具有2n個(gè)解的絕對值方程問題

雍龍泉,劉三陽,拓守恒,熊文濤,史加榮

(1. 西安電子科技大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)系,西安 710071;2. 陜西理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西 漢中 723001;3. 湖北工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北 孝感 432000;4. 西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院,西安 710055)

0 引言與預(yù)備知識

考慮問題:

Ax-|x|=b,

(1)

其中:A∈Rn×n;x,b∈Rn;|x|表示對x的各分量取絕對值. 問題(1)稱為絕對值方程(absolute value equations,AVE),它是文獻(xiàn)[1]提出的絕對值矩陣方程Ax+B|x|=b的重要子類.

關(guān)于AVE的研究主要源于兩方面：一是區(qū)間線性方程[1-2];二是線性互補(bǔ)問題. 目前對于AVE的研究主要集中于理論[3-12]和算法[13-35]兩方面,前者主要研究解的存在性和唯一性;后者主要建立有效的算法并分析算法的收斂性. 本文給出了AVE問題解存在的條件,構(gòu)造了一些具有2n個(gè)解的AVE問題,并指出了求解多解絕對值方程應(yīng)注意的問題.

考慮Ax-|x|=b,若令A(yù)=I,b=0,則任意的x≥0都是AVE問題的解,此時(shí)AVE問題具有無窮多個(gè)解.

定理1[3]對AVE問題,若存在r∈Rn滿足r≥ATr≥-r,bTr>0,則AVE無解.

定理2[3]若0≠b≥0,且‖A‖<1,則AVE無解.

定理3[3]如果A的特征值不為1,并且A的奇異值大于或等于1,則當(dāng)集合

{x|(A+I)x-b≥0,(A-I)x-b≥0}≠?

時(shí),AVE問題的解存在.

定理4[3]若矩陣A的奇異值大于1,則對任意的b∈Rn,AVE存在唯一解.

推論1[3]對任意的b,如果‖A-1‖<1,則AVE存在唯一解.

定理5[3]如果A≥0,‖A‖<1,b≤0,則AVE存在非負(fù)解.

如果區(qū)間矩陣[A-I,A+I]正則,則對于任意的b∈Rn,AVE有唯一解[9-10]. 該條件弱于矩陣A的奇異值大于1. 事實(shí)上,該條件恰好是文獻(xiàn)[7]的特例.

1 2n個(gè)解存在的條件

證明: 分兩步.

1) 證明在滿足上述條件下,方程Ax-x=b有唯一的正解x*.

構(gòu)造迭代過程xk+1=Axk-b,由于‖A‖∞<γ/2≤0.5<1,從而對于任意給定的初始點(diǎn)x0,迭代產(chǎn)生的序列{xk}都收斂,假設(shè)收斂點(diǎn)為x*,則x*唯一.

不妨取x0=-b,由于xk+1=Axk-b,則

從而

于是

‖xk+1-xk‖∞<(γ/2)k+1‖b‖∞,k=0,1,2,…

又由于

結(jié)合x0=-b,則有

2) 證明滿足條件的AVE問題有2n個(gè)解.

先證明矩陣(AD-I)是可逆的. 反之,則齊次線性方程組(AD-I)x=0存在非零解a≠0,使得(AD-I)a=0,從而‖AD‖∞‖a‖∞≥‖ADa‖∞=‖a‖∞,因此‖A‖∞=‖AD‖∞≥1,這與‖A‖∞<γ/2≤0.5<1矛盾. 用|D|表示對矩陣D的每個(gè)元素取絕對值,則有|D|=I,令x=Dy,則有|x|=|Dy|=|y|.

考慮方程ADy-y=b,由于‖AD‖∞=‖A‖∞<1,則利用上述結(jié)果知ADy-y=b有唯一的正解y*,且y*=(AD-I)-1b. 而ADy-y=b有唯一的正解y*?ADy-|y|=b有唯一的正解y*?Ax-|x|=b有唯一的(帶D模式的)解x*=Dy*.

由于D=diag(d1,d2,…,dn),di=±1,i=1,2,…,n,因此D的模式共有2n個(gè),從而方程Ax-|x|=b共有2n個(gè)解,且2n個(gè)解可由式x*=D(AD-I)-1b分別計(jì)算.

由上述證明易見,該2n個(gè)解互不相同.

2 2n個(gè)解的算例分析

例1考慮AVE問題:

(2)

經(jīng)簡單計(jì)算可得:

例2考慮AVE問題:

(3)

經(jīng)簡單計(jì)算可得:

例3考慮AVE問題:

(4)

下面考慮例3中2n個(gè)解的分布.

定理7記例3的解為x*(共有2n個(gè)互不相同的解),則x*滿足

證明: 由于Ax*-|x*|=b,b=(-1,-1,…,-1)T,則有

‖(|x*|-1)‖∞=‖Ax*‖∞≤‖A‖∞‖x*‖∞=0.4‖x*‖∞.

(5)

不妨設(shè)

從而式(5)可簡化為

(6)

因此

即

3 求解多解AVE問題的注意事項(xiàng)

1) AVE問題是一個(gè)不可微問題,不能直接使用傳統(tǒng)的梯度類算法(最速下降算法、 各類擬牛頓算法和光滑牛頓法等),即使如文獻(xiàn)[16,23]中進(jìn)行光滑處理后再使用梯度類(或擬牛頓)算法,在給定初始點(diǎn)后,也只能收斂到原問題的一個(gè)最優(yōu)解[24-25]；如何求得上述問題的所有2n個(gè)互不相同的解,傳統(tǒng)算法則無法實(shí)現(xiàn).

2) 而群體智能算法(如粒子群算法[26]、 差分進(jìn)化算法[27]和聲搜索算法[28]等)是一類隨機(jī)搜索算法,對目標(biāo)函數(shù)的可微性沒有要求,且算法是多點(diǎn)開始的,因此經(jīng)過多次執(zhí)行算法就有可能找到AVE問題盡可能多的解.

3) 算法初始可行域的選取一定要包含AVE問題的所有解(防止漏解),只有這樣,通過多次執(zhí)行算法,才有可能找到AVE問題盡可能多的解.

如例3中,由于

?[-2,2],i=1,2,…,n,

因此可以選取初始可行域?yàn)閇-2,2],既能防止漏解,又明確了搜索范圍；避免了為求得所有解而選取搜索空間過大,即減少了搜索的盲目性.

4) 2n個(gè)解的分布僅與向量b和矩陣A的無窮范數(shù)有關(guān),與矩陣A的元素?zé)o關(guān).

如例3中,向量b不變,三對角矩陣A的元素變更為

此時(shí),這2n個(gè)解的分布仍不變,即對任意一個(gè)解,定理7仍成立.

5) 對高維的且有多個(gè)解的AVE問題,為了防止計(jì)算過程溢出,建議采用稀疏存儲方法. 考慮例3,在MatlabR2009a系統(tǒng)中,若不采用稀疏存儲,則當(dāng)維數(shù)n=1×104時(shí)溢出；若采用稀疏存儲,即使維數(shù)n=1×107也不會發(fā)生溢出現(xiàn)象. 例3中矩陣A的稀疏存儲可用如下語句在Matlab系統(tǒng)中生成：

A1=sparse(1∶n,1∶n,0.2,n,n);

A2=sparse(1∶n-1,2∶n,0.1,n,n);

A3=sparse(2∶n,1∶n-1,0.1,n,n);

A=A1+A2+A3.

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