低維Hom-Leibniz代數分類

徐麗媛, 王春月, 張若蘭, 張慶成(. 白城師范學院 數學系, 吉林 白城 7000; . 吉林工程技術師范學院 應用理學院, 長春 005;

3. 東北師范大學 數學與統計學院, 長春 130024)

代數形變理論最早由Gerstenhaber[1]提出. Hom-代數是代數形變理論中的一類, 文獻[2-4]引入了Hom-代數的概念并進行了系統研究. Makhlouf等[5]把Leibniz代數推廣為Hom-Leibniz代數. 文獻[6]進一步研究了Hom-Leibniz代數的結構理論. 文獻[7-9]研究了Hom-Lie代數、 Hom-Lie超代數和Hom-Lie color代數. 本文利用文獻[10]中低維Leibniz代數的分類, 通過待定系數法, 確定了低維Leibniz代數自同態的種類, 從而實現了二維、 三維非李代數的Hom-Leibniz代數分類.

1 二維Hom-Leibniz代數的分類

定義1[2]設L是復數域上的向量空間, [-,-]是L上的二元雙線性運算, 線性映射α:L→L滿足α([x,y])=[α(x),α(y)], ?x,y∈L, 則稱(L,[-,-],α)是一個Hom-代數.

定義2[10]Leibniz代數L是一個向量空間, 其上定義了一個括積運算: [-,-]:L×L→L, 滿足等式： [x,[y,z]]=[[x,y],z]+[y,[x,z]], ?x,y,z∈L.

由定義1知, 當Leibniz代數滿足反交換時是Lie代數.

定義3[5]設(L,[-,-],α)是復數域上的Hom-代數, 如果L滿足： [α(x),[y,z]]=[[x,y],α(z)]+[α(y),[x,z]], ?x,y,z∈L, 則稱L是Hom-Leibniz代數.

定理1設(L,[-,-])是一個Leibniz代數,α:L→L是L的自同態,α([x,y])=[α(x),α(y)], ?x,y∈L. 令[-,-]α=α([x,y]), 則(L,[-,-]α,α)是Hom-Leibniz代數.

證明: 設(L,[-,-])是Leibniz代數,α:L→L的自同態,α([x,y])=[α(x),α(y)]. 令[-,-]α=α([x,y]), ?x,y∈L, 則根據定義1, (L,[-,-]α)是Hom-代數.

因此, [α(x),[y,z]α]α=[[x,y]α,α(z)]α+[α(y),[x,z]α]α,L是Hom-Leibniz代數.

引理1[10]設(L,[-,-])是Leibniz代數,e1,e2是L的基, 則二維非李代數的Leibniz代數分類為：

證明: 設L是二維非李代數的Leibniz代數,L的基向量為e1,e2,α:L→L的自同態, 有α(e1)=p1e1+p2e2,α(e2)=q1e1+q2e2. 由引理1和定理1知, 當L是非李代數時, 有:

1)α([e1,e1])=[α(e1),α(e1)]=0,α([e1,e2])=[αe1,αe1]=α(e1)=p1e1+p2e2,α([e2,e2])=[α(e2),α(e2)]=0, 得到方程組p1p2=0,p1q2=p1,p2=0,q1p2=0,q1q2=0. 于是有:

①q2=0,p1=0,p2=0,q1是任意的；

②q2≠0,q1=0,p2=0,p1是任意的.

2 三維Hom-Leibniz代數的分類

引理2[10]設(L,[-,-])是Leibniz代數, 則三維非李代數的Leibniz代數分類有如下13種：

1) [e2,e2]=e3;

2) [e2,e1]=e3;

3) [e1,e1]=e3, [e2,e2]=e3;

4) [e1,e1]=e3, [e2,e1]=ke3, [e2,e2]=e3;

5) [e3,e2]=e3;

6) [e1,e1]=e3, [e1,e2]=e2, [e2,e1]=-e2;

7) [e1,e2]=e2, [e2,e1]=-e2, [e3,e1]=ke3;

8) [e1,e2]=e2, [e2,e1]=-e2, [e2,e2]=e3, [e3,e1]=-2e3;

9) [e1,e2]=e1, [e3,e2]=e3;

10) [e1,e2]=e1, [e2,e2]=e3；

11) [e1,e2]=e1+e3, [e3,e2]=ke3;

12) [e1,e2]=e3, [e2,e2]=e1;

13) [e2,e3]=e1+e2, [e1,e3]=ke2.

其中基向量的其余括積均為0,k≠0.

定理3設(L,[-,-]α)是Hom-Leibniz代數, 則非李代數的三維Hom-Leibniz代數分類有如下19種：

證明: 設L是Leibniz代數, 且dimL=3,α:L→L是L的自同態. 設L的基向量為e1,e2,e3,

1) [e2,e2]=e3. 根據定理1, 有:α([e1,e1])=α(e3),α([e1,e2])=0,α([e1,e3])=0,α([e2,e1])=0,α([e2,e2])=0,α([e2,e3])=0,α([e3,e1])=0,α([e3,e2])=0,α([e3,e3])=0, 則有

2) [e2,e1]=e3. 從而有:α([e1,e1])=0,α([e1,e2])=0,α([e1,e3])=0,α([e2,e1])=α(e3),α([e2,e2])=0,α([e2,e3])=0. 經過計算得

分析得:

乘法表為[α(e2),α(e1)]=k1l2e3, 其中k1l2≠0.

