斜齒輪柔性轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)非線性動力學分析

宋曉光 崔 立，2 鄭建榮

1.華東理工大學，上海，200237 2.浙江天馬軸承股份有限公司，杭州，310015

0 引言

斜齒輪具有嚙合性好、傳動平穩(wěn)、承載能力強等特點，在各種機械設(shè)備中都有廣泛的應(yīng)用。目前對于斜齒輪非線性動力學已有學者進行了廣泛的研究［1］，王立華等［2］建立了適合斜齒輪傳動系統(tǒng)耦合振動的動力學模型，并求解得到了斜齒輪橫向、軸向、擺動、扭轉(zhuǎn)振動響應(yīng)。李素有等［3］建立了考慮嚙合綜合誤差和時變剛度的斜齒輪副間隙非線性扭振模型，得到了斜齒輪副在外轉(zhuǎn)矩作用下受靜態(tài)傳動誤差激勵的非線性穩(wěn)態(tài)強迫響應(yīng)。

近年來，關(guān)于齒輪副非線性動力學的研究已開始考慮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的耦合影響。崔亞輝等［4-5］、衛(wèi)一多等［6］建立了考慮齒側(cè)間隙、時變嚙合剛度、靜態(tài)傳動誤差的齒輪-轉(zhuǎn)子耦合模型，得到了不平衡質(zhì)量對運動分叉的影響以及齒側(cè)間隙對振幅跳躍特性的影響，但未進一步考慮軸承的耦合影響。Cai等［7-8］建立了含有非線性油膜力、非線性嚙合力的齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學模型，并采用相圖、功率譜、Poincaré映射、Lyapunov指數(shù)確定系統(tǒng)的運動形式。Baguet等［9］建立了齒輪滑動軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學方程，采用Newmark法求解并獲得了軸承激勵和嚙合激勵。Byrtus等［10］使用模態(tài)綜合法建立了斜齒輪軸承系統(tǒng)動力學模型，將時變嚙合剛度、齒側(cè)間隙、非線性軸承力等因素引入系統(tǒng)模型中，研究了斜齒輪系統(tǒng)的分叉和混沌現(xiàn)象，但未考慮轉(zhuǎn)軸剛度對系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的影響。

本文考慮了多自由度、多非線性以及柔性轉(zhuǎn)子對系統(tǒng)的影響，以斜齒輪軸承柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，建立了斜齒輪軸承柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學模型，用數(shù)值法對非線性動力學方程進行求解，研究轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)軸剛度、不平衡力的變化對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。

1 非線性動力學模型

1.1 系統(tǒng)動力學模型

建立斜齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學模型如下：

式中，M、X、C、G、K分別為斜齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、振動位移矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣、剛度矩陣；P（t）為載荷矩陣，包括外力、齒輪嚙合力和不平衡力、非線性軸承力、重力。

式（1）中各矩陣可以采用整體法對齒輪、滾動軸承和彈性軸的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣和載荷矩陣進行組裝得到。

根據(jù)有限元理論，將彈性軸劃分為若干軸段，每個軸段單元采用兩節(jié)點Euler梁單元模型，每個節(jié)點考慮6個自由度，包括橫向彎曲振動（沿y、z軸）、軸向振動（沿x軸）、扭轉(zhuǎn)振動（繞x軸）、扭擺振動（繞y、z軸）。通過Euler梁單元模型，根據(jù)有限元理論，可得到軸段節(jié)點的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣和載荷矩陣。

建立考慮時變剛度、齒側(cè)間隙和不平衡質(zhì)量的斜齒輪動力學方程，求解得到齒輪的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣、載荷矩陣。

考慮滾動軸承的徑向間隙建立動力學方程，得到軸承的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣和載荷矩陣［11］。根據(jù)支承滾動軸承在轉(zhuǎn)子上的位置，將軸承各矩陣組裝到對應(yīng)的節(jié)點上，得到齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的整體參數(shù)矩陣。

1.2 斜齒輪嚙合模型

齒輪在嚙合傳動過程中，輪齒的彈性變形隨時間不斷變化，因此，齒輪的嚙合剛度也是隨時間變化的。本文在考慮計算時變剛度時，采用影響函數(shù)法［12］來計算嚙合線上每點的時變剛度。

設(shè)齒側(cè)間隙為2lb，采用分段函數(shù)表示齒側(cè)間隙，其函數(shù)關(guān)系式如下：

式中，Δd為兩斜齒輪在嚙合線方向上的變形量。

輪齒間的嚙合力包括彈性力和阻尼力，時變嚙合力可表示為

式中，km（t）為時變嚙合剛度；cm為嚙合阻尼。

Δd可表示為

式中，x1、y1、z1和x2、y2、z2分別為主被動齒輪沿x、y、z方向的振動位移；βb為斜齒輪基圓上的螺旋角；rb1、rb2分別為主被動齒輪基圓半徑；θ1x、θ2x，θ1y、θ2y和θ1z、θ2z分別為繞x軸的扭轉(zhuǎn)角、繞y軸擺動的角和繞z軸擺動的角；αt、αn分別為端面壓力角和法向壓力角；em為由實際齒廓偏離理論位置引起的齒輪靜態(tài)傳動誤差。

