廣義P-平坦性和廣義P-內射性的一些刻畫

王修建,杜先能

(1.皖西學院 應用數學學院,安徽 六安 237012;2.安徽大學 數學科學學院,合肥 230600)

1 GP-內射環、 GPP-環和GPF-環

定義1[1]如果R作為左R-模是GP-內射的,則稱環R為左GP-內射環.

定理1對于環R,下述結論等價：1)R是左GP-內射環;2) 對任意的a∈R,存在正整數n,使得anR=rRlR(an);3) 對任意的a,b∈R,如果lR(an)?lR(bn),則bnR?anR;4) 對任意的a,b∈R,存在一正整數n,使得rR(Rbn∩lR(an))=rR(bn)+anR.

證明: 1)?2)顯然.

2)?3).如果lR(an)?lR(bn),則bn?rRlR(an),故由2)知bn∈anR,因此bnR?anR.

3)?4).對于任意的a,b∈R,rR(Rbn∩lR(an))?rR(bn)+anR顯然.反之,如果x∈rR(Rbn∩lR(an)),則Rbn∩lR(an)?lR(x);如果y∈lR(bnan),則ybnan=0,因此ybn∈lR(an),即ybn∈Rbn∩lR(an)?lR(x),從而y∈lR(bnx)(即證lR(bnan)?lR(bnx)).由3)知存在r∈R,使得bnx=bnanr,因此x-anr∈rR(bn),即證x∈rR(bn)+anR.又由x的任意性知,rR(Rbn∩lR(an))?rR(bn)+anR.

4)?2).令b=1即可證結論.

定義2[1]如果對于任意的a∈R,存在一個正整數n(依賴于a),使得Ran是投射的,則稱環R為左GPP-環;如果對于任意的a∈R,存在一個正整數n(依賴于a),使得Ran是平坦的,則稱環R為左GPF-環.顯然,左GPF環是左GPP-環和左PF-環的推廣.

定理2對于環R,下述結論等價：1)R為左GPP環； 2) 任意GP-內射左R-模的商模是GP-內射的； 3) 任意P-內射左R-模的商模是GP-內射的； 4) 任意內射左R-模的商模是GP-內射的； 5) 對于任意的左R-模M,都有E(M)/M是GP-內射的,其中E(M)為M的內射包.

證明: 1)?2).設M是任意GP-內射左R-模且N為M的一個子模,下證M/N是GP-內射的.事實上,設a∈R,則由1)知存在正整數n,使得Ran是投射的.令i:Ran→R是嵌入映射,π:M→M/N是典范映射,則對任意映射f:Ran→M/N,都有映射g:Ran→M,使得πg=f.既然M是GP-內射的,因此存在h:R→M,使得hi=g,所以(πh)i=f,即M/N是GP-內射的.

2)?3),3)?4)和4)?5)顯然.4)?1)參見文獻[1]中定理3.2.

5)?4).對任意的左R-模M,設L→M→0是正合列,其中L是內射的,則存在一個正合列0→M′→L→M→0,因為L是內射左R-模,所以0→E(M′)→L是正合的,從而可得L=E(M′)⊕L′,其中L′是內射左R-模.于是可得

M?L/M′?(E(M′)⊕L′)/M′?E(M′)/M′⊕L′.

由5)知E(M′)/M′是GP-內射的,而L′是內射的,從而為P-內射的,故由文獻[1]中命題2.3知M是GP-內射的,即任意內射左R-模的商模都是GP-內射的.

定理3設R是環,下述結論等價：1)R是左GPF-環； 2) P-平坦右R-模的任一子模都是GP-平坦的； 3) 投射右R-模的任一子模都是GP-平坦的.

證明：1)?2)由文獻[1]中定理3.1即得.2)?3)顯然.

下面記GPI表示所有GP-內射左R-模組成的類.

定義3設K為GP-內射左R-模,若對任意GP-內射左R-模K′和任意同態ψ:K′→M,總存在同態f:K′→K,使得φf=ψ,則稱同態φ:K→M為M的GPI-預覆蓋.如果K的滿足φf=φ的自同態f是同構,則稱φ:K→M為M的GPI-覆蓋.

定理4設R為環,且滿足GP-內射模的直和仍為GP-內射模,則下述結論等價：1)R為左GPP環； 2) 任一左R-模M有一個單的GPI-覆蓋φ:K→M； 3) 任一GP-內射左R-模M的商模有一個單的GPI-覆蓋.

證明：1)?2).假設M是任意的左R-模,記

K=∑{N≤M|N∈GPI},L= ⊕{N≤M|N∈GPI},

則存在0→H→L→K→0是正合的,因為L仍為GP-內射的,因此由定理2知K也為GP-內射的,下證嵌入映射l:K→M是M的一個GPI-覆蓋.設K′是GP-內射左R-模,ψ:K′→M是任意的左R-模同態,則易知ψ(K′)≤K.定義φ:K′→K,φ(x)=ψ(x),x∈K′,則有lφ=ψ,因而l:K→M是M的一個GPI-預覆蓋.進一步,易證使得l=fl成立的同態f:K→K是K的恒等映射IK且是唯一的,因此2)成立.

2)?3)顯然.

