實(shí)結(jié)合代數(shù)的雙環(huán)與Clifford代數(shù)的結(jié)構(gòu)

張桂穎,李武明,張慶成

(1. 通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 通化 134002;2. 東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,長(zhǎng)春 130024)

Clifford代數(shù)在數(shù)學(xué)與物理學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-8]. 本文由實(shí)結(jié)合代數(shù)的雙環(huán)討論p+q維Minkowski空間[3-4]Rp,q生成的Clifford代數(shù)Clp,q的性質(zhì). 結(jié)果表明: 非可除的Clp,q均存在雙環(huán)為其子代數(shù);中心子代數(shù)非可除的Clp,q均為雙環(huán).

1 預(yù)備知識(shí)

有限維可結(jié)合的實(shí)可除代數(shù)均為Clp,q的子代數(shù). 事實(shí)上,有限維可除的實(shí)可除結(jié)合代數(shù)只有R?Cl0,0,C?Cl0,1,H?Cl0,2. 除上述情形外,Clifford代數(shù)Clp,q均是非可除代數(shù).

Clifford代數(shù)[3-4]Clp,q的生成空間Rp,q存在一組基:e1,…,ep,ep+1,…,ep+q,對(duì)Clifford積及Minkowski內(nèi)積[5-7]滿足如下關(guān)系式:

由(p,q)型Minkowski空間 Rp,q生成的Clifford代數(shù)Clp,q的一組基為:

1;e1,e2,…,ep+q;e1e2,e1e3,…,e1ep+q,e2e3,…,e2ep+q,…,ep+q-1ep+q;…;e1e2…ep+q.

Clp,q的中心子代數(shù)[10]Cen(Clp,q)只可能是R?Cl0,0,C?Cl0,1,H?Cl1,0. 且有

(3)

其中H={a+bj|a,b∈R,j?R,j2=1}是 R上二維可交換的實(shí)結(jié)合代數(shù),稱為雙曲復(fù)數(shù),j稱為H的雙曲虛單位.

2 Clp,q有雙環(huán)為其子代數(shù)的條件

定義1設(shè)A為域F上的代數(shù),利用A的加法運(yùn)算與乘法運(yùn)算,在A2={(a1,a2)|a1,a2∈A}上定義加法運(yùn)算與乘法運(yùn)算為(a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,a2+b2)和(a1,a2)(b1,b2)=(a1b1,a2b2). 則A2構(gòu)成環(huán),稱其為A的雙環(huán),記為2A.

若將A2視為F-線性空間,則2A還是F上的代數(shù). 本文討論的雙環(huán)均為有限維實(shí)可除代數(shù)的雙環(huán).

例1實(shí)數(shù)域上雙環(huán)2R={(a,b)|a,b∈R},其單位元為(1,1),2R的零因子集為

Z(2R)={a(1,0)}∪{b(0,1)}.

例2實(shí)2階矩陣雙環(huán)2R(2)={(A,B)|A,B∈R(2)},且有

(A,B)∈Z(2R(2)) ?A∈Z(R(2))或B∈Z(R(2)).

例3四元數(shù)雙環(huán)2H={(α,β)|α,β∈H},其零因子集可表示為Z(2H)={α(1,0)}∪{β(0,1)}.

定理1設(shè)Clp,q是由p+q維Minkowski空間 Rp,q生成的Clifford代數(shù),則Clp,q有子代數(shù)同構(gòu)于雙環(huán)2R的充要條件是Clp,q是非可除的.

證明: 若Clp,q有子代數(shù)與雙環(huán)2R同構(gòu),即與雙曲數(shù)H同構(gòu),則Clp,q有雙曲虛單位,即Clp,q有非平凡自逆元. 若Clp,q有非平凡的自逆元u,u2=1,即u為Clp,q的一個(gè)雙曲虛單位,則Clp,q有子代數(shù){a+bu|a,b∈R}?H?2R. 因此Clp,q有子代數(shù)與雙環(huán)2R同構(gòu)等價(jià)于Clp,q有非平凡自逆元.

設(shè)u是Clp,q的一個(gè)非平凡自逆元,令v=(1+u)/2,則

即v是Clp,q的非平凡冪等元. 設(shè)v是Clp,q的非平凡冪等元,則存在非零元1-v,使得v(1-v)=0,即Clp,q有非平凡零因子.

由Clp,q是非可除的,Clp,q有非平凡零因子,可知p>0或q>2. 當(dāng)p>0時(shí),Clp,q有非平凡自逆元e1,命題成立. 當(dāng)p=0時(shí),必有q>2,Clp,q有三次單位向量e123為其非平凡自逆元. 證畢.

由定理1的證明過程,可得:

推論1Clp,q有子代數(shù)同構(gòu)于雙環(huán)2R等價(jià)于Clp,q有非平凡的冪等元,且等價(jià)于Clp,q有非平凡的自逆元.

利用Clp,q中心子代數(shù)Cen(Clp,q)的表達(dá)式(3)及定理1的結(jié)論,可得:

定理2設(shè)Cen(Clp,q)是Clp,q的中心子代數(shù),則Cen(Clp,q)有雙環(huán)結(jié)構(gòu)的充要條件是Cen(Clp,q)非可除.

推論2Cen(Clp,q)有雙環(huán)結(jié)構(gòu)等價(jià)于Cen(Clp,q)有非平凡的冪等元,且等價(jià)于Cen(Clp,q)有非平凡的自逆元.

證明: 若Cen(Clp,q)有雙環(huán)結(jié)構(gòu),則必有p+q>0. 當(dāng)q>0時(shí),由定理2知

Cen(Clp,q)={a+be12…(p+q)|a,b∈R}.

任取a∈Clp,q,a可表示為

其中b,c∈Clp,q-1(?Clp,q). 故命題成立. 類似可證,q=0時(shí)命題也成立.

定理4若Clp,q的中心子代數(shù)Cen(Clp,q)有雙環(huán)結(jié)構(gòu),則Clp,q有雙環(huán)結(jié)構(gòu). 且

證明: 若Clp,q的中心子代數(shù)Cen(Clp,q)有雙環(huán)結(jié)構(gòu),則有

Cen(Clp,q)={a+be12…(p+q)|a,b∈R}?H?2R.

當(dāng)q>0時(shí),任取a∈Clp,q-1,b∈Cen(Clp,q),有: 1)ab=ba;2)Clp,q=Clp,q-1Cen(Clp,q);3) dimClp,q=2p+q=2p+q-1·2=dimClp,q-1dim Cen(Clp,q). 從而有Clp,q?Clp,q-1?Cen(Clp,q)?Clp,q-1?2R?2Clp,q-1. 同理可證,當(dāng)q=0時(shí),有Clp,q?2Clp-1,0,故命題成立.

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