基于流量控制閥的液體靜壓導軌動態特性分析

趙建華 高殿榮

燕山大學，秦皇島，066004

0 引言

流量控制閥能夠根據工作負載需要而靈活地調整輸出流量，設定后的輸出流量抗干擾能力強、剛度大，因此在靜壓支承中得到了廣泛的應用。近年來，國內外較多的學者對其進行了研究。呂琳等［1］以精沖機滑塊的高精度導向為要求，計算了靜壓導軌承載能力及油膜剛度，研究了靜壓導軌油膜厚度的控制方式。左旭芬［2］根據數控凸輪磨床結構的特點，確定了矩形靜壓導軌的結構參數對與磨床性能的影響關系。羅恕燕等［3］對大型數控滾齒機工作臺的二級承載液體靜壓導軌副的動靜態性能進行了定性和定量的計算。張亮等［4］建立了靜壓導軌自適應供油系統的數學模型，對其進行了動態仿真研究。李志紅等［5］以調速閥進口節流調速系統為例，得到了液壓缸無桿腔壓力超調量的變化規律，并對理論推導和分析進行了試驗驗證。劉恒麗等［6］利用功率鍵合圖法建立了鍵圖模型和數學模型，用MATLAB軟件進行了仿真，對調速閥的性能進行了分析。

流量控制閥-靜壓導軌支承系統屬于非線性系統，計算和分析都比較困難。國內外很多學者都致力于靜壓支承系統的性能研究，但流量控制閥-靜壓導軌支承系統的動態特性的研究報道較少，因此筆者試圖采用線性化處理及Laplace變換的方法獲得導軌系統的傳遞函數，對其進行動態特性分析。

1 導軌系統的狀態分析

導軌系統主要包括對置靜壓油腔、流量控制閥、液壓泵及溢流閥等，如圖1所示。流量控制閥選用的是2FRM型二通流量控制閥，由旋鈕1、節流體2、節流口3、閥體4、彈簧5、壓力補償器6、節流孔7組成。節流口3為流量閥主要的壓力設定元件，壓力補償器6為流量閥的壓力自動調節元件。

圖1 導軌靜壓支承系統的結構示意圖

導軌系統的對置油腔組由2個形式相同、尺寸相等的矩形油腔組成，如圖2所示。

1.1 導軌系統的初始狀態

導軌處于初始狀態時，導軌質量為m，油腔尺寸確定，供油系統的泵壓為ps，油膜厚度為h0。

圖2 靜壓油腔的結構示意圖

（1）導軌的運動學分析。對初始狀態時的導軌進行分析，建立力平衡方程：

式中，p1，0、p2，0分別為油腔1和油腔2的壓力；Ae，1、Ae，2分別為油腔1和油腔2的有效承載面積，Ai、Bi分別為矩形油腔的長和寬；ai、bi分別為在長、寬方向上的封油邊寬度。

（2）油腔的流量分析。導軌系統的流量可表示為

（3）流量控制閥的運動學分析。流量控制閥中的壓力補償器處于平衡狀態，列出力平衡方程：

式中，FT，i為流量控制閥的彈簧力；pi＋2，0為壓力補償器的前部初始壓力；AF，i為壓力補償器的有效作用面積；FW，i為壓力補償器的穩態液動力；Cv為流速系數；Cd為流量系數；di為壓力補償器的直徑；xi，0為壓力補償器的初始開口度；θ為壓力補償器的液流角，θ＝69°。

