一類具有擾動項的非牛頓流方程解的爆破性

王 長 佳

(長春理工大學(xué) 理學(xué)院,長春 130022)

0 引言與主要結(jié)果

考慮如下具有擾動項的非牛頓流方程組的初邊值問題:

其中:γ0,γ1,α>0,q>1,σ>2均為常數(shù);Ω∈RN(N≥2)為一邊界充分光滑的有界開集;QT=Ω×(0,T],Γ=?Ω,ΓT=Γ×(0,T];未知函數(shù)u=(u1,u2,…,uN)表示流體的速度;P表示壓力.

問題(1)為具有擾動項的非牛頓流模型. 文獻(xiàn)[1]在一定條件下首次證明了非牛頓流方程組(即α=0時)第一邊值問題全局弱解的存在性. 此后,關(guān)于非牛頓流方程的存在性理論得到不斷完善和發(fā)展[2-5]. 文獻(xiàn)[6]在q>2時討論了非牛頓流方程弱解L2-范數(shù)的衰減速率問題， 并在1

W(QT)=L2(0,T;H)∩Lq(0,T;Vq)∩Lσ(QT).

用W′(QT)表示W(wǎng)(QT)的對偶空間.

定義1若對任意的φ∈W(QT)∩L∞(0,T;H),φt∈W′(QT)恒有下式成立,則函數(shù)u∈W(QT)∩L∞(0,T;H),ut∈W′(QT)稱為問題(1)的弱解:

本文定義

(3)

定理1假設(shè)σ>2,q<σ,E(0)≤0,如果問題(1)存在定義1意義下的弱解,則其必在有限時刻爆破.

1 定理1的證明

根據(jù)定義1,顯然u可以作為積分等式(2)中的檢驗函數(shù),取φ=u,并注意到

?u:udxdt=0,

可得如下第一型能量積分等式:

(4)

下面推導(dǎo)關(guān)于u的第二型能量估計. 將式(1)1兩邊乘以ut并在Ω上積分,再利用分部積分并注意到

得

利用

并注意到E(t)的定義,得

(5)

在(0,t)上積分式(5),可得如下第二型能量積分等式:

(6)

由G(t)的定義,有

綜合式(4),(8),得

將式(8)乘以λ,并將結(jié)果與式(6)相加再利用E(t)的定義得

由于E(0)≤0,從而有

下面針對q的不同取值范圍進(jìn)行討論.

若u為一個非穩(wěn)態(tài)解,則存在ε>0和時刻t′>0,使得對所有的t≥t′,都有

成立. 定義t*=sup{t>0;‖u(·,t)‖∞<∞,對所有的t

假設(shè)解不發(fā)生爆破(即t*=∞),則利用H?lder’s不等式,可得

將其代入式(11)得

ν(G′(t))2≤G″(t)G(t),

進(jìn)而可得

對所有的t>t0.

(12)

對式(12)在(t0,t)上積分得

由于

與t*=∞的假設(shè)矛盾.

(13)

又由

及式(13),可得

(14)

假設(shè)解不發(fā)生爆破,即t*=∞. 類似q>2的情形,對非穩(wěn)態(tài)解u存在t0>0,使得當(dāng)t≥t0時G(t),G′(t),G″(t)恒為正,進(jìn)而可得當(dāng)t→∞時,有G′(t)→∞.

對式(14)在(t0,t)上積分得

由于

與t*=∞的假設(shè)矛盾.

綜合上述兩種情形,即得到定理1.

[1] Ladyzhenskaya O A. The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow [M]. 2nd ed. New York: Gordon and Breach,1969.

[4] Wolf J. Existence of Weak Solutions to the Equations of Non-stationary Motion of Non-Newtonian Fluids with Shear Rate Dependent Viscosity [J]. J Math Fluid Mech,2007,9(1): 104-138.

[5] Diening L,Ruzicka M,Wolf J. Existence of Weak Solutions for Unsteady Motions of Generalized Newtonian Fluids [J]. Ann Scuola Norm Sup Pisa Cl Sci,2010,Ⅸ(5): 1-46.

[6] Bae H-O. Existence,Regularity,and Decay Rate of Solutions of Non-Newtonian Flow [J]. J Math Anal Appl,1999,231(2): 467-491.

[7] Oliveira H B,De. Existence of Weak Solutions for the Generalized Navier-Stokes Equations with Damping [J/OL]. Nonlinear Differential Equations and Applications,2012:doi: 10.1007/s00030-012-0180-3.

[8] Oliveira H B,De. On the Influence of an Absorption Term in Incompressible Fluid Flows [C]//Advances in Mathematical Fluid Mechanics. Berlin: Springer-Verlag,2010: 409-424.

[9] Antontsev S N,Shmarev S I. Anisotropic Parabolic Equations with Variable Nonlinearity [J]. Publ Mat,2009,53(2): 355-399.