單電子量子同心環的基態特性

林洽武,劉益民

(1. 廣東第二師范學院 物理系,廣州 510303;2. 韶關學院 物理系,廣東 韶關 512005;3. 中國科學院 武漢物理與數學研究所,武漢 430071)

由于量子環具有Aharonov-Bohm (AB)效應和持續電流等純量子效應,已引起人們廣泛關注. Takaaki等[1]使用外延生長技術制備了高質量的量子環耦合體系;Kuroda和Lee等[2-3]分別制備了耦合量子環納米結構;Szafran等[4-5]研究了包含1～3個電子平面同心量子環-量子環耦合體系(簡稱同心環環系)的磁場效應以及垂直量子環-量子環耦合體系(簡稱垂直環環系)的電子關聯;Malet等[6]研究了同心環環系在磁場中的光響應;Climente等[7]用直接對角化方法研究了同心環環系的AB效應;文獻[8-10]研究了同心環環系的電子有效質量、 基態和垂直環環系的光控制;文獻[11-13]利用局域自旋密度泛函理論研究了同心環環系的電子結構、 磁光特性及垂直環環系的遠紅外光吸收譜;文獻[14]分析了垂直環環系的量子隧道效應;Chen等[15]探討了磁場中環環系的持續電流、 電導和態密度;劉益民等[16-17]研究了磁場中包含少量電子的單個量子環基態相圖、 電子結構及AB 效應的對稱性限制. 本文利用數學物理方法獲得了人工控制單電子量子同心環基態的能級變化規律及電子幾率分布,并對結果進行了分析.

1 理 論

在二維量子同心環勢場內考慮單個電子,環的半徑為R1

(1)

單電子量子同心環的波函數ψ(r,φ)滿足Schr?dinger方程

(2)

式中m*和E分別表示電子的有效質量和能量. 令ψ(r,φ)=R(r)φ(φ),則由式(2)得

(3)

(4)

由式(3)得

(5)

其中L=0,±1,±2,…為電子的角動量.

由式(1)和(4)可得R(r): 當0≤r

R(r)=A1JL(x1)+B1NL(x1),

1) 若E>V0,則

R(r)=[A2JL(x2)+B2NL(x2)],

2) 若E=V0,則

3) 若E

R(r)=A2IL(x2)+B2KL(x2),

當R3≤r

R(r)=A3JL(x3)+B3NL(x3),

其中:JL和NL分別為L階Bessel函數和Neumann函數;IL和KL分別為L階修正Bessel函數和Macdonale函數.

在r=R1,R2,R3,R4的勢能分界線上,可得6個邊界方程,從而求得單電子量子同心環的本征能E和本征波函數ψ(r,φ)=R(r)φ(φ).

2 結果與分析

對于GaAs量子同心環,式(2)的參數m*=0.067me(me為電子的質量). 不失一般性,在計算中任取V0=5 meV,R1=10 nm,R2=20 nm,R3=30 nm,R4=40 nm,簡記(V0,R1,R2,R3,R4)=(5,10,20,30,40)(下同). 當單電子量子同心環的角動量L=0,1,2,3時,其能級如圖1所示. 由圖1可見,L=0時的最低2個能級比L=1,2,3時相應的最低2個能級低. 這是由于能量E隨L的增加而增加所致. 比較各能級,其最小值為基態能量,相應的L為基態角動量. 故當(V0,R1,R2,R3,R4)=(5,10,20,30,40)時,單電子量子同心環的基態能量E0=8.64 meV,基態角動量L=0.

當(R1,R2,R3,R4)=(10,20,30,40)時,單電子量子同心環的基態能量E0隨勢壘V0的變化如圖2所示. 由圖2可見,E0隨V0的增加而增加. 這是由于E隨V的增加而增加所致. 在沒有勢壘(V0=0)時,電子的基態能量最小;存在勢壘時,基態能量變大.

圖1 L=0,1,2,3時單電子量子同心環 的最低2個能級Fig.1 The two lowest energies of single electron concentric quantum ring with L=0,1,2,3

圖2 E0隨V0的變化關系Fig.2 Evolution of E0 with variation of V0

在R1,R2,R3,R4中3個量固定,1個量變化的條件下,計算單電子量子同心環的基態能量E0,如圖3 所示.