（4）流量控制閥的流量分析。對流量控制閥中的節流口、壓力補償器處的流量進行計算，列出控制閥流量qF，i，0的表達式：

式中，AJ，i為節流口的通流面積；ρ為油液密度。流量控制閥內部有節流口與壓力補償器兩個節流位置，因此式中存在兩個流量計算公式。

（5）導軌系統的流量分析。導軌系統處于穩定狀態時，流量控制閥與油腔的流量相等：

1.2 導軌系統的過渡狀態

導軌處于過渡狀態時，油腔壓力p、油膜厚度h、壓力補償器的開口度x、前部壓力pi＋2均隨著外載荷F的變化而變化。

（1）導軌的運動學分析。在外載荷F的作用下，導軌在對置兩油腔連線方向上的位移與油膜的厚度變化值e相等。對過渡狀態時的導軌進行分析，建立力平衡方程：

（2）油腔的流量分析。導軌在外載荷的作用下，對置兩油腔的油膜厚度分別為h1、h2，h1＝h0-e，h2＝h0＋e，則油腔的瞬時流量可表示為

（3）流量控制閥的運動學分析。過渡狀態下，流量控制閥中壓力補償器的開口度為xi，列出力平衡方程：

其中，彈簧力FT，i與開口度x有關，調節過程中開口度變化較小，因此FT，i認定為恒值。

FW，i的數學表達式為

壓力補償器的瞬態液動力FS，i的數學表達式為

式中，Li為壓力補償器內液體軸向流動距離。

（4）流量控制閥的流量分析。對流量控制閥的節流口、壓力補償器的流量進行計算，流量控制閥的輸出流量為

流量控制閥內部有節流口與壓力補償器兩個節流位置，因此式（12）中存在兩個流量計算公式。

（5）導軌系統的流量分析。導軌系統處于過渡狀態時，流量控制閥與油腔的瞬時流量不相同，流量關系為

式中，qJ，i為 油膜 厚度變 化而 排擠的 油液 流量；qR，i為 控 制閥與油腔的容積效應流量。

由于油膜厚度變化而排擠的油液的擠壓面積為

油腔的擠壓流量為

油液中較容易混有未溶解的空氣，因此需考慮容積效應［7］。容積效應一般與油液的壓縮性有關，與流量控制閥出口到油腔之間的所有油液體積（一般稱為敏感油路體積Voa，i）有關，其數學表達式為

式中，τ為油液的壓縮性系數；E為油液的彈性模量。

2 導軌系統的線性化及傳遞函數推導

2.1 導軌系統的方程推導

（1）初始狀態。根據導軌系統的設計，只要確定導軌質量m、油腔尺寸、油膜初始厚度hi，0、油腔初始流量qi，0，則油腔壓力pi，0、前部壓力pi＋2，0、初始開口度xi，0均可計算出。

根據式（5），pi＋2，0可由xi，0表示：

將式（4）、式（17）代入式（3）中，得到

將式（2）、式（5）、式（17）代入式（6）中，得到

（2）過渡狀態。根據靜壓導軌的設計，只要確定導軌質量m、油腔尺寸、初始油膜厚度hi，0、油腔流量qi，0、外載荷F，則油腔壓力pi、油膜厚度hi、前部壓力pi＋2、開口度xi均可計算。

根據式（12），pi＋2可由xi表示：

將式（10）、式（11）、式（20）代入式（9）中，得到

將式（20）代入式（12）中，得到

將式（15）、式（16）、式（22）代入式（13）中，得到

2.2 導軌系統的線性化

導軌系統的關鍵參數為油膜厚度變化值e、油腔壓力pi、壓力補償器開口度xi，因此基于這些參數對方程進行變換。

式（7）減去式（1），得到

式（21）減去式（18），得到

式（23）減去式（19），得到

式（25）為非線性微分方程，對其進行求解非常困難，因此有必要對其進行線性化處理。

在實際應用中，導軌系統的油腔壓力pi、壓力補償器開口度xi變化很小，因此將式（25）中的某部分設定為常數值：

將式（25）變換成Taylor級數的形式，去掉高階項，得到導軌系統的線性化方程：

同理，將式（26）變換成Taylor級數的形式，去掉高階項，得到導軌系統的線性化方程：

2.3 導軌系統的傳遞函數推導

對式（24）進行Laplace變換［8］，得到

代入邊界條件，e（0＋）＝0，e（1）（0＋）＝0，則式（30）可簡化為

同理，對式（28）、式（29）進行 Laplace變換，代入 邊 界 條 件，Δxi（0＋）＝ 0，Δx（1）i（0＋）＝0，Δpi（0＋）＝0，e（0＋）＝0。

