單電子量子同心環(huán)的基態(tài)特性

林洽武,劉益民

(1. 廣東第二師范學院 物理系,廣州 510303;2. 韶關學院 物理系,廣東 韶關 512005;3. 中國科學院 武漢物理與數(shù)學研究所,武漢 430071)

由于量子環(huán)具有Aharonov-Bohm (AB)效應和持續(xù)電流等純量子效應,已引起人們廣泛關注. Takaaki等[1]使用外延生長技術制備了高質(zhì)量的量子環(huán)耦合體系;Kuroda和Lee等[2-3]分別制備了耦合量子環(huán)納米結(jié)構(gòu);Szafran等[4-5]研究了包含1～3個電子平面同心量子環(huán)-量子環(huán)耦合體系(簡稱同心環(huán)環(huán)系)的磁場效應以及垂直量子環(huán)-量子環(huán)耦合體系(簡稱垂直環(huán)環(huán)系)的電子關聯(lián);Malet等[6]研究了同心環(huán)環(huán)系在磁場中的光響應;Climente等[7]用直接對角化方法研究了同心環(huán)環(huán)系的AB效應;文獻[8-10]研究了同心環(huán)環(huán)系的電子有效質(zhì)量、 基態(tài)和垂直環(huán)環(huán)系的光控制;文獻[11-13]利用局域自旋密度泛函理論研究了同心環(huán)環(huán)系的電子結(jié)構(gòu)、 磁光特性及垂直環(huán)環(huán)系的遠紅外光吸收譜;文獻[14]分析了垂直環(huán)環(huán)系的量子隧道效應;Chen等[15]探討了磁場中環(huán)環(huán)系的持續(xù)電流、 電導和態(tài)密度;劉益民等[16-17]研究了磁場中包含少量電子的單個量子環(huán)基態(tài)相圖、 電子結(jié)構(gòu)及AB 效應的對稱性限制. 本文利用數(shù)學物理方法獲得了人工控制單電子量子同心環(huán)基態(tài)的能級變化規(guī)律及電子幾率分布,并對結(jié)果進行了分析.

1 理 論

在二維量子同心環(huán)勢場內(nèi)考慮單個電子,環(huán)的半徑為R1

(1)

單電子量子同心環(huán)的波函數(shù)ψ(r,φ)滿足Schr?dinger方程

(2)

式中m*和E分別表示電子的有效質(zhì)量和能量. 令ψ(r,φ)=R(r)φ(φ),則由式(2)得

(3)

(4)

由式(3)得

(5)

其中L=0,±1,±2,…為電子的角動量.

由式(1)和(4)可得R(r): 當0≤r

R(r)=A1JL(x1)+B1NL(x1),

1) 若E>V0,則

R(r)=[A2JL(x2)+B2NL(x2)],

2) 若E=V0,則

3) 若E

R(r)=A2IL(x2)+B2KL(x2),

當R3≤r

R(r)=A3JL(x3)+B3NL(x3),

其中:JL和NL分別為L階Bessel函數(shù)和Neumann函數(shù);IL和KL分別為L階修正Bessel函數(shù)和Macdonale函數(shù).

在r=R1,R2,R3,R4的勢能分界線上,可得6個邊界方程,從而求得單電子量子同心環(huán)的本征能E和本征波函數(shù)ψ(r,φ)=R(r)φ(φ).

2 結(jié)果與分析

對于GaAs量子同心環(huán),式(2)的參數(shù)m*=0.067me(me為電子的質(zhì)量). 不失一般性,在計算中任取V0=5 meV,R1=10 nm,R2=20 nm,R3=30 nm,R4=40 nm,簡記(V0,R1,R2,R3,R4)=(5,10,20,30,40)(下同). 當單電子量子同心環(huán)的角動量L=0,1,2,3時,其能級如圖1所示. 由圖1可見,L=0時的最低2個能級比L=1,2,3時相應的最低2個能級低. 這是由于能量E隨L的增加而增加所致. 比較各能級,其最小值為基態(tài)能量,相應的L為基態(tài)角動量. 故當(V0,R1,R2,R3,R4)=(5,10,20,30,40)時,單電子量子同心環(huán)的基態(tài)能量E0=8.64 meV,基態(tài)角動量L=0.