斜齒輪在嚙合傳動過程中，其振動形態(tài)包括彎曲、扭轉(zhuǎn)，如圖1所示。

圖1 斜齒輪傳動系統(tǒng)模型

考慮到斜齒輪副可能存在質(zhì)量偏心，將在斜齒輪嚙合傳動過程中產(chǎn)生離心力，可建立齒輪的動力學方程如下：

式中，ωr1、ωr2分 別 為 主 被 動 齒 輪 的 角 速 度；I1x、I2x，I1d、I2d分別為主被動齒輪繞軸向和徑向的轉(zhuǎn)動慣量；R1、R2分別為主被動齒輪節(jié)圓半徑；m1、m2分別為主被動齒輪的質(zhì)量；T1、T2分別為主被動齒輪所受的轉(zhuǎn)矩；β為斜齒輪分度圓上的螺旋角；e1、e2分別為主被動齒輪上的偏心距。

整理上述齒輪動力學方程，得到齒輪質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣和受力矩陣：

式中，Mg1、Mg2，Kg1、Kg2，Cg1、Cg2，F(xiàn)g1、Fg2分別為主、被動齒輪的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣、載荷矩陣；Kg12、Cg12分別為兩齒輪嚙合的耦合剛度矩陣、耦合阻尼矩陣。

將得到的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣、載荷矩陣組裝到式（1）中的各矩陣中。

2 計算方法

首先求解轉(zhuǎn)子、齒輪和軸承的剛度，分別代入斜齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學方程中，并按式（1）組裝到剛度矩陣中。然后采用Runge-Kutta法對建立的非線性動力學方程組進行求解。最后通過時域圖、頻譜圖、相圖以及Poincaré截面進行分析，判斷系統(tǒng)的動力學行為。

3 結(jié)果分析

對某斜齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行數(shù)值計算，齒輪的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，考慮了齒側(cè)間隙為80μm，主、被動輪偏心距e1、e2均為0。支承選用型號同為7205的兩個球軸承，兩齒輪軸長度相同，均為300mm。分析轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)軸剛度比、不平衡力等對系統(tǒng)非線性響應(yīng)的影響。

表1 斜齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)

3.1 轉(zhuǎn)速對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響

在其他參數(shù)不變的情況下，對不同轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)的動力學特性進行分析，得到斜齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化的分叉圖（圖2）。

為分析圖2中各轉(zhuǎn)速的非線性運動行為，求解非線性方程組得到頻譜圖和Poincaré截面，分析斜齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在各轉(zhuǎn)速下的運動行為。

圖3為系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速n為2500r／min時的頻譜圖和Poincaré截面，圖3中軸承振動頻率fb為

圖2 系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化響應(yīng)分叉圖

式中，α0為初始接觸角；Dm、Dw分別為軸承的中徑和球徑；nb為滾動體個數(shù)。

圖3 轉(zhuǎn)速為2500r／min時系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)

齒輪振動頻率fg為

式中，z1為主動輪的齒數(shù)。

頻譜圖中只有軸承和齒輪的整數(shù)倍頻率；Poincaré截面中只有一個點。由此可知，此時系統(tǒng)為一周期運動。

圖4為轉(zhuǎn)速為3600r／min時的頻譜圖和Poincaré截面。從頻譜圖可以看出，系統(tǒng)除了軸承和齒輪的整數(shù)倍頻率外，還有齒輪的0.5倍頻；由Poincaré截面可知，系統(tǒng)為兩周期運動。

圖5為轉(zhuǎn)速為3100r／min時的頻譜圖和Poincaré截面。從頻譜圖可以看出，系統(tǒng)除了軸承和齒輪的整數(shù)倍頻率外，還出現(xiàn)了邊頻帶；由Poincaré截面可知，系統(tǒng)在圖上為一個閉環(huán)。由此可知，系統(tǒng)此時處于擬周期運動。

圖6為系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速為5600r／min時的頻譜圖和Poincaré截面。從頻譜圖可以看出，系統(tǒng)出現(xiàn)了連續(xù)頻譜；由Poincaré截面可知，系統(tǒng)在圖上反映出不規(guī)則圖形。由此可知，系統(tǒng)此時處于混沌運動。

圖4 轉(zhuǎn)速為3600r／min時系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)

圖5 轉(zhuǎn)速為3100r／min時系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)

圖6 轉(zhuǎn)速為5600r／min時系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)