圖3 基態能量E0隨R1,R2,R3和R4的變化關系Fig.3 Evolution of ground-state energy E0 as a function of R1,R2,R3 or R4

由圖3(A)可見,當(V0,R2,R3,R4)=(5,20,30,40)時,E0隨R1的增加而增加. 由于R1增加導致量子同心環的徑向寬度減小,從而電子徑向位置的不確定度減少,動量的不確定度增大,因此E0增加. 同理可解釋圖3(D)中基態能量E0隨R4的增加而減小.R4越大,量子同心環的徑向寬度越大,從而E0變小. 由圖3(A)和(D)可見: 當R1=1 nm時,E0=4.753 meV;當R4=55 nm時,E0=3.961 meV,均小于勢壘V0=5 meV. 由圖3(B)和(C)可見: 量子同心環的徑向寬度不變,為R4-R1=30 nm;當R2增加時,勢壘V0的寬度變小,E0減小;當R3增加時,勢壘V0的寬度變大,E0增加. 勢壘V0的寬度變小(或變大),引起電子的自由運動空間變大(或變小),由不確定關系可知,E0減小(或增加). 因此,勢壘V0的高度和寬度均影響基態能量E0.

若單電子量子同心環的本征波函數ψ(r,φ)=R(r)φ(φ),則電子的幾率為

圖4 當V0=2.0,5.0,8.0 meV時基態 幾率ρ隨r的變化關系Fig.4 Evolution of ground-state ρ as a function of r for V0=2.0,5.0,8.0 meV

當(R1,R2,R3,R4)=(10,20,30,40),V0分別為2.0,5.0,8.0 meV時,單電子量子同心環基態幾率ρ隨r的變化關系如圖4所示. 由圖4可見: 在勢壘V0區間(20～30 nm),電子的基態幾率ρ較大,在勢壘V0兩側的電子基態幾率ρ較小;隨著V0增加,勢壘區間的電子基態幾率ρ變小,兩側的電子基態幾率ρ變大;3個電子基態幾率ρ的最大值均約在r=24.8 nm處.

當(V0,R2,R3,R4)=(5,20,30,40),R1=1,11,19 nm 時,電子基態幾率ρ隨r的變化關系如圖5所示. 由圖5可見,隨著R1增加,基態幾率ρ的最大值沿r增大的方向移動,即ρ的最大值分別位于r=15.8,25.8,30.4 nm處. 當R1=1 nm時,基態E0=4.753 meV小于勢壘V0=5 meV. 在這種情形下,由圖5可知,電子在勢壘區間(20～30 nm)的基態幾率ρ不為零. 當R4增加時,基態幾率ρ的特征與R1增加時的情況類似:ρ的最大值沿r增大的方向移動;ρ在E0小于勢壘V0的區間不為零.

當R2減少或R3增加時,勢壘V0的寬度均變大. 因此,只計算R3不同時基態幾率ρ隨r的變化關系,如圖6所示. 由圖6可見: 當(V0,R1,R2,R4)=(5,10,20,40),R3由31 nm增至35 nm時,基態幾率ρ的最大值沿r減少的方向移動;當R3由35 nm增至39 nm時,ρ與r的函數曲線基本不變. 表明在R3～R4間勢阱較窄的條件下,勢壘V0的寬度對電子幾率分布影響較小.

圖5 當R1=1,11,19 nm時基態 幾率ρ隨r的變化關系Fig.5 Evolution of ground-state ρ as a function of r for R1=1,11,19 nm

圖6 當R3=31,35,39 nm時基態 幾率ρ隨r的變化關系Fig.6 Evolution of ground-state ρ as a function of r for R1=31,35,39 nm

綜上所述,本文獲得了單電子量子同心環的低態能級和基態能量隨V0,R1,R2,R3,R4的變化關系,并計算了基態幾率,由此可得電子分布信息. 由于勢壘和環半徑的影響較大,因此可作為控制量子同心環性質的工具.

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