一類橢圓方程組Neumann問題正解的唯一性

魏曉丹,周文書,張 友

(1. 大連民族學院 計算機科學與工程學院,遼寧 大連 116600;2. 大連民族學院 理學院,遼寧 大連 116600;3. 大連理工大學 數學學院,遼寧 大連 116024)

考慮如下橢圓方程組Neumann問題正解的唯一性:

(1)

問題(1)與如下穩態捕食-食餌系統有緊密聯系：

(2)

(3)

定理1設N≥2. 如果μ>2λ,則問題(1)存在唯一正解.

(4)

因此,只需證明當μ>2λ時,(1,1)是問題(4)的唯一正解.

(5)

(6)

由于式(6)的證明蘊含在式(5)的證明過程中,因此僅證明式(5). 為此,做變換φ=v/u,則v=φu,對該等式兩邊微分兩次得

Δv=uΔφ+2φu+φΔu,

(7)

從而有

(8)

將式(4)代入式(8)得

(9)

其中α=λ/μ. 由于0<α<1/2,因此

根據引理1中結論2)有

于是

(10)

利用引理1中結論1)得

由此及式(9)可得

又由引理1中結論1)得

于是

(11)

故

假設當n=k(k≥2)時,式(5)成立,即

利用左邊不等式并注意到式(9)得

由引理1中結論2)得

于是

(12)

由引理1中結論1)得

?x∈Ω.

由式(9)得

又由引理1中結論1)得

于是

(13)

再由引理1中結論2)得

因此,式(5)得證.

注意到式(5)和(6)分別等價于如下不等式:

(14)

(15)

注1設(uβ,vβ)是問題(2)的一個正解,應用定理1及文獻[5]中注3.1和注3.2容易證明：如果μ>2λ,則當β→+∞時,有

?(1,1)于[H1(Ω)]2,

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