根據(jù)各轉(zhuǎn)速下頻譜圖和Poincaré截面的分析，從圖2可以得出，當轉(zhuǎn)速為2000～2300r／min時，系統(tǒng)處于擬周期運動；隨后系統(tǒng)處于周期運動；轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大到3100r／min時，系統(tǒng)再次處于擬周期運動；當轉(zhuǎn)速為3300～3400r／min時，系統(tǒng)處于混沌運動；隨著轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大，系統(tǒng)再次處于周期運動；當轉(zhuǎn)速達到4400r／min時，系統(tǒng)再次處于混沌運動；當繼續(xù)增大轉(zhuǎn)速后，系統(tǒng)再次處于周期運動；當轉(zhuǎn)速為5000～5100r／min時，系統(tǒng)再次處于混沌運動；隨后系統(tǒng)再次處于周期運動；當轉(zhuǎn)速為5600～6100r／min時，系統(tǒng)再次處于混沌運動；隨后系統(tǒng)再次處于周期運動；當轉(zhuǎn)速達到6400r／min時，系統(tǒng)再次處于擬周期運動；隨后系統(tǒng)再次處于混沌運動；當轉(zhuǎn)速達到7200r／min時，系統(tǒng)再次處于周期運動。

綜上可知，斜齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化時，系統(tǒng)出現(xiàn)了多種形式的運動狀態(tài)。

3.2 轉(zhuǎn)軸剛度的影響

在保證其他參數(shù)不變的情況下，軸長增大到400mm，轉(zhuǎn)軸剛度由 2.61×107N／m 減小到1.14×107N／m，對不同轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)的動力學特性進行分析，得到圖7所示的斜齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化的分叉圖。

圖7 轉(zhuǎn)軸剛度減小時系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化響應(yīng)分叉圖

根據(jù)頻譜圖和Poincaré截面分析方法，對圖7進行分析。當轉(zhuǎn)速為2000～2300r／min時，系統(tǒng)處于擬周期運動；隨后系統(tǒng)處于周期運動；當2900r／min時，系統(tǒng)再次處于擬周期運動；隨著轉(zhuǎn)速的增大，系統(tǒng)開始處于混沌運動；當轉(zhuǎn)速為3200～5000r／min時，系統(tǒng)再次處于周期運動；隨后系統(tǒng)再次處于擬周期運動；當轉(zhuǎn)速為5400～5800r／min時，系統(tǒng)再次處于混沌運動；隨著轉(zhuǎn)速的增大，系統(tǒng)再次處于周期運動；當轉(zhuǎn)速達到6100r／min時，系統(tǒng)再次處于混沌運動；當轉(zhuǎn)速達到6600r／min后，系統(tǒng)再次處于周期運動。

綜上所述，隨著轉(zhuǎn)軸剛度比的減小，振動分叉圖上的混沌區(qū)間明顯減小，系統(tǒng)的振幅發(fā)生改變。

3.3 不平衡力的影響

保證其他參數(shù)不變的情況下，加入齒輪不平衡力，分別設(shè)定主、被動輪的偏心距e1、e2為20μm，對不同轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)的動力學特性進行分析，得到了圖8所示的斜齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化的分叉圖。

圖8 存在不平衡力時系統(tǒng)響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化分叉圖

根據(jù)頻譜圖和Poincaré截面分析方法，對圖8進行分析。當轉(zhuǎn)速為2000～2300r／min時，系統(tǒng)處于擬周期運動；隨后系統(tǒng)處于周期運動；當轉(zhuǎn)速達到3000r／min時，系統(tǒng)再次處于擬周期運動；當轉(zhuǎn)速為3200～3600r／min時，系統(tǒng)開始處于混沌運動；隨著轉(zhuǎn)速的增大，系統(tǒng)再次處于周期運動；當轉(zhuǎn)速為4600～4700r／min時，系統(tǒng)再次處于混沌運動；隨后系統(tǒng)再次處于周期運動；當轉(zhuǎn)速為5100r／min時，系統(tǒng)再次處于混沌運動；當轉(zhuǎn)速為5200～5500r／min時，系統(tǒng)再次處于擬周期運動；隨著轉(zhuǎn)速的繼續(xù)增大，系統(tǒng)再次處于混沌運動；當轉(zhuǎn)速達到6600r／min時，系統(tǒng)再次處于周期運動；當轉(zhuǎn)速為7600～7700r／min時，系統(tǒng)再次處于混沌運動；隨后系統(tǒng)再次處于周期運動。

