一類分數階差分方程邊值問題遞增正解的存在性

葛 琦, 侯成敏

(延邊大學 理學院數學系, 吉林 延吉 133002)

0 引 言

分數階微分方程廣泛應用于計算生物、 藥物科學、 經濟學、 物理學和工程學等領域, 目前已有許多研究結果. 如: Atici等[1-2]在發展了關于離散型分數階微積分初值問題的基礎上, 還研究了有限分數階差分方程的兩點邊值問題; Goodrich[3]研究了帶有非局部條件的離散型分數階邊值問題解的存在性和唯一性; 文獻[4-8]研究了分數階差分方程的邊值問題(簡稱FBVP). 但目前大多數研究成果主要利用Green函數的性質, 在Banach空間中運用不動點定理對FBVP進行討論, 而在度量空間中利用不動點定理研究FBVP的報道較少. 本文考慮如下FBVP：

其中: 2<ν≤3; 1<β<2;ν-β>1; 0<α<1;f(t+v-1,·): [ν-1,b+ν+1]Nν-1×R→R是連續函數;b>3(b∈N). 本文先分析Green函數的性質, 然后在度量空間中利用不動點定理, 分別建立該方程存在唯一遞增非負解的充分條件及存在唯一嚴格遞增正解的充分條件, 并結合實例說明充分條件的合理性.

本文記

Na∶={a,a+1,a+2,…},

[a,b]Na∶={a,a+1,a+2,…,b}(b-a∈N1).

1 預備知識

定義2[3]對于ν>0, 定義函數f的ν階分數和如下:

Na+ν.

對于N∈N, 0≤N-1<ν≤N, 定義函數f的ν階分數差分如下:

Δνf(t)=ΔNΔν-Nf(t),t∈Na+N-ν.

引理2[3]設N∈N, 0≤N-1<ν≤N. 則

R, 1≤i≤N.

令

S={β: [0,∞)→[0,1)β(tn)→1(tn→0)}.

(3)

引理4[9]設(X,≤)是一個偏序集, 且X中存在一個度量d, 使得(X,d)是一個完備的度量空間. 設T:X→X是遞增的映射, 且存在一個x0∈X, 使得x0≤Tx0. 假設存在β∈S, 使得對于?x,y∈X, 且x≤y, 有

d(Tx,Ty)≤β(d(x,y))d(x,y).

(4)

如果下列二條件之一成立, 則T有唯一的不動點：

(i)T:X→X是連續的映射；

(5)

(ii) 如果{xn}是X中遞增序列, 且在X中有xn→x(n→∞), 則對于?n∈N, 有

xn≤x,

(6)

且對于?x,y∈X, 存在z∈X, 使得z和x與z和y有序關系.

2 Green函數及其性質

下面構建帶有邊值條件(2)的FBVP:

-Δνu(t)=h(t+ν-1), 2<ν≤3,t∈[0,b+2]N0

(7)

的Green函數G(t,s), 其中h: [ν-1,b+ν+1]Nν-1→R是連續的.

定理1設2<ν≤3, 則FBVP(7)-(2)的唯一解是

(8)

這里

(9)

證明： 由引理2, 有

將邊值條件u(ν-3)=0代入式(10)得C3=0. 由于

則由邊值條件[Δαu(t)]t=ν-α-2=0, 得C2=0. 再由邊值條件

得

因此

由式(11)知式(8)成立.

定理2對于(t,s)∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1×[0,b+2]N0, Green函數G(t,s)>0, 且G(t,s)關于第一個變量t嚴格遞增.

證明： 當0≤t-ν+1≤s≤b+2時, 顯然有G(t,s)>0. 由

可知G(t,s)關于t遞增, 且G(t,s)

令

由于ΔβF(t,s,β)>0, 所以F(t,s,β)關于β(1<β<2)是遞增的, 因此, 有

綜上所述, 對于(t,s)∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1×[0,b+2]N0, 有G(t,s)>0, 且G(t,s)關于第一個變量t嚴格遞增.

注1由定理2知, 如果定理1中h(t)≥0,t∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1, 則有解u(t)≥0,t∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1.

由于G(t,s)關于第一個變量t嚴格遞增, 因此記

(12)

3 主要結果

由定理1知, 求FBVP(1)-(2)的解, 等價于在條件(2)下求方程

(13)

的解. 為此先定義度量空間B如下：

B={x: [ν-1,b+ν+1]Nν-1→R},

(14)

其中距離為

(15)

在B中定義偏序≤：

x≤y?x(t)≤y(t),x,y∈B,t∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1.

(16)

顯然(B,≤)滿足式(6), 如果對于x,y∈B, 取函數z=max{x,y}∈B, 則(B,≤)滿足z和x與z和y有序關系.

為方便, 用A表示一類函數族:φ∈A,φ: [0,∞)→[0,∞), 且滿足：

1)φ是遞增的函數;

2) 對于?x>0,φ(x)

3)φ(x)/x∈S, 其中S定義如式(3).

滿足上述條件的函數φ存在, 如：φ(x)=x/(1+x);φ(x)=ln(1+x).