將式（28）、式（29）代入式（31）中，得到

根據式（31）、式（32），計算出油膜厚度變化值e，油腔壓力pi壓力補償器的開口度xi：

3 導軌系統的動態特性分析

3.1 導軌系統的參數

導軌系統主要由導軌、油腔、流量控制閥、液壓泵、溢流閥等組成。導軌的參數如表1所示。

表1 靜壓導軌的參數

導軌系統有10對相同尺寸的對置靜壓油腔（即B1＝B2，b1＝b2，A1＝A2，a1＝a2），參數如表2所示。

表2 對置油腔的參數

流量控制閥（2FRM型二通流量控制閥）的數量為20，其參數如表3所示。

表3 流量控制閥的參數

外載荷信號為階躍載荷F1（kN）、脈沖載荷F2（kN），其數學表達式分別為

式中，t為時間變量；T＝3。

3.2 導軌傳遞函數的簡化

根據式（33），采用表1～表3中的導軌系統的工作參數，利用MATLAB軟件計算出傳遞函數中各系數的數值，Γ0＝6.6460×10-8，Γ1＝2.6131 × 10-11，Γ2＝ 3.4828 × 10-14，Γ3＝3.7639×10-18，Γ4＝ 3.4077 × 10-21，Γ5＝-7.0699×10-25，Γ6＝ 2.5000 × 10-29，Ψ0＝11.4599，Ψ1＝0.2273，Ψ2＝3.4853×10-4，Ψ3＝4.2313 × 10-7，Ψ4＝ 1.3933 × 10-10，Ψ5＝7.0386×10-14，Ψ6＝ -3.8054×10-18，Ψ7＝-3.7540×10-22，Ψ8＝1.5000×10-26。

流量控制閥調節下的閉式靜壓導軌系統的傳遞函數存在6個零點、8個極點，表達式復雜、分析困難。由于Γ6、Γ5、Γ4、Γ3、Γ2、Γ1、Ψ8、Ψ7、Ψ6、Ψ5、Ψ4、Ψ3相對于Γ0、Ψ1、Ψ0小若干個數量級，使得系統中相應極點在s平面左半部遠離虛軸，留數非常小，衰減指數非常大，對系統的影響較小［8］。

閉式靜壓導軌系統的傳遞函數G（s）非常復雜，在實際的工程設計、調試及維護過程中，設計人員很難以此為依據，對導軌系統進行設計分析。因此需抓住主要矛盾，忽略次要因素，進行化簡，真正為工程設計人員提供理論依據，被工程設計人員靈活應用。

因此對導軌系統進行簡化，用慣性環節代替：

3.3 影響導軌動態性能的參數

根據式（35）可知，導軌的動態性能與油液參數ρ、μ，油腔參數Ae、Ab、B，油膜厚度h0，油壓參數ps、p0，流量控制閥參數d、AF、AJ、x0有關。

導軌系統的較多參數均對動態性能有重要影響。在實際設計、維護中，能夠調整且對動態性能有影響的參數有油膜厚度h0、油腔壓力p0、流量控制閥初始開口度x0及油液動力黏度η。