3)α([e1,e1])=α(e3),α([e1,e2])=0,α([e1,e3])=0,α([e2,e1])=0,α([e2,e2])=α(e3),α([e2,e3])=0,α([e3,e1])=0,α([e3,e2])=0,α([e3,e3])=0. 化簡得

分析得:

4) [e1,e1]=e3, [e2,e1]=ke3, [e2,e2]=e3. 根據定理1, 有:α([e1,e1])=α(e3),α([e1,e2])=0,α([e1,e3])=0,α([e2,e1])=kα(e3),α([e2,e2])=α(e3),α([e2,e3])=0,α([e3,e1])=0,α([e3,e2])=0,α([e3,e3])=0. 化簡得

解得：

5) [e3,e2]=e3. 根據定理1, 有:α([e1,e1])=0,α([e1,e2])=0,α([e1,e3])=0,α([e2,e1])=0,α([e2,e2])=0,α([e2,e3])=0,α([e3,e1])=0,α([e3,e2])=α(e3),α([e3,e3])=0. 化簡得

分析得:

得一種乘法表： [α(e3),α(e2)]=m3e3, 其中m3≠0.

6) [e1,e1]=e3, [e1,e2]=e2, [e2,e1]=-e2. 根據定理1, 化簡得

分析得:

得兩種乘法表：

(ii) [α(e1),α(e1)]=e3, [α(e1),α(e2)]=l2e2, [α(e2),α(e1)]=-l2e2, 其中k1l2≠0.

7) [e1,e2]=e2, [e2,e1]=-e2, [e3,e1]=ke3. 根據定理1, 化簡得

所以有:

得一種乘法表： [α(e1),α(e2)]=l2e2, [α(e2),α(e1)]=-l2e2, 其中l2≠0.

8) [e1,e2]=e2, [e2,e1]=-e2, [e2,e2]=e3, [e3,e1]=-2e3. 根據定理1, 化簡得

分析得:

② 當m3=0,k1k3<0時,A不存在;

9) [e1,e2]=e1, [e3,e2]=e3. 根據定理1, 化簡得

分析得:

得一種乘法表： [α(e1),α(e2)]=k1e1+k3e3, [α(e3),α(e2)]=m1e1+m3e3, 其中k1+k3+m1+m3≠0.

10) [e1,e2]=e1, [e2,e2]=e3. 根據定理1, 化簡得

分析得:

得兩種乘法表：

11) [e1,e2]=e1+e3, [e3,e2]=ke3. 根據定理1, 化簡得

分析得:

①l2≠0,l1=l3=0,m1≠0,l2=k,m3=kk1+k2k3-k3,k≠1,m1=(1-k)(kk1+k2k3-k3),

得4種乘法表：

(i) [α(e1),α(e2)]=k1e1+e2+k3e3, [α(e3),α(e2)]=k(1-l2)k1e1+k1e3;

(ii) [α(e1),α(e2)]=k1e1-e2+k3e3, [α(e3),α(e2)]=k(k-1)k1e1-kk1e3;

(iii) [α(e1),α(e2)]=(1-k)k3e1+ke2+k3e3, [α(e3),α(e2)]=-k(k-1)2k3e1+k(k-1)e3;

(iv) [α(e1),α(e2)]=k1e1+e2+k3e3, [α(e3),α(e2)]=k(k1-k3+kk3)e3.

12) [e1,e2]=e3, [e2,e2]=e1. 根據定理1, 化簡得

13) [e2,e3]=e1+e2, [e1,e3]=ke2. 根據定理1, 化簡得

分析得:

得兩種乘法表：

(i) [α(e2),α(e3)]=(k1+l1)e1+(kl1+k1+l1)e2, [α(e1),α(e3)]=kl1e1+k(k1+l1)e2;

(ii) [α(e2),α(e3)]=(k1+l1)e1+k(kl1m3+k1+l1)e2, [α(e1),α(e3)]=kl1e1+k(k1m3+l1)e2.

證畢.

[1] Gerstenhaber M. On the Deformation of Rings and Algebres [J]. The Ann of Math, 1964, 79(1): 59-103.

[2] Larsson D, Silrestrov S D. Quasi-Hom-Lie Algebras, Central Extensions and 2-Cocycle-Like Indentities [J]. J of Algebra, 2005, 288(2): 321-344.

[3] Makhlouf A, Silvestrov S P. Hom-Lie Admissible Hom-Coalgebras and Hom-Hopf Algebras [J/OL]. 2007-11-01. http: //arxiv.org/pdf/0709.2413.pdf.

[4] Hartwig J T, Larsson D, Silvestrov S D. Derformations of Lie Algebras Usingσ-Derivations [J]. J of Algebra, 2006, 295(2): 314-361.

[5] Makhlouf A, Silvestrov S D. Notes on Formal Deformations of Hom-Associative and Hom-Lie Algebras [J/OL]. 2007-12-19. http://arxiv.org/abs/0712.3130.

[6] Ammar F, Ayadi I, Mabrouk S, et al. Quadratic Color Hom-Lie Algebras [J/OL]. 2012-04-23. http://arxiv.org/pdf.1204.5155.pdf.

[7] Ammar F, Makhlouf A. Hom-Lie Superalgebras and Hom-Lie Admissible Superalgebras [J]. J of Algebra, 2010, 324(7): 1513-1528.

[8] Ammar F, Makhlouf A, Saadoui N. Cohomology of Hom-Lie Superalgebras andq-Deformed Witt Superalgebra [J/OL]. 2012-04-27. http://arxiv.org/pdf/1204.6244.pdf.

[9] YUAN La-mei. Hom-Lie Color Algebra Structures [J]. Commu in Algebra, 2012, 40(2): 575-592.

[10] JIANG Qi-fen. Classification of 3-Dimensional Leibniz Algebras [J]. Journal of Mathematical Research and Exposition, 2007, 27(4): 677-686. (蔣啟芬. 三維Leibniz代數的分類 [J]. 數學研究與評論, 2007, 27(4): 677-686.)