熱波方程的格子Boltzmann模型

史秀波,閆廣武

(1. 桂林理工大學 理學院,廣西 桂林 541004；2. 吉林大學 數學學院,長春 130012)

格子Boltzmann方法(LBM)作為一種新的數值方法在計算流體力學、 非線性偏微分方程等領域受到廣泛關注[1-2]. 閆廣武等[3-4]將該方法應用于波傳播問題,為研究其他波動問題提供了可選擇的途徑. 波動方程中的波速通常是一個常數值,通過引入動量變量ρuj(x,t)將波動方程轉換為小擾動Euler方程進行求解[5-6]. 本文用格子Boltzmann方法對熱波動方程進行模擬. 在該方程中,波速不再是一個常量,而是一個變量,其表達式為

(1)

其中Cs(x)表示波速,是關于x或y的函數.u(x,t)的下一個時間步表達式為

(2)

本文提出熱波的格子Boltzmann模型,通過使用Chapman-Enskog展開和多尺度技術,得到了系列格子Boltzmann偏微分方程、 平衡態分布函數的高階矩及二階精度宏觀熱波方程. 數值實驗將模型結果與變分迭代法獲得的解析解及經典中心差分格式獲得的結果進行比較,結果表明,該方法所得結果與經典方法所得結果相符.

1 格子Boltzmann模型

選擇一維3-bit網格和二維5-bit網格,分布函數fα(x,t)定義為在某節點x上、t時刻、 具有速度eα(α=0,1,…,b)的粒子出現的概率,其中α=0表示靜止粒子. 在一維空間中,b=2,粒子速度為eα={0,c,-c};二維空間中,b=4,粒子速度為

(3)

其中c表示速率. 定義宏觀量:

(4)

(5)

格子Boltzmann方程表示為

fα(x+eα,t+1)-fα(x,t)=Ωα+ωα,

(6)

選取Knudsen數ε作為數值模擬的時間步長和Chapman-Enskog展開的小參數[7],在該尺度上,方程(6)可寫為

fα(x+εeα,t+ε)-fα(x,t)=Ωα+ωα,

(7)

在方程(7)中,假設

ωα(x,t)=ε2φα(x,t).

(8)

運用Chapman-Enskog展開和多尺度技術,并對方程(7)進行Taylor展開,保留余項到O(ε3)的精度,可得不同時間尺度上的系列格子Boltzmann方程[8]:

結合方程(5),(9),并假設

(12)

可得時間尺度t0上的守恒方程

(13)

式(9)+式(10)×ε并對α求和,同時假設

(14)

得到宏觀熱波方程為

(15)

結合方程(5),(12),(14)易得平衡態分布函數為

其中D表示空間維數(一維空間中D=1；二維空間中D=2).

2 數值模擬

為了驗證模型效果,分別對一維和二維熱波問題進行數值模擬. 一維熱波問題使用3-bit模型,二維熱波問題使用5-bit模型.

例1一維熱波方程

Dirichlet邊界條件：

u(0,t)=0,u(1,t)=1+sinht;

(18)b

初始條件：

u(x,0)=x,ut(x,0)=x2.

(18)c

變分迭代法獲得的精確解[9]為

u=x+x2sinht.

(18)d

選取參數：格子尺寸m=100,Δx=0.01,c=5.0,τ=1.2,t=1. 圖1(A)為t=1時LBM數值解和精確解的比較結果；圖1(B)為兩種結果的相對誤差Er=|(u-u*)/u*|,其中:u表示LBM數值解;u*表示精確解. 由圖1(B)可見,相對誤差在(1×10-3,9×10-3)內,數值解和精確解吻合較好.

圖1 一維熱波方程LBM數值解和精確解的比較(A)及相對誤差曲線(B)Fig.1 Comparison of LBM solution and the exact solution of one-dimensional thermal wave equation (A) and the curves of their relative error (B)

例2二維熱波方程

(19)a

Neumann邊界條件：

ux(0,y,t)=0,ux(1,y,t)=2sinht,

uy(x,0,t)=0,uy(x,1,t)=2cosht;

(19)b

初始條件：

u(x,y,0)=y2,ut(x,y,0)=0.

(19)c

選取參數：格子尺寸m×n=100×100,Δx=0.01,Δy=Δx,c=5,τ=1.01,ε=Δt=Δx/c,t=1. 圖2(A)為t=1時LBM的模擬結果；圖2(B)為t=1時經典中心差分格式的數值解,將其作為精確解；圖2(C)為兩種結果在x=0.4處的相對誤差曲線. 由圖2(C)可見,誤差區域在(0.00,0.05)內,數值解與精確解吻合較好.

圖2 二維熱波方程LBM模擬結果(A)、 精確解(B)和兩種結果的相對誤差曲線(C)Fig.2 LBM result (A),the exact solution (B) and the curves of their relative error (C) for of two-dimensional thermal wave equation

綜上,本文提出了一個用于熱波方程的格子Boltzmann模型,可得如下結論：

1) 不同時間尺度的系列偏微分方程對構建熱波格子Boltzmann模型非常重要,通過使用高階矩得到了平衡態分布函數的表達式；

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