一類非合作橢圓方程組非平凡解的存在性

韋玉程,劉廣剛

(1. 河池學院 數學系,廣西 宜州 546300;2. 吉林大學 數學學院,長春 130012)

0 引 言

許多實際問題中,偏微分方程(PDE)的解通常與其對應的能量泛函臨界點緊密相關,但在證明能量泛函臨界點的存在性時,需驗證(PS)序列的有界性. 為克服這一困難,Struwe[1]引入了單調性技巧,證明了能量泛函在某種單調性下,可導出(PS)序列的有界性[2]. 之后,該方法被用于極小化問題[3]以及環繞問題[4]中. Jeanjean[5]將單調技巧推廣到更抽象的形式中,目前已被應用于其他數學物理方程中[6-10]. 本文基于弱環繞定理[8-9],考慮一類非合作的耦合非線性橢圓方程組,使用單調性技巧證明了該方程組存在非平凡解.

考慮方程

(1)

其中:Ω?RN(N≥3)為光滑有界域;F(x,u,v)∈C1(Ω×R2,R). 為方便,記z=(u,v). 假設條件如下：

(H0) (關于x∈Ω一致成立;

(H2) |F(x,z)|=o(|z|),當|z|→0時,關于x∈Ω一致成立;

本文的主要結果如下：

定理1假設條件(H0)～(H6)成立,則方程(1)有非平凡解.

例1設F(x,u,v)=(|u|+|v|)p,其中p>2. 顯然F(x,u,v)滿足假設條件(H0)～(H6).

例2設

其中:g(x)>0且為周期函數;參數p滿足(H1)及0<ε

不難驗證F(x,u,v)也滿足條件(H0)～(H6).

1 預備知識

用‖·‖Lq表示Lq(Ω,R)空間的范數. 記

H={u:Ω→R|u絕對連續,且u|?Ω=0,|u|∈L2(Ω,R)}.

?z∈E.

由文獻[11]中命題1.1知,存在常數a0>0,使得

?z∈E.

(2)

定義泛函

(3)

則由經典結果知式(3)的臨界點即為方程(1)的弱解. 由假設條件知I∈C1(Ω×R2;R). 記Lz=(-Δu,Δv)T,則線性算子L具有如下特征值:

…≤-λm≤…≤-λ2≤-λ1<λ1≤λ2…≤λm…,

且λm→ ∞(m→ ∞). 記E0=KerL,E-與E+分別表示L的負特征子空間與正特征子空間， 則E=E0⊕E+⊕E-. 顯然0?σ(L). 對任意的z∈E,z=z++z-(z±∈E±)， 則有

(4)

設(E,‖·‖)是一個Hilbert空間,正交分解為E=N ⊕N⊥,其中N ?E為閉的可分子空間. 對于任意的n∈N,存在一個范數‖·‖ω,使得其誘導的拓撲與N上的弱拓撲在有界子集上等價,且‖n‖ω≤‖n‖. 在E中引入范數‖z‖w=‖n‖ω+‖n⊥‖(z=n+n⊥).

對于E=E+⊕E-,z0∈E+且‖z0‖=1,取N =E-⊕Rz0,記

對于E上形如Iλ(z)=J(z)-λK (z)的泛函,可得如下弱環繞定理.

引理1(弱環繞定理) 若對任意的λ∈[1,2],Iλ∈C1,且滿足如下假設條件:

1) ?z∈E,K(z)≥0,I1=I;

2) 當‖z‖→∞時,J(z) → ∞或K(z) → ∞;

則對幾乎所有的λ∈[1,2],存在E中的序列{zj},使得

(zj) → 0; Iλ(zj) →cλ,

證明參見文獻[8-9].

為了對方程(1)使用引理1,考慮將泛函(4)寫成如下形式:

(5)

引理2假設(H0)～(H6)成立,則:

1) 存在不依賴于λ的常數ρ>0,使得κ∶=inf Iλ(Dρ)>0,其中Dρ∶={z∈E+|‖z‖=ρ};

2) 取定z0∈E+,‖z0‖=1,對任意的λ∈[1,2],存在常數R>ρ>0,使得sup Iλ(?Q)≤0. 其中Q∶={z=v-+sz0|s≥0,v-∈E-,‖z‖

證明: 1) 由(H1)及(H2)知,?ε>0,?Cε使得

F(x,z)≤ε|z|+Cε,

(6)

再由(H4)得

(7)

任取z∈E+,有

‖z‖p.

(8)

注意到

這與式(8)矛盾.

引理3假設(H0)～(H6)成立,則對幾乎所有的λ∈[1,2],存在E上的序列{zj},使得

引理4假設(H0)～(H6)成立,則對幾乎所有的λ∈[1,2],存在zλ∈E,使得:

3) Iλ(w-zλ)≤Iλ(zλ),?w∈Σ∶={szλ+v-|s≥1,v-∈E-},w≠0.

(9)

從而

這與IΩ(zj)>κ矛盾,故式(9)成立.

由(H4)及Fatou引理,得

即1)和2)成立. 下證3).

(10)

重寫Iλ(z)為

(11)

由1)知

取w=szλ+v-∈Σ,運用式(10)～(12),直接計算得

引理5假設(H0)～(H6)成立,則存在λj→1(j→∞)及序列{zj}?E,使得:

1) sup ‖zj‖<∞;

矛盾.

引理6引理5所得的序列{zλj}是泛函I的一個(PS)序列,且滿足:

證明: 對

用引理5可得結果.

2 定理1的證明

同理

于是

K∶={z∈E|I ′(z)=0};c∶=inf{I (z)|z∈K{0}}.

對任意的z∈K,z≠0,由(H4)知

從而c≥0. 設zj∈K{0},使得I (zj)→c. 由引理5知{zj}有界,又由上述斷言知(有必要可取子列),zj?z∈K{0};再由(H4)及Fatou引理得

即存在z∈K{0},I (z)=c>0.

衷心感謝吉林大學數學學院史少云教授的悉心指導.

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