3)?1).設M是任意的GP-內射左R-模且N是M的一個子模,下證M/N是GP-內射的.事實上,存在內射模E,使得0→N→E→L→0是正合的,且記E→L的同態映射為g.由3)知L有一個單的GPI-覆蓋φ:F→L,則有同態h:E→F,使得g=φh,因此φ是滿的,從而φ是同構的,進而L是GP-內射的.對任意的a∈R,有

2 GP-內射維數和GP-平坦維數

定義4設R為環,左R-模M的GP-內射維數記為GP-id(M),定義為

?a∈R},

其中m為非負整數.若m不存在,則記為GP-id(M)=∞.環R的左GP-內射整體維數記為l.GP-iD(R)=sup{GP-id(M)|M為任意左R-模}.

注11) 任給左R-模M是GP-內射的當且僅當GP-id(M)=0;2) 環R為π-正則環當且僅當l.GP-iD(R)=0.

定義5設R為環,右R-模M的GP-平坦維數記為GP-fd(M),定義為

?a∈R},

其中m為非負整數.若m不存在,則記為GP-fd(M)=∞.環R的右GP-弱維數記為r.GP-fD(R)=sup{GP-fd(M)|M為任意右R-模}.

注21) 任給右R-模M是GP-平坦的當且僅當GP-fd(M)=0;2) 環R為π-正則環當且僅當r.GP-fD(R)=0;3) 一般地,r.GP-fD(R)≤l.GP-iD(R).事實上,假設l.GP-iD(R)=m<∞,設M∈Mod-R,則對任意的a∈R,存在一正整數k≤m,使得

定義6左R-模M的一個GP-內射分解為如下形式的正合列: 0→M→M0→M1→…,其中Mi均為GP-內射左R-模.

類似可定義右R-模M的一個GP-平坦分解.

定理5設R是環,M為一右R-模,則GP-fd(M)=GP-id(M+).

定理6設R是左P-凝聚環,M為一左R-模,則GP-id(M)=GP-fd(M+).

假設GP-fd(M+)=m<∞,則對任意的a∈R,存在n∈+,使得

定理7設R是左P-凝聚環,則r.GP-fD(R)=l.GP-iD(R).

證明：先設r.GP-fD(R)=m≤∞,則對任意的左R-模M,由定理6知GP-id(M)=GP-fd(M+)≤m,因此l.GP-iD(R)≤r.GP-fD(R).反之,設l.GP-iD(R)=n≤∞,則對任意的右R-模N,由定理5知GP-fd(N)=GP-id(N+)≤n,因此r.GP-fD(R)≤l.GP-iD(R).

定理8設0→L→M→N→0是右R-模短正合列,則下述結論成立:

1) 如果r.GP-fd(M)

2) 如果r.GP-fd(M)>r.GP-fd(N),則r.GP-fd(L)=r.GP-fd(M).

證明：對于任意的a∈R,由長正合列引理得

對于左R-模的GP-內射維數可得類似結論.

定理9設0→L→M→N→0是左R-模短正合列,則下述結論成立:

1) 如果l.GP-id(M)

2) 如果l.GP-id(M)>l.GP-id(N),則l.GP-id(L)=l.GP-id(M).

定理10對于任意的左R-模M及a∈R,l.GP-id(M)≤m當且僅當存在M的一個GP-內射分解0→M→M0→M1→…→Mm→0.

證明：對于任意的左R-模M及a∈R,設l.GP-id(M)≤m.取M的一個GP-內射分解:

記該分解的第m-1個上合沖為Lm-1=Imfm-1,考慮短正合列0→Imfi→Mi→Imfi+1→0,對于任意的a∈R,則序列

0→M→M0→M1→…→Mm-1→Lm→0.

類似于定理10可證:

定理11對于任意的右R-模N及a∈R,r.GP-fd(N)≤m當且僅當存在N的一個GP-平坦分解0→Nm→…→N1→N0→N→0.

證明：1)?2).由r.GP-fd(N)≤m可知,N有一個GP-平坦分解:

0→Nm→…→N1→N0→N→0.

3)?1).設…→Nm→…→N1→N0→N→0是N的一個GP-平坦分解,令Km-1是它的第m-1個合沖,則0→Km-1→Nm-1→…→N1→N0→N→0正合,由3)知Km-1也是GP-平坦模,所以r.GP-fd(N)≤m.

對于GP-內射維數,有類似結論.

推論3設R是環,下述結論等價：1) 每個GP-平坦右R-模是平坦的； 2) 對任意的右R-模M,GP-fd(M)=fd(M).

證明：1)?2).設M是任意的右R-模,由每個平坦模右R-模都是GP-平坦模易知GP-fd(M)≤fd(M),下證fd(M)≤GP-fd(M).當GP-fd(M)=∞時,該不等式顯然成立.現設GP-fd(M)=m,則由定理11知M有一個長度為m的GP-平坦分解,由于每個GP-平坦右R-模都是平坦的,故fd(M)≤n=GP-fd(M),因此GP-fd(M)=fd(M).

2)?1)顯然.

推論4設R是環且每個GP-平坦右R-模是平坦模,則r.wd(R)=r.GP-fd(R),其中r.wd(R)表示環R的右弱維數.

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