為了直觀描述各參數對導軌動態性能的影響，依次改變動力黏度μ、初始開口度x0，繪制動態性能與動力黏度、初始開口度之間的關系。

初始開口度x0的變化范圍如表4所示。油液牌號為VG15，工作溫度為10℃～50℃，黏溫特性（動力黏度η和運動黏度ν的變化范圍如表5所示。

表4 初始開口度的變化范圍

表5 油液的黏溫特性表

動力黏度η（10-3Pa·s）40.32 29.18 18.08 12.02 8.46

3.4 導軌動態性能的時域分析

3.4.1 時域內油溫對動態性能的影響

令油溫由10℃變化至50℃，繪制了不同溫度下油膜厚度及油腔壓力的階躍響應曲線，如圖3、圖4所示。

圖3 油膜的階躍響應曲線

圖4 油腔壓力變化的階躍響應曲線

由圖3看出，油溫為10℃時（對應的油液的動力黏度為40.32×10-3Pa·s），響應時間為0.02s，油膜的穩態變化值 Δh＝1.23μm；油溫升高至50℃時（對應的油液的動力黏度降至8.46×10-3Pa·s），響應時間為0.1s，油膜的穩態變化值Δh＝5.80μm。隨著油溫逐漸升高，動力黏度μ逐漸降低，油膜的響應時間延長，穩態變化值Δh增大。

圖4所示為不同溫度下油腔壓力的階躍響應曲線。由圖4看出，當油液溫度為10℃時（對應的油液的動力黏度為40.32×10-3Pa·s），響應時間為0.03s，油腔壓力的穩態變化值Δp＝5.169kPa；油溫升高至50℃時（對應的油液的動力黏度降至8.46×10-3Pa·s），響應時間為0.1s，油腔壓力Δp＝5.168kPa。

隨著溫度逐漸升高，油液動力黏度μ降低，油膜變化值Δh依次增大。動力黏度μ與油膜變化值Δh相互影響，如下式所示：

但二者相互影響，相互作用，反而使得對油腔壓力的影響很小，基本可以忽略，因此油腔壓力的穩態值基本保持恒定，如圖4中曲線所示。

3.4.2 時域內初始開口度對動態性能的影響

調整流量控制閥的初始開口度x0，繪制了不同初始開口度下油膜厚度的脈沖響應曲線，如圖5所示。

圖5 油膜變化值的脈沖響應曲線

由圖5看出，當初始開口度x0＝1.8mm時，響應時間為0.1s，油膜穩態變化值Δh＝3μm；初始開口度為2.2mm時，響應時間為0.1s，油膜穩態變化值Δh＝5μm。

根據導軌油膜的數學模型（式（36）），在本范例中流量控制閥初始開口度x0的變化范圍內，開口度x0逐漸增大時，φ1增大，增益系數J0逐漸增大，因此油膜變化值Δh逐漸增大。

如圖5所示，逐漸增大對置兩油腔的流量控制閥初始開口度x0，初始狀態下導軌上下油腔油膜越接近等間隙狀態，油腔液阻的變化越小，因此油膜變化值Δh隨控制閥初始開口度x0增大而增大。

3.5 導軌動態性能的頻域分析

3.5.1 頻域內油溫對動態性能的影響

令油溫由10℃變化至50℃，繪制了不同溫度下導軌的幅頻、相頻特性曲線，如圖6、圖7所示。

圖6 不同溫度下導軌的幅頻曲線

從圖6、圖7看出，隨著油溫升高，導軌的幅值在100～102Hz范圍內逐漸變小，在102～105Hz范圍內變化不大；相角在100～103Hz范圍內逐漸增大，穩定性變好，在103～105Hz范圍內變化不大。

圖7 不同溫度下導軌的相頻曲線

隨著油溫的升高，動力黏度μ逐漸減小，導軌系統出現幅值減小、相角增大的趨勢。

3.5.2 頻域內初始開口度對動態性能的影響

調整流量控制閥的初始開口度x0，繪制了不同初始開口度下導軌的幅頻、相頻曲線，如圖8、圖9所示。

圖8 不同初始開口度下導軌的幅頻曲線

圖9 不同初始開口度下導軌的相頻曲線

從圖8、圖9看出，隨著流量控制閥的初始開口度x0逐漸增大，導軌的幅值在100～103Hz范圍內變大，在103～105Hz范圍內變小，但變化程度很小；相角在100～102Hz范圍內變化不大，在102～104Hz范圍內減小。

