)于QT.

命題2的證明過程類似證明(U,V)是問題(1)的最大解,故略.

2 主要結果

為方便,將‖·‖Lα(Ω)簡記為‖·‖α.

引理1[3]設ai,bi(i=1,2),p,q是正常數,0

其中0<δ1,δ2<1.假設非負函數W1,W2滿足

(12)

如果(W1(0),W2(0))∈Q,則(W1,W2)∈Q.

引理2[3]假設引理1的條件成立,則當(W1(0),W2(0))∈Q時,問題(12)的任意非負解都是單調不增的,且在有限時刻熄滅.

由引理2和常微分方程組的比較原理可得如下推論.

推論1假設非負函數W1,W2滿足

(13)

如果(W1(0),W2(0))∈Q,則問題(13)的任意非負解(W1,W2)在有限時刻熄滅.

定理1假設mn

(14)

證明: 為方便,不妨假設問題(1)的弱解具有很好的光滑性.否則可以對正則化問題的解得到相應的估計,然后通過標準極限過程得到所需的結論.由于pq≤1,易知此時存在常數r,s>1,使得p≤r/s≤1/q.在問題(1)的方程兩端分別乘以us-1,vr-1后在Ω上分部積分,可得

(15)

(16)

(17)

這里γ1>0是嵌入常數.將式(17)代入式(15)可得

(18)

(19)

類似地可得

(20)

其中:r>3-n;γ2>0是嵌入常數.令

則由式(19)和式(20)可得

(21)

對式(21)應用推論1可知,當初值(u0,v0)滿足式(14)時,(W1,W2)在有限時刻熄滅,從而(u,v)也在有限時刻熄滅.證畢.

定理2假設mn<1

(22)

其中: 0<δ1,δ2<1;p1∈(0,p)滿足mn

證明: 由于mn

-Δφ(x)=1,x∈Ω0,φ(x)=0,x∈?Ω0,

(23)

于是,式(15),(16)可分別改寫為

(24)

(25)

這里p1∈(0,p)滿足mn

定理3假設mn=pq且區域Ω適當小,則對適當小的初值(u0,v0),問題(1)至少存在一個在有限時刻熄滅的解.

證明: 通過構造一個在有限時刻熄滅的上解完成證明.為此,令

令(g1(t),g2(t))是下述常微分方程組的非負解:

(26)

本文使用的方法也可處理具非局部源的快擴散方程組解的熄滅性質.

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