復合凸優化問題的穩定強對偶

趙 丹,孫祥凱

(1. 重慶工商大學融智學院,重慶 400033；2. 重慶工商大學 數學與統計學院,重慶 400067)

復合凸優化問題(即目標函數是凸函數的復合)應用廣泛. 許多最優化問題,如極大極小優化問題、 凸優化問題及目標函數是凸函數和線性算子復合的約束優化問題等都可以作為復合凸優化問題的特例；許多實際應用的最優化問題模型,如位置問題、 交通運輸問題和經濟學問題等都涉及到復合凸函數[1-5]. 對于復合凸優化問題對偶問題的研究,目前主要借助共軛函數上圖的性質引入各種約束品性并用其刻畫對偶理論[6-8]. 但上述問題都要求相關函數具有連續性或下半連續性及相關集合具有閉性的假設,且許多實際問題中,常會遇到相關函數不具有連續性或相關集合不具有閉性假設的情形. 目前利用該方法研究無約束優化問題以及無限約束優化問題的對偶問題報道較少[9-10]. 基于此,本文在所考慮函數不一定下半連續或集合不一定閉的情形下,通過引入復合凸優化問題的對偶問題,借助約束品性刻畫了其穩定強對偶及強對偶.

對于乘積空間X*×R,本文賦予w(X*,X)和通常的歐氏拓撲的乘積拓撲.

定義1[2]設M?X,Z?X,若M∩Z=clM∩Z,則稱集合M相對于子空間Z是閉的.

所謂穩定強對偶,是指對給定優化問題的目標函數做一個線性擾動后而得到的新問題的強對偶. 對于問題(P),它的最優值記為val(P).

由文獻[6]中命題3.1可得下述弱對偶.

定理1(穩定弱對偶) 問題(Pp)和(Dp)之間的弱對偶成立,即 val(Pp)≥val(Dp).

定理2(弱對偶) 問題(P)和(D)之間的弱對偶成立,即val(P)≥val(D).

假設(clg)°h為真函數,clg為真的K-遞增函數. 因為函數h可能取值+∞,所以定義g(+∞)=+∞.

定義3若下述包含關系成立：

則稱點對(g,h)滿足約束品性(NCQ).

注1易證式(1)的反包含關系成立,所以式(1)可由下式代替:

所以(p,0,r)∈{(p,0,r): (p,r)∈epi(g°h)*}∩(X*×{0}×R). 故式(2)成立. 證畢.

定理3(穩定強對偶) 點對(g,h)滿足約束品性(NCQ)當且僅當對于任意的p∈X*,val(Pp)=val(Dp),并且(Dp)至少存在一個最優解.

證明：充分性. 若val(Pp)=-∞,則結論顯然成立. 設val(Pp)∈R,則(p,(g°h)*(p))=epi(g°h)*. 因為點對(g,h)滿足約束品性(NCQ),所以

因此點對(g,h)滿足約束品性(NCQ). 證畢.

由定理3易得下述強對偶結論:

定理4(強對偶) 若點對(g,h)滿足約束品性(NCQ),則val(P)=val(D),并且(D)至少存在一個最優解.

注2當函數f,g為下半連續、h為K-上圖閉時,文獻[6]的定理5.1借助約束品性(CQ)刻畫了問題(P)和(D)之間的強對偶. 而當函數f,g不是下半連續、h不是K-上圖閉時,本文借助約束品性(NCQ)刻畫了問題(P)和(D)之間的強對偶. 顯然本文結果推廣并改進了已有的結果.

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