(2+1)維MKdV方程的Darboux變換及其孤子解

黃 坤,呂 悅

(1.華北水利水電大學 數學與信息科學學院,鄭州 450011;2.吉林大學 數學學院,長春 130012)

1 (2+1)維MKdV方程

求解孤子方程的孤子解是非線性領域中的主要問題,目前已有許多求解孤子方程孤子解的方法,例如反散射方法、 雙線性(Hirota)方法、 B?cklund變換法、 Darboux變換法和代數幾何法等.這些方法各有特點,也有內在聯系.其中,Darboux變換是一種行之有效的方法,它從平凡解出發得到孤子方程的孤子解.

考慮(2+1)維MKdV方程的譜問題[1-3]:

(1)

其中:u=u(x,y,t)和v=v(x,y,t)是兩個勢;λ是一個譜參數.

解零曲率方程:

(2)

等價于解方程:

(3)

定義Lenard序列gj=(aj+2,2cj+2)T,由式(3)計算可得

假設方程(2)的輔譜問題為

(4)

(utn,vtn)T=Jgn,n≥1,

(5)

這里K,J是Lenard算子對,并滿足Kgj-1=Jgj.當t0=y,t1=t時,由式(5)可解得兩個(1+1)維MkdV方程:

設(u(x,y,t),v(x,y,t))是方程(6)和(7)的解,令w(x,y,t)=v2(x,y,t),則由方程(6)知

w?-1uy=-(vvxx+u2v2+2v4),wx?-1uy=-(2(vvxx)x-2vvxxx+2u2vvx+4v3vx),

代入方程(7)得(u(x,y,t),w(x,y,t)),即為如下(2+1)維MkdV方程的解:

(8)

方程(1)對應的輔譜問題為

φy=V1φ,φt=V2φ,

(9)

其中:

(2+1)維MKdV方程最初用于描述淺水中長波的擴散.近年來,越來越多的物理現象都可用其描述,如一維非線性Lattice波、 非線性電介質中電磁波與橫向光學聲子的相互作用、 在兩個水平面上的瑞本對流、 非線性簡諧振動及等離子體運動學中離子聲波等.

2 Daboux變換

(10)

其中α,ak,bk,ck和dk(0≤k≤n-1)是關于x和t的函數.

由引理1的方法同理可證下列引理.

這里

其中β,ak,bk,ck和dk(0≤k≤n-1)是關于x和t的函數.

這里

其中γ,ak,bk,ck和dk(0≤k≤n-1)是關于x和t的函數.

當n=1時,3種Darboux變換有下列形式:

(14)

選取方程(1)中λ=λi(i=1,2)的兩個基本解φ1=φ1(x,λ1),φ2=φ2(x,λ1),ψ1=ψ1(x,λ2),ψ2=ψ2(x,λ2),則有

γ(λ1+a)φ1+γbφ2=0,γ(λ2+a)ψ1+γbψ2=0,

γ-1cφ1+γ-1(λ1+d)φ2=0,γ-1cψ1+γ-1(λ2+d)ψ2=0,

計算得

(15)

其中Δ=φ1ψ2-φ2ψ1.

證明: 由關系

可得

同理可證方程(11),(12)其余各式成立.

3 3種Darboux變換間的關系

(2+1)維MKdV方程有3種Darboux變換,下面考慮n=1時,3種Darboux變換間的關系.

(16)

(17)

(18)

(19)

由上述關系,易得:

定理2若變量α,β,ai,bi,ci,di(i=1,2)滿足式(16)～(19)的條件,則T2(λ2)·T1(λ1)=T,其中:

γ=αβa2,αβγd1=1,c1+c2=0;

(20)

a=(a1a2+b2c1)/a2,b=(b1a2+b2d1)/a2,c=(a1c2+d2c1)/d1,d=(b1c2+d2d1)/d1.

(21)

證明: 由式(16)～(19)計算可得

同理可證式(21)其余各式成立.

定理3當n=1時,若變量α,β,ai,bi,ci,di(i=1,2)滿足下列條件:

(22)

(23)

(24)

(25)

則可得3種Darboux變換間的關系：

T1(λ1)·T2(λ2)=T,

其中:

γ=αβa2;αβγd1=1;b1+b2=0;

(26)

a=(a1a2+b1c2)/a2;b=(a1b2+b1d2)/a2;c=(c1a2+d1c2)/d1;d=(b2c1+d1d2)/d1.

(27)

綜合定理2和定理3可得T1(λ1)·T2(λ2)=T2(λ2)·T1(λ1).3種Darboux變換間的關系如下：

4 (2+1)維MKdV方程的孤子解

以平凡解u=0,v=-1作為種子解,代入Lax對問題(1)和(9)中,可得兩個基本解為

參考文獻[7-8],將上述兩個基本解代入式(14)可得下列定理.

定理4當n=1,u=0,v=-1時,(2+1)維MKdV方程的孤子解為

(28)

其中:

(29)

當λ1>2,λ<-2時,兩個孤子解u,v相互正碰,其平面圖均沿x軸正向傳播,如圖1所示;當λ2>λ1>2 時,兩個孤子解u,v相互追趕碰撞,其平面圖均沿x軸負向傳播； 當|λ1|<2,|λ2|<2時,兩個孤子解u,v是周期解,如圖2所示.

圖1 (2+1)維MKdV方程相互正碰的孤子解Fig.1 Two-head-on collision soliton solution of (2+1) dimensional MKdV equation

圖2 (2+1)維MKdV方程的周期解Fig.2 Periodic solution of (2+1) dimensional MKdV equation

定理5當n=2,u=0,v=-1時,(2+1)維MKdV方程的孤子解為

u=-(lnd1)x,w=v2=(1+b1)(1+c1).

(30)

在λi>2或λi<-2(i=1,2,3)的范圍內,當λi(i=1,2,3)同為負數時,孤子解u,w為3個孤子相互追趕碰撞,其平面圖均沿x軸正向傳播;當λi(i=1,2,3)同為正數時,孤子解u,w為3個孤子相互追趕碰撞,其平面圖均沿x軸負向傳播;當λi(i=1,2,3)兩正一負或兩負一正時,孤子解u,w是2個孤子追趕碰撞和1個孤子正碰,如圖3所示.

圖3 (2+1)維MKdV方程的3個孤子解Fig.3 Three-solitons solution of (2+1) dimensional MKdV equation

當n選取不同值時,利用3種Darboux變換T1,T2和T,可以得到(2+1)維MKdV方程更多不同的孤子解.

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