擬行(列)對稱矩陣的極分解及其擾動界

袁 暉 坪

(重慶工商大學 電子商務及供應鏈系統重慶市重點實驗室,數學與統計學院,重慶 400067)

1 擬行(列)對稱矩陣的概念與性質

定義1設A∈Cm×n,Q1,Q2,…,Qk-1均為m階置換矩陣,則

其中Ai=QiA,i=1,2,…,k-1)

稱為A的k次擬行對稱矩陣,A稱為其母矩陣. 特別地,當Q1=Q2=…=Qk-1=Q時,簡記R(A;Q1,…,Qk-1)=Rk(A;Q).

定義2設A∈Cm×n,Q1,Q2,…,Qk-1均為n階置換矩陣,則C(A;Q1,…,Qk-1)=(A,A2,…,Ak-1)(其中Ai=AQi,i=1,2,…,k-1)稱為A的k次擬列對稱矩陣,A稱為其母矩陣. 特別地,當Q1=Q2=…=Qk-1=Q時,簡記C(A;Q1,…,Qk-1)=Ck(A;Q).

顯然,當Q1=Q2=…=Qk-1=I(單位矩陣)時,R(A;Q1,…,Qk-1)=Rk(A;I)即為文獻[13]中“A的第一類k次行延拓”；C(A;Q1,…,Qk-1)=Ck(A;I)即為文獻[13]中“A的第一類k次列延拓”. 當Q1=Q2=…=Qk-1=J(單位反對角矩陣)時,R(A;Q1,…,Qk-1)=Rk(A;J)即為文獻[14]中“A的k次行周期對稱矩陣”；C(A;Q1,…,Qk-1)=Ck(A;J)即為文獻[14]中“A的k次列周期對稱矩陣”.

由上述定義易得下列性質：

1) rankR(A;Q1,…,Qk-1)=rankC(A;Q1,…,Qk-1)=rankA;

3) 設X∈Cm×m,Y∈Cn×n,則

R(AY;Q1,…,Qk-1)=R(A;Q1,…,Qk-1)Y,C(XA;Q1,…,Qk-1)=XR(A;Q1,…,Qk-1).

2 擬行(列)對稱矩陣的極分解與廣義逆

引理1設Q1,Q2,…,Qk-1均為n階置換矩陣,U為n階酉矩陣,則

均為kn階酉矩陣.

證明：因為UUH=UHU=I,QQH=QHQ=I,所以容易驗證：P1(U)(P1(U))H=Ikn. 同理可證(P1(U))HP1(U)=Ikn,故P1(U)為kn階酉矩陣. 同理可證P2(U)為kn階酉矩陣.

引理2[15]設A∈Cm×n,則對任何酉矩陣U∈Cm×m,V∈Cn×n,有UAV的Moore-Penrose逆：

(UAV)+=VHA+UH.

證明：1) 由引理1知,P1(U)為酉矩陣. 因為

(P1(U))HR(A;Q1,…,Qk-1)=

又由引理1知,P2(U)為酉矩陣. 因為

2) 由1)、 引理2及文獻[15]知,

又由1)、 引理2及文獻[15]知,

定理2設Q1,Q2,…,Qk-1均為n階置換矩陣,正規矩陣A∈Cn×n的極分解為A=HU=UH,其中U為酉陣,H為半正定Hermite陣,則存在酉陣P1(U),P2(U)∈Ckn×kn,使得:

證明：1) 與定理1中1)的證明類似,故略.

2) 由1)、 引理2及文獻[15]知,

又由1)、 引理2及文獻[15]知,

3 擬行(列)對稱矩陣極分解的擾動分析

引理31) 設A∈Cm×n,Bij∈Cn×s,i,j=1,2,…,k,則

2) 設Q1,Q2,…,Qk-1均為n階置換矩陣,則

證明：由矩陣Frobenius范數的定義可證.

證明：由定理2、 引理3及引理4知,

證明：與定理3的證明類似,故略.

擬對稱矩陣R(A;Q1,…,Qk-1)的極分解也有類似定理3和定理4的擾動界.

綜上可見,本文討論了擬行(列)對稱矩陣的極分解、 廣義逆與擾動界,給出了擬行(列)對稱矩陣與母矩陣兩者的極分解、 廣義逆與擾動界之間的定量關系. 結果表明,用母矩陣代替擬行(列)對稱陣計算極分解、 廣義逆與擾動界,既能極大減少計算量和儲存量,又不會喪失數值精度.

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