一類漸近線性波方程的非平凡時間周期解

常小軍,路京京

(1. 吉林大學 數學學院,長春 130012;2. 吉林大學 金融學院,長春 130012)

0 引 言

考慮如下非線性波方程:

(1)

其中f∈C([0,π]×R2,R)且f關于t是2π-周期的.

記‖·‖r為空間Lr(Q)(r∈[1,∞))中范數,(·,·)r為相應的內積. 定義Banach空間

其上的范數為

顯然,E具有分解E=E-⊕E0⊕E+. 定義E上的對偶

其中

定義作用泛函Φ:E→ R,

(2)

由(2)可得Φ∈C1(E,R). 顯然,Φ是強不定的泛函,并且Φ的臨界點對應于式(1)的弱解,即

(3)

令X={u∈E:u(t,x)=u(π+t,π-x)},則X是E的閉子空間且X∩Ker□={0}. 顯然,X緊嵌入到Lr(R)(?r≥1),且X在□及f的作用下是不變的. 因此Φ|X的臨界點即為Φ的臨界點. 不妨記Φ|X為Φ,X+=X∩E+,X-=X∩E-,則有X=X-⊕X+. 在X上定義范數‖u‖X?‖u‖E. 顯然,X是Banach空間,將其記為 ‖·‖. 重排□的特征值: …≤λ-,3≤λ-,2≤λ-,1<0<λ+,1≤λ+,2≤λ+,3≤…,相應的特征函數分別記為ψ-,i,ψ+,k,i,k∈Z+.

1 主要結果

定理1假設下面條件滿足,則問題(1)存在非平凡弱解:

1) 存在a1,a2>0,使得對于一致的(t,x)∈Q,有|f(t,x,s)|≤a1|s|+a2,?s∈R;

5)f(t,x,s)=f(π+t,π-x,s),?(t,x,s)∈Q×R.

注1由于波算子□的核空間是無窮維的,通常要求f(t,x,s)關于s是單調函數. Coron[11]通過引入取不變子空間的技巧在不要求f單調的情形下研究了問題(1). 本文結合Coron的技巧研究問題(1),因此不要求f滿足單調性條件. 此外,這里不要求比率f(t,x,s)/s在s充分大時有極限,并且不要求f在無窮遠處滿足共振或非共振條件,從而f(t,x,s)/s在s充分大時可能跨越波算子□的多個特征值.

注2Costa等[12]在如下非二次條件下,結合定理1中的條件2),3)研究了問題(1)非平凡弱解的存在性:

關于 a.e. (t,x)∈Q一致成立,

且有

關于 a.e. (t,x)∈Q一致成立,

或

關于a.e. (t,x)∈Q一致成立.

顯然定理1的條件4)弱于非二次條件.

下面應用強不定泛函的臨界點理論證明定理1. 類似于文獻[12]中定理2.10的證明,只需證明泛函Φ有鞍點結構并且滿足(C)c條件. 證明分兩個步驟: 泛函Φ有鞍點結構和泛函Φ滿足緊性條件.

引理1在定理1的假設下,泛函Φ有鞍點結構.

證明: 由條件1)～3)知,存在ρ1,ρ2∈R,使得μ1<ρ1<λ+,m<ρ2<μ2,并且存在p>2和Cp>0,使得

?(t,x,u)∈Q×R.

對任意的j∈Z+,記Ej=X-⊕span{φ+,1,…,φ+,j}. 對任意的u∈(Em-1)⊥,

Φ(u)≥δm, ?u∈(Em-1)⊥, ‖u‖=rm.

易見,存在充分大的Rm>0,使得當u∈Em且滿足‖u‖≥Rm時,有Φ(u)≤0. 證畢.

引理2在定理1的假設下,對任意的c∈R,泛函Φ滿足(C)c條件.

證明: 令{un}?X滿足

Φ(un)→c, (1+‖un‖)Φ′(un)→0.

(4)

矛盾. 因此,w0≠0. 從而|un(t,x)| → +∞,?(t,x)∈Q*,其中Q*∶={(t,x)∈Q:w0(t,x)≠0}. 結合假設條件1)和4),存在M>0,使得

矛盾. 因此{un}在X中有界. 進而利用X緊嵌入到Lr(Q)(r≥1)可知,存在u0∈X,使得在X中un→u0. 證畢.

下面證明定理1. 由引理1知,存在泛函Φ的(C)c序列{un}使得c>0. 利用引理2,序列{un}在X中是一致有界的,且有u0∈X,使得在X中un→u0. 再利用標準的討論[12],可得Φ(u0)=c,并且有

?φ∈X.

從而u0是問題(1)的非平凡弱解.

[1] Anane A,Chakrone O,Zerouali A. Nonresonance Conditions for a Nonlinear Hyperbolic Problem [J]. Adv Dyn Syst Appl,2007,2(1): 31-40.

[2] GUO Yu-xia,LIU Jia-quan. Periodic Solutions for an Asymptotically Linear Wave Equation with Resonance [J]. Nonlinear Analysis: Theory,Methods &Applications,2007,67(9): 2727-2743.

[3] Gir?o P,Tehrani H. On the Fucik Spectrum of the Wave Operator and an Asymptotically Linear Problem [J]. J Math Anal Appl,2010,366(1): 55-66.

[4] JI Shu-guan,LI Yong. Time Periodic Solutions to the One-Dimensional Nonlinear Wave Equation [J]. Arch Ration Mech Anal,2011,199(2): 435-451.

[5] Rudakov I A. Periodic Solutions of a Quasilinear Wave Equation with Homogeneous Boundary Conditions [J]. J Math Sci,2008,150(6): 2588-2597.

[6] Tanaka M. Application of Local Linking to Asymptotically Linear Wave Equations with Resonance Ⅱ [J]. SUT J Math,2004,40(2): 157-179.

[7] Tanaka M. Existence of Multiple Weak Solutions for Asymptotically Linear Wave Equations [J]. Nonlinear Analysis: Theory,Methods &Applications,2006,65(2): 475-499.

[8] CHANG Xiao-jun,LI Yong. Existence and Multiplicity of Nontrivial Solutions for Semilinear Elliptic Dirichlet Problems across Resonance [J]. Topol Methods Nonlinear Anal,2010,36(2): 285-310.

[9] LIU Zhao-li,SU Jia-bao,WANG Zhi-qiang. A Twist Condition and Periodic Solutions of Hamiltonian Systems [J]. Advin Math,2008,218(6): 1895-1913.

[10] LIU Zhao-li,SU Jia-bao,WANG Zhi-qiang. Solutions of Elliptic Problems with Nonlinearities of Linear Growth [J]. Calc Var Partial Differ Equat,2009,35(4): 463-480.

[11] Coron J M. Periodic Solutions of a Nonlinear Wave Equation without Assumption of Monotonicity [J]. Math Ann,1983,262(2): 273-285.

[12] Costa D G,Magalh?es C A. A Unified Approach to a Class of Strongly Indefinite Functionals [J]. J Differential Equations,1996,125(2): 521-547.