綜上所述，當增大齒輪的不平衡力后，振動分叉圖上的混沌區(qū)間明顯增大，混沌運動的區(qū)間也發(fā)生改變。

4 結(jié)論

（1）隨著轉(zhuǎn)速的增大，系統(tǒng)由周期運動轉(zhuǎn)變?yōu)閿M周期運動，又從擬周期運動變?yōu)榛煦邕\動，當轉(zhuǎn)速繼續(xù)上升時，混沌運動又將變?yōu)橹芷谶\動；臨界轉(zhuǎn)速附近為混沌運動。

（2）隨著轉(zhuǎn)軸剛度的減小，系統(tǒng)混沌區(qū)間減小，柔性轉(zhuǎn)軸對減少系統(tǒng)混沌運動的區(qū)間有利；混沌運動的區(qū)間也發(fā)生改變；轉(zhuǎn)軸剛度的改變還可改變振幅大小。

（3）當齒輪具有不平衡質(zhì)量時，系統(tǒng)混沌區(qū)間增大，混沌運動的區(qū)間也發(fā)生改變。

（4）本文為斜齒輪傳動系統(tǒng)的參數(shù)選取提供了依據(jù)，可通過合理選擇柔性轉(zhuǎn)軸剛度、不平衡質(zhì)量使得齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)避開混沌運動。

［1］王建軍，李其漢，李潤方.齒輪系統(tǒng)非線性振動研究進展［J］.力學進展，2005，35（1）：37-51.Wang Jianjun，Li Qihan，Li Runfang.Research Advances for Nonlinear Vibration of Gear Transmission Systems［J］.Advances in Mechanics，2005，35（1）：37-51.

［2］王立華，李潤方，林騰蛟，等.斜齒圓柱齒輪傳動系統(tǒng)耦合振動分析［J］.機械設(shè)計與研究，2002，18（5）：30-31.Wang Lihua，Li Runfang，Lin Tengjiao，et al.Analysis for Coupled Vibration of Helical Gear Transmission System［J］.Machine Design and Research，2002，18（5）：30-31.

［3］李素有，孫智民，沈允文.含間隙的斜齒輪副扭振分析與試驗研究［J］.機械傳動，2002，26（2）：1-5.Li Suyou，Sun Zhimin，Shen Yunwen.Theoretical and Experimental Investigations of Torsional Vibration in a Helical Gear Pairwith Backlash［J］.Journal of Mechanical Transmission，2002，26（2）：1-5.

［4］崔亞輝，劉占生，葉建槐.間隙非線性齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)研究［J］.振動與沖擊，2008，27（增）：29-31.Cui Yahui，Liu Zhansheng，Ye Jianhuai.Unbalance Response of Gear-rotor System with Nonlinear Clearance［J］.Journal of Vibration and Shock，2008，27（S）：29-31.

［5］崔亞輝，劉占生，葉建槐.齒輪-轉(zhuǎn)子耦合系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)及齒側(cè)間隙對振幅跳躍特性的影響［J］.機械工程學報，2009，45（7）：7-15.Cui Yahui，Liu Zhansheng，Ye Jianhuai.Dynamic Response of Geared Rotor System and the Effect of Clearance on Jump Characteristics of Amplitude［J］.Chinese Journal of Mechicnal Engineering，2009，45（7）：7-15.

［6］衛(wèi)一多，劉凱，崔亞輝，等.摩擦作用下周期雙參變激勵齒輪系統(tǒng)非線性振動響應(yīng)研究［J］.中國機械工程，2012，23（4）：389-394.Wei Yiduo，Liu Kai，Cui Yahui，et al.Study on Non-linear Response of Gear System with Double Periodic Parametrically under Friction Effect［J］.China Mechanical Engineering，2012，23（4）：389-394.

［7］Cai Wan，Chang Jian.Strong Nonlinearity Analysis for Gear-bearing System under Nonlinear Suspension Bifurcation and Chaos［J］.Nonlinear Analysis：Real World Applications，2010，11（3）：1760-1774.

［8］Cai Wan，Chang Jian.Nonlinear Analysis for Gear Pair System Supported by Long Journal Bearings under Nonlinear Suspension［J］.Mechanism and Machine Theory，2010，45（4）：569-583.

［9］Baguet S，Jacquenot G.Nonlinear Couplings in a Gear-shaft-bearing System［J］.Mechanism and Machine Theory，2010，45（12）：1777-1796.

［10］Byrtus M，Zeman V.On modeling and Vibration of Gear Drives Influenced by Nonlinear Couplings［J］.Mechanism and Machine Theory，2011，46 （3）：375-397.

［11］Wang Liqin，Cui Li，Zheng Dezhi.Study on Dynamic Property of Ball Bearing System with Nonlinear Vibration of Rotor［J］.Journal of Mechanical Engineering Science，2008，222（C9）：1811-1819.

［12］Cai Y.Simulation on the Rotational Vibration of Helical Gear in Consideration of the Tooth Separation Phenomenon［J］.Journal of Mechanical Design，1995，117（3）：460-468.