4 結論

（1）液體靜壓導軌系統可簡化為慣性環節，列出了傳遞函數與各參數的表達式。對動態性能有較大影響的參數有油膜厚度h0、油腔壓力p0、流量控制閥初始開口度x0及油液動力黏度μ。

（2）隨著油溫升高，動力黏度降低，油膜厚度變化值增大，但油腔壓力基本恒定；導軌幅值變小，相角變大。因此在油液的工作溫度范圍內，油溫越低，導軌的動態性能越好。

（3）在本文流量控制閥開口度的調節范圍內，開口度增大，油膜厚度變化值變大；導軌幅值出現先增大后減小，相角變小的趨勢。

（4）綜合考慮油溫、流量控制閥開口度對導軌動態性能的影響，在實際設計、維護過程中，油溫越低，導軌的動態性能越好；改變流量控制閥的初始開口度，可以很好地調整導軌的動態特性。

［1］呂琳，鄧明，李艷霞，等.精沖機靜壓導軌的油膜剛度設計及控制［J］.精密成型工程，2010，2（5）：5-8.LüLin，Deng Ming，Li Yanxia，et al.The Stiffness Design and Control of Oil Film of Fine-blanking Machines Hydrostatic Guide Rail［J］.Journal of Netshape Forming Engineering，2010，2（5）：5-8.

［2］左旭芬.矩形靜壓導軌在數控凸輪磨床上的應用［J］.精密制造與自動化，2010（4）：30-31.Zuo Xufen.Application on NC Camshaft Grinding Machine of Rectangle Hydrostatic Slide［J］.Precise Manufacturing ＆ Automation，2010（4）：30-31.

［3］羅恕燕，王時龍，周杰，等.油墊數量對工作臺恒流靜壓導軌副性能的影響［J］.機床與液壓，2010，38（17）：1-4.Luo Shuyan，Wang Shilong，Zhou Jie，et al.Influence of Number of Oil Pad on Performance of Constant Flow Delivery Oil Hydrostatic Guideway of Worktable［J］.Machine Tool ＆ Hydraulics，2010，38（17）：1-4.

［4］張亮，戴惠良，劉思仁.基于AMESim的靜壓導軌自適應供油系統的研究［J］.制造技術與機床，2010（12）：25-28.Zhang Liang，Dai Huiliang，Liu Siren.Study on the Self-adaptive Oil Supply System of Hydrostatic Slider Based on AMESim［J］.Manufacturing Technology ＆ Machine Tool，2010（12）：25-28.

［5］李志紅，陳繼文.基于調速閥的進口節流調速系統負載變化動態特性研究［J］.湖南工業大學學報，2010，24（3）：52-56.Li Zhihong，Chen Jiwen.Study of Dynamic Characteristics of Load Variation of Entrance Throttle Control System Based on the Governor Valve［J］.Journal of Hunan University of Technology，2010，24（3）：52-56.

［6］劉恒麗.調速閥動態特性的計算機仿真［J］.輕工機械，2007，25（2）：82-83.Liu Hengli.Computer Simulation for Dynamic Characteristic of Speed Valve［J］.Light Industry Machinery，2007，25（2）：82-83.

［7］丁振乾.流體靜壓支承設計［M］.上海：上海科學技術出版社，1989.

［8］孔祥東，王益群.控制工程基礎［M］.3版.北京：機械工業出版社，2007.

［9］姜繼海，張冬泉.40℃參考溫度時的液壓油粘溫關系圖表［J］.潤滑與密封，1997（5）：59-60.Jiang Jihai，Zhang Dongquan.Viscosity–temperature Curve of Hydraulic Oil at 40℃［J］.Lubrication Engineering，1997（5）：59-60.