一類求解非線性方程最優的8階收斂迭代法

王曉鋒,張 鐵

(1.東北大學 理學院,沈陽 110819;2.渤海大學 數理學院,遼寧 錦州 121013)

0 引 言

非線性方程求根問題是一個經典問題.近年來,對求解非線性方程迭代法的研究又一次成為熱點,涌現出許多具有高計算效率和高收斂階數的迭代法.在這些方法中,牛頓法(NM) 是最具代表性的迭代法[1],其格式如下：

(1)

定義1[2]設p為迭代法收斂的階數,n為每次迭代過程中需計算的函數值總數,則迭代法的效率指數為p1/n.

牛頓法具有最優收斂階數2.在迭代步數相同的條件下,具有最優階的迭代法計算成本較低,因此本文通過權函數方法構造一類新的三步最優的8階收斂迭代法.

1 新的8階收斂迭代法及收斂性分析

構造格式如下：

(2)

其中:

G(sn),L(sn),H(tn)和K(qn)是4個權函數.

定理1設函數f(x),G(x),L(x),H(x)和K(x)足夠光滑,a∈I為函數f(x)在區間I上的單零點.若初始值x0在a附近選取,且權函數G(x),L(x),H(x)和K(x)滿足下列條件：

(3)

則迭代法(2)是8階收斂的.

證明：設第n步迭代誤差為

利用Taylor展式將函數f(x)在零點a處展開,并令x=xn,可得

(4)

(5)

與式(5)類似,利用Taylor展式,將函數f(x)在零點a處展開,并令x=yn,可得

(7)

將權函數G(sn)在零點Taylor展開,可得

(8)

由式(2)～(8),可得

再將函數f(x)在零點a處展開,并令x=zn,可得

(10)

將權函數L(sn),H(tn)和K(qn)在零點Taylor展開,并假設|K?(0)|<+∞,|H″(0)|<+∞,|L?(0)|<+∞,可得

利用式(2)～(13),可得新迭代法所滿足的誤差表達式為

證畢.

定理1給出了新迭代法(2)具有最優收斂階數8時權函數所滿足的條件.由定理1可知,新迭代法的收斂階為8,且該方法在每次迭代過程中需要計算3個函數值和1個一階導數值,因此該方法效率指數為81/4≈1.682.選擇適當的權函數使其滿足定理1的條件,可得到多種迭代格式.這里給出如下兩種迭代格式.

方法Ⅰ:

(15)

方法Ⅱ：

(16)

2 數值結果

下面舉例驗證本文迭代法的收斂性,將得到的最優8階收斂迭代法(M8-(15)和M8-(16))與牛頓迭代法(NM)、 文獻[4]提出的4階收斂方法(K4)、 文獻[7]提出的6階收斂方法(ON1)和文獻[9]提出的7階收斂方法(N1)進行比較,數值結果列于表1和表2.實驗運行環境為Windows XP,Matlab 7.0編程.其中:x0為初始值;a為非線性方程的根;|xk-a|(k=1,2,3)為絕對誤差的絕對值;|f(xn)|為最后一次迭代所得近似解函數值的絕對值;ρ為收斂階數[5].計算公式為

(17)

數值試驗中使用如下3個測試函數：

1)f1(x)=x5+x4+4x2-15,a≈1.347 428 098 968 305 0,x0=1.6;

2)f2(x)=xex2-sin2x+3cosx+5,a≈-1.207 647 827 130 918 9,x0=-1.3;

3)f3(x)=ln(x2+x+2)-x+1,a≈4.152 590 736 757 158 3,x0=4.5.

表1 函數fi(x)(i=1,2,3)的數值結果Table 1 Numerical results for fi(x)(i=1,2,3)

由表1可見,新方法(M8)具有最優收斂階數8,計算精度明顯高于其他方法.由表2可見,迭代法(ON1)雖然收斂階數較高,但其計算精度最低,原因在于其計算成本較高.在相同計算成本條件下(表2中函數值和導數值計算個數之和為12),本文新方法的計算精度和收斂速度明顯好于其他方法.此外,新方法(M8)的效率指數為81/4≈1.682,明顯高于牛頓法(NM)的效率指數21/2≈1.414、 文獻[4]方法(K4)的效率指數41/3≈1.587、 文獻[7]方法(ON1)的效率指數61/6≈1.348和文獻[9]方法(N1)的效率指數71/4≈1.627.數值結果進一步驗證了定理1的正確性.因此,本文的新方法是高效的.

綜上,本文構造了一類用于求解非線性方程單根的最優8階收斂迭代法,證明了新方法的收斂性,并通過數值實驗進行了驗證.結果表明,新方法計算精度高,收斂速度快,適合高精度計算.但新方法對初始值要求較苛刻,當初始值距離方程的根較近時迭代法收斂速度較快,反之,當初始值距離方程的根較遠時迭代法收斂速度較慢,甚至不收斂.

表2 不同迭代法的數值結果比較*Table 2 Comparison of numerical results for various iterative methods

* 所有的迭代法均具有相同的函數計算個數12.

[1] Kung H T,Traub J F.Optimal Order of One-Point and Multipoint Iterations [J].J Appl Comput Math,1974,21(4): 643-651.

[2] Ostrowski A M.Solutions of Equations and Systems of Equations [M].New York: Academic Press,1960.

[3] Ortega J M,Rheinbolt W C.Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables [M].New York: Academic Press,1970.

[4] King R F.A Family of Fourth Order Methods for Nonlinear Equations [J].SIAM J Numer Anal,1973,10(5): 876-879.

[5] Cordero A,Torregrosa J R.Variants of Newton’s Method Using Fifth-Order Quadrature Formulas [J].Appl Math Comput,2007,190(1): 686-698.

[6] WANG Xiao-feng,ZHANG Tie.A Family of Steffensen Type Methods with Seventh-Order Convergence [J].Numer Algor,2013,62(3): 429-444.

[7] WANG Xiao-feng,CHEN Jing.Variants of Newton’s Iteration Method with Sixth-Order Convergence [J].Journal of Henan Normal University: Natural Science,2010,38(4): 26-28.(王曉鋒,陳靜.6階收斂的牛頓迭代修正格式 [J].河南師范大學學報: 自然科學版,2010,38(4): 26-28.)

[8] WANG Xiao-feng.Variants of Newton’s Iteration Method with Third-Order Convergence [J].Mathematics in Practice and Theory,2010,40(3): 216-218.(王曉鋒.修正的三階收斂的牛頓迭代法 [J].數學的實踐與認識,2010,40(3): 216-218.)

[9] LIU Ya-mei,WANG Xia.A New Family of Seventh-Order Methods for Solving Non-linear Equations [J].Mathematics in Practice and Theory,2011,41(14): 239-245.(劉雅妹,王霞.一類新的求解非線性方程的七階方法 [J].數學的實踐與認識,2011,41(14): 239-245.)