當(R1,R2,R3,R4)=(10,20,30,40)時,單電子量子同心環(huán)的基態(tài)能量E0隨勢壘V0的變化如圖2所示. 由圖2可見,E0隨V0的增加而增加. 這是由于E隨V的增加而增加所致. 在沒有勢壘(V0=0)時,電子的基態(tài)能量最小;存在勢壘時,基態(tài)能量變大.

圖1 L=0,1,2,3時單電子量子同心環(huán) 的最低2個能級Fig.1 The two lowest energies of single electron concentric quantum ring with L=0,1,2,3

圖2 E0隨V0的變化關系Fig.2 Evolution of E0 with variation of V0

在R1,R2,R3,R4中3個量固定,1個量變化的條件下,計算單電子量子同心環(huán)的基態(tài)能量E0,如圖3 所示.

圖3 基態(tài)能量E0隨R1,R2,R3和R4的變化關系Fig.3 Evolution of ground-state energy E0 as a function of R1,R2,R3 or R4

由圖3(A)可見,當(V0,R2,R3,R4)=(5,20,30,40)時,E0隨R1的增加而增加. 由于R1增加導致量子同心環(huán)的徑向?qū)挾葴p小,從而電子徑向位置的不確定度減少,動量的不確定度增大,因此E0增加. 同理可解釋圖3(D)中基態(tài)能量E0隨R4的增加而減小.R4越大,量子同心環(huán)的徑向?qū)挾仍酱?從而E0變小. 由圖3(A)和(D)可見: 當R1=1 nm時,E0=4.753 meV;當R4=55 nm時,E0=3.961 meV,均小于勢壘V0=5 meV. 由圖3(B)和(C)可見: 量子同心環(huán)的徑向?qū)挾炔蛔?為R4-R1=30 nm;當R2增加時,勢壘V0的寬度變小,E0減小;當R3增加時,勢壘V0的寬度變大,E0增加. 勢壘V0的寬度變小(或變大),引起電子的自由運動空間變大(或變小),由不確定關系可知,E0減小(或增加). 因此,勢壘V0的高度和寬度均影響基態(tài)能量E0.

若單電子量子同心環(huán)的本征波函數(shù)ψ(r,φ)=R(r)φ(φ),則電子的幾率為

圖4 當V0=2.0,5.0,8.0 meV時基態(tài) 幾率ρ隨r的變化關系Fig.4 Evolution of ground-state ρ as a function of r for V0=2.0,5.0,8.0 meV

當(R1,R2,R3,R4)=(10,20,30,40),V0分別為2.0,5.0,8.0 meV時,單電子量子同心環(huán)基態(tài)幾率ρ隨r的變化關系如圖4所示. 由圖4可見: 在勢壘V0區(qū)間(20～30 nm),電子的基態(tài)幾率ρ較大,在勢壘V0兩側(cè)的電子基態(tài)幾率ρ較小;隨著V0增加,勢壘區(qū)間的電子基態(tài)幾率ρ變小,兩側(cè)的電子基態(tài)幾率ρ變大;3個電子基態(tài)幾率ρ的最大值均約在r=24.8 nm處.

當(V0,R2,R3,R4)=(5,20,30,40),R1=1,11,19 nm 時,電子基態(tài)幾率ρ隨r的變化關系如圖5所示. 由圖5可見,隨著R1增加,基態(tài)幾率ρ的最大值沿r增大的方向移動,即ρ的最大值分別位于r=15.8,25.8,30.4 nm處. 當R1=1 nm時,基態(tài)E0=4.753 meV小于勢壘V0=5 meV. 在這種情形下,由圖5可知,電子在勢壘區(qū)間(20～30 nm)的基態(tài)幾率ρ不為零. 當R4增加時,基態(tài)幾率ρ的特征與R1增加時的情況類似:ρ的最大值沿r增大的方向移動;ρ在E0小于勢壘V0的區(qū)間不為零.

當R2減少或R3增加時,勢壘V0的寬度均變大. 因此,只計算R3不同時基態(tài)幾率ρ隨r的變化關系,如圖6所示. 由圖6可見: 當(V0,R1,R2,R4)=(5,10,20,40),R3由31 nm增至35 nm時,基態(tài)幾率ρ的最大值沿r減少的方向移動;當R3由35 nm增至39 nm時,ρ與r的函數(shù)曲線基本不變. 表明在R3～R4間勢阱較窄的條件下,勢壘V0的寬度對電子幾率分布影響較小.