定理3如果下列條件成立, 則FBVP(1)-(2)存在唯一遞增的非負解:

(H1)f(t,·): [ν-1,b+ν+1]Nν-1×[0,∞)→[0,∞)是非負連續函數；

(H2) 對于?t∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1,f(t,u)關于第二個變量u遞增；

(H3) 存在0<λ≤1/L和φ∈A, 使得對于x,y∈[0,∞), 且x≤y和t∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1, 有f(t,y)-f(t,x)≤λφ(y-x).

證明： 首先構造B上的錐：

Π={y∈By(t)≥0,t∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1}.

易知Π為B上的閉集, 并且Π按式(15)中的距離成為完備的度量空間, 顯然按式(16)中的偏序≤,Π滿足引理4中的條件(ii). 對于u∈Π, 定義算子T：

其中G(t,s)定義如式(9). 由定理2和條件(H1)知T是Π到Π上的算子.

下面證明引理4的條件成立. 首先算子T是遞增的, 事實上, 由條件(H2)知, 對于u2≤u1, 有

另一方面, 對于u2≤u1且u1≠u2, 由條件(H3)有

由于φ是遞增函數, 所以由式(12)和條件(H3)得

因此, 對于u2≤u1且u1≠u2, 有

d(Tu1,Tu2)≤β(d(u1,u2))d(u1,u2),

(17)

其中β(x)=φ(x)/x∈S. 顯然, 當u1=u2時式(17)也成立. 于是式(4)成立. 又由于f(t,u)和G(t,s)是非負函數, 所以, 當u=0時, 有

從而引理4的條件成立. 由引理4知, FBVP(1)-(2)存在唯一的非負解u(t).

最后證明FBVP(1)-(2)的唯一非負解u(t)是遞增的. 事實上, 由于u(t)是算子T的不動點, 所以有

由G(t,s)的嚴格遞增性和f(t,u)的非負性知u(t)是遞增的.

下面給出FBVP(1)-(2)存在唯一嚴格遞增正解u(t)的充分條件.

定理4在定理3的假設下, 如果下列條件成立, 則FBVP(1)-(2)存在唯一嚴格遞增的正解:

(H4) 存在t0∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1, 使得f(t0,0)≠0成立.

證明： 由定理3知, FBVP(1)-(2)存在唯一遞增的非負解, 設為x(t), 則

先證明x(t)>0,t∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1. 事實上, 假設存在t*∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1, 使得x(t*)=0, 則

由x(t)≥0,G(t,s)>0及條件(H1),(H2)得

G(t*,s)f(s+ν-1,0)=0,s∈[0,b+2]N0,

即f(s+ν-1,0)=0,s∈[0,b+2]N0, 這與條件(H4)矛盾, 因此x(t)>0,t∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1.

其次, 證明x(t)是嚴格遞增的. 事實上, 設t1,t2∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1, 且t1

由于G(t1,s)-G(t2,s)<0, 則f(s+ν-1,x(s+ν-1))=0,s∈[0,b+2]N0. 又因為

0=f(s+ν-1,x(s+ν-1))≥f(s+ν-1,0)≥0,

所以f(s+ν-1,0)=0,s∈[0,b+2]N0. 這與條件(H4)矛盾, 因此x(t1)

注2條件(H4)似乎是FBVP(1)-(2)存在唯一嚴格遞增正解的較強條件, 但當FBVP(1)-(2)存在唯一非負解時, 這個條件非常恰當. 事實上, 假設FBVP(1)-(2)存在唯一非負解x(t), 則對?t∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1, 有f(t,0)=0當且僅當x(t)=0. 實際上, 若?t∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1, 有f(t,0)=0, 則由式(13)知x(t)=0是FBVP(1)-(2)的唯一非負解. 反之亦然.

4 應用實例

考慮如下FBVP：

[1] Atici F M, Eloe P W. Initial Value Problems in Discrete Fractional Calculus [J]. Proc Amer Math Soc, 2009, 137(3): 981-989.

[2] Atici F M, Eloe P W. Two-Point Boundary Value Problems for Finite Fractional Difference Equations [J]. Journal of Difference Equations and Applications, 2011, 17(4): 445-456.

[3] Goodrich C S. Existence and Uniqueness of Solutions to a Fractional Difference Equation with Nonlocal Conditions [J]. Comput & Math with Appl, 2011, 61(2): 191-202.

[4] Goodrich C S. On a Fractional Boundary Value Problem with Fractional Boundary Conditions [J]. Appl Math Lett, 2012, 25(8): 1101-1105.

[5] Goodrich C S. Solutions to a Discrete Right-Focal Fractional Boundary Value Problem [J]. Int J of Difference Equa, 2010, 5(2): 195-216.

[6] CHEN Fu-lai, LUO Xian-nan, ZHOU Yong. Existence Results for Nonlinear Fractional Difference Equation [J]. Advances in Difference Equations, 2011, 2011(1): 713201.

[7] Goodrich C S. On Discrete Sequential Fractional Boundary Value Problems [J]. J of Math Anal and Appl, 2012, 385(1): 111-124.

[8] Goodrich C S. Existence of a Positive Solution to a System of Discrete Fractional Boundary Value Problems [J]. Applied Mathematics and Computation, 2011, 217(9): 4740-4753.

[9] Cabrera I J, Harjani J, Sadarangani K B. Positive and Nondecreasing Solutions to am-Point Boundary Value Problem for Nonlinear Fractional Differential Equation [J]. Abstract and Applied Analysis, 2012, 2012: 826580.