規(guī)范精度維數(shù)的伸縮準(zhǔn)則與局部準(zhǔn)則

賈 亮,魏麗娜,盛中平

(1.東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,長(zhǎng)春 130024;2.黑龍江省大慶市第四中學(xué)，黑龍江 大慶 163514)

分形維數(shù)是分形幾何的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),在圖像處理和模式識(shí)別等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-7].文獻(xiàn)[1]討論了盒維數(shù)的近似處理問(wèn)題,提出了盒維數(shù)的一個(gè)近似形式——規(guī)范精度維數(shù),并證明了當(dāng)覆蓋的微精度趨于零時(shí),規(guī)范精度維數(shù)收斂于盒維數(shù).規(guī)范精度維數(shù)的收斂性表明其定義是合理的.維數(shù)的定義有多種形式[8],一般在數(shù)值上并不相等,但都具有一些共同屬性.本文針對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行討論,并提出分形維數(shù)的兩個(gè)重要特性——分形維數(shù)的伸縮準(zhǔn)則與局部準(zhǔn)則,并證明了規(guī)范精度維數(shù)也同時(shí)具有這兩種特性.

伸縮不變性是任何一個(gè)集合所具有的維數(shù)特征,但對(duì)于自相似分形,局部維數(shù)與整體維數(shù)相等時(shí)其維數(shù)才具有局部不變性.而對(duì)一般集合上的維數(shù)特征,應(yīng)該同時(shí)具有這兩種屬性,稱其為一般維數(shù)特征的伸縮準(zhǔn)則與局部準(zhǔn)則.

1) 伸縮準(zhǔn)則：對(duì)于集合F,線性伸縮后得集合λF,則F與λF具有相同的維數(shù),稱為維數(shù)的伸縮不變性(基本尺度伸縮).

2) 局部準(zhǔn)則：對(duì)于自相似集合F,與整體相似的局部和整體具有相同的維數(shù),稱為維數(shù)的局部不變性(基本尺度不變).

當(dāng)整體伸長(zhǎng)與縮短后,參照的基準(zhǔn)也做相同的伸長(zhǎng)與縮短.所以,在對(duì)整體伸長(zhǎng)與縮短進(jìn)行對(duì)比時(shí),基本尺度也應(yīng)隨之伸長(zhǎng)與縮短.在局部與整體做對(duì)比時(shí),或者一個(gè)與多個(gè)做對(duì)比時(shí),參照的基準(zhǔn)必須是同一個(gè),即基本尺度保持不變.

定義1[1]已知n中的集合F有界,F的拼貼分解為其拼貼逼近為為基本尺度,F0為基準(zhǔn)體,c為其基容數(shù).給出一種r-精度盒覆蓋,設(shè)δ(≤L)為其盒長(zhǎng),從而微精度r=δ/L.設(shè)N為分形F在r-精度盒覆蓋下的微盒數(shù),規(guī)范盒數(shù)定義則dr=dr(F)稱為有界集合F在r-精度盒覆蓋下的r-精度維數(shù),統(tǒng)稱為規(guī)范精度維數(shù).

1 伸縮準(zhǔn)則

作為用于聚類分析的維數(shù)特征,應(yīng)該同時(shí)滿足伸縮準(zhǔn)則和局部準(zhǔn)則.下面證明定義1中的r-精度維數(shù),也具有一般維數(shù)特征的伸縮準(zhǔn)則,進(jìn)而說(shuō)明r-精度維數(shù)作為分形維數(shù)的合理性.

定理1若n中的任意集合F有界,F的拼貼分解和拼貼逼近分別為和給出基準(zhǔn)體F0和基準(zhǔn)逼近體E0.設(shè)伸縮元為λ∈R{0},得到的集合為

2 局部準(zhǔn)則

下面證明自相似集具有局部不變性,即滿足局部準(zhǔn)則.設(shè)E是n維閉集多面體,對(duì)任意的λ≠0,λE稱為E-類多面體.當(dāng)用E-類多面體做盒覆蓋時(shí),取其盒長(zhǎng)為該多面體的直徑.下面記?為A的內(nèi)部.

定理2已知F?n是迭代函數(shù)系的吸引子,有wi=Pi+λQi(x)(x∈n,0<λ<1),其中:A是n中的有界閉集;Pi∈n;Qi為n階正交矩陣.F的自相似維數(shù)設(shè)此IFS是剛接觸的,即wi?A,wi?A是兩兩不相交的(i=1,2,…,m),為F的拼貼分解,取?作為F的拼貼逼近,取F0=w1(F)作為F的基準(zhǔn)體.E0=w1(A)作為F的基準(zhǔn)逼近體,取E0的直徑L作為F的基本尺度,取作為待考察的F自相似局部.令的基準(zhǔn)體與F的基準(zhǔn)體相同,即對(duì)于任意的整數(shù)k,給定直徑為δ=λk(L/λ)=λk-1L的E-類多面體盒A的λk倍縮小覆蓋逼近時(shí),微精度r=δ/L=λk-1.則有

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