圖5 當R1=1,11,19 nm時基態(tài) 幾率ρ隨r的變化關系Fig.5 Evolution of ground-state ρ as a function of r for R1=1,11,19 nm

圖6 當R3=31,35,39 nm時基態(tài) 幾率ρ隨r的變化關系Fig.6 Evolution of ground-state ρ as a function of r for R1=31,35,39 nm

綜上所述,本文獲得了單電子量子同心環(huán)的低態(tài)能級和基態(tài)能量隨V0,R1,R2,R3,R4的變化關系,并計算了基態(tài)幾率,由此可得電子分布信息. 由于勢壘和環(huán)半徑的影響較大,因此可作為控制量子同心環(huán)性質(zhì)的工具.

[1] Takaaki Mano,Takashi Kuroda,Stefano Sanguinetti,et al. Self-assembly of Concentric Quantum Double Rings [J]. Nano Letters,2005,5(3): 425-428.

[2] Kuroda T,Mano T,Ochiai T,et al. Excitonic Transitions in Semiconductor Concentric Quantum Double Rings [J]. Physica E,2006,32(1/2): 46-48.

[3] Lee J H,Wang Z M,Abuwaar Z Y,et al. Evolution between Self-assembled Single and Double Ring-Like Nanostructures [J]. Nanotechnology,2006,17(15): 3973-3976.

[4] Szafran B,Peeters F M. Few-Electron Eigenstates of Concentric Double Quantum Rings [J]. Physical Review B,2005,72(15): 155316.

[5] Szafran B,Bednarek S,Dudziak M. Electron Correlations in Charge Coupled Vertically Stacked Quantum Rings [J]. Physical Review B,2007,75(23): 235323.

[6] Malet F,Pi M,Barranco M,et al. Optical Response of Two-Dimensional Few-Electron Concentric Double Quantum Rings: A Local-Spin-Density-Functional Theory Study [J]. Physical Review B,2006,74(19): 193309.

[7] Climente J I,Planelles J,Barranco M,et al. Electronic Structure of Few-Electron Concentric Double Quantum Rings [J]. Physical Review B,2006,73(23): 235327.

[8] Planelles J,Climente J I. Semiconductor Concentric Double Rings in a Magnetic Field [J]. Euro J Phys B,2005,48(1): 65-70.

[9] Climente J I,Planelles J. Far-Infrared Absorption of Vertically Coupled Self-assembled Quantum Rings [J]. Physical Review B,2005,72(15): 155322.

[10] Castelano L K,Hai G Q,Partoens B,et al. Artificial Molecular Quantum Rings: Spin Density Functional Theory Calculations [J]. Physical Review B,2006,74(4): 045313.

[11] Orellana P A,Pacheco M. Persistent Current Magnification in a Double Quantum-Ring System [J]. Physical Review B,2005,71(23): 235330.

[12] Filikhin I,Deyneka E,Vlahovic B. Electron Effective Mass of GaAs Double-Concentric Quantum Rings [J]. Nanotech,2007,1: 212-215.

[13] José María Escartín,Manuel Barranco,Martí Pi. Ground State and Infrared Response of Triple Concentric Quantum Ring Structures [J]. Physical Review B,2010,82(19): 195427.

[14] Dias da Silva L G G V,Villas-Bas J M,Ulloa S E. Tunneling and Optical Control in Quantum Ring Molecules [J]. Physical Review B,2007,76(15): 155306.

[15] CHEN Guang-yin,CHEN Yueh-nan,CHUU Der-san. The Aharonov-Bohm Effect in Concentric Quantum Double Rings [J]. Solid State Communications,2007,143(11/12): 515-518.

[16] Liu Y M,Bao C G,Shi T Y. Few-Electron Quantum Rings in a Magnetic Field: Ground-State Properties [J]. Physical Review B,2006,73(11): 113313.

[17] Liu Y M,Huang G M,Shi T Y. Five- and Six-Electron Quantum Rings in a Magnetic Field [J]. Physical Review B,2008,77(11): 115311.