多臺同型產品同步糾正可靠性增長試驗數據統計分析方法研究

潘 駿 靳方建 陳文華 王 孟 許銳敏 朱旭洋

浙江理工大學浙江省機電產品可靠性技術研究重點實驗室，杭州，310018

0 引言

產品在設計初期，都存在某些設計缺陷，可靠性與性能參數都不能立刻達到所規定指標的要求，必須經過反復試驗-分析-改進-再試驗的過程，來提高產品的可靠性，即進行可靠性增長試驗［1］。試驗過程中，產品的質量缺陷得到暴露，且被有效地糾正，使產品的可靠性得到增長。可靠性增長試驗過程中，產品在各個時刻的失效數據來源于變化的母體，需要通過建立產品的可靠性增長模型［2-4］來反映產品可靠性的增長規律。

1972年，Crow［5］提出了 AMSAA（army materiel systems analysis activity）模型，并系統地解決了AMSAA模型的統計推斷問題［6-7］，但是該模型僅適用于單臺或多臺產品異步糾正的情況［1］。對于多臺產品同步糾正的問題，美軍標（美國軍用標準）MIL-HDBK-189和國軍標（中國軍用標準）GJB／Z77將多臺產品的試驗時間進行簡單的累加，折合到單臺產品上，采用單臺AMSAA模型來處理失效數據。文獻［8-9］在假設同型產品之間失效相互獨立的前提下提出了AMSAA-BISE（AMSAA-Beijing institute of structure and environment）模型，但是，其推導過程及公式與多臺產品異步糾正時的AMSAA模型相同。美軍標／國軍標和AMSAA-BISE兩種方法的預測結果往往高于產品的實際可靠性水平［10-11］。

在多臺同型產品同步糾正可靠性增長試驗過程中，一個產品出現失效，將對所有產品進行糾正，若糾正有效，則該失效在所有參試樣品中只發生一次。這相當于在針對某一失效的可靠性壽命試驗中，只出現一次產品失效。本文擬根據多臺同型產品同步糾正可靠性增長試驗的上述特點，提出一個新方法，即先采用多層Bayes方法估計產品失效的概率，結合加權最小二乘估計法，求得各個失效的發生時刻期望值，再用其替代單臺AMSAA模型中的失效時間來評估產品可靠性增長試驗結果。同時，通過對美軍標／國軍標的統計方法、AMSAA-BISE模型和本文所提出的方法進行蒙特卡羅模擬比較，來驗證所提出的統計分析方法的有效性。

1 多臺同型產品同步糾正可靠性增長試驗

假定有s臺同型產品進行同步投試、同步糾正可靠性增長試驗，所有失效均需作糾正性修復，且對每個失效所采取的糾正措施均有效，糾正完成后，所有產品繼續進行試驗。當s臺產品總失效次數達到n次時，則所有產品同時停止試驗，觀測到的失效時刻為0＜t1＜t2＜…＜tn。

美軍標 MIL-HDBK-781［12］在4.3.2條中規定，必須采用單臺AMSAA模型來評估多臺產品同步糾正時的可靠性增長結果：通過綜合多臺產品的失效數據，在一個累積的試驗時間基準上，將多臺產品當作一個單獨的產品，使用單臺AMSAA模型來分析失效數據。如果可以根據失效數據求出各次失效的發生時刻期望值［1，13］，就可根據單臺AMSAA模型來對產品的可靠性增長結果進行評估。

為估計各次失效的發生時刻期望值，現對可靠性增長試驗特征進行分析。在多臺產品同步糾正可靠性增長試驗過程中，投入s臺產品進行定數截尾的壽命試驗，由于當發生第m（m＝1，2，…，n）次失效時，會對所有產品進行糾正，可認為只出現一次失效。若把前m-1次失效時間看成是第m次失效的無失效觀測時間，則試驗可敘述為：針對第m次失效，對s臺同型產品進行壽命試驗，當有一個產品失效時試驗截止，則有0＝t0＜t1＜t2＜…＜tm，那么，第i次失效的失效數據模型可記為（s，ri，ti）（i＝1，2，…，m），其中ri為時刻ti時的產品失效個數。當i≤m-1時，ri＝0；當i＝m時，ri＝1。

綜上所述，可獲得如下信息：

（1）t0＝0時，產品失效概率P0＝0。

（2）由于0＝t0＜t1＜t2＜…＜tm，記Pi＝P（t＜ti），則有P1≤P2≤ … ≤Pm。

對于第m次失效，假設其失效時間服從分布參數為λm的指數分布，基于多層Bayes方法，計算出分布參數和失效時刻期望值，進而替代單臺AMSAA模型中的失效時間，最終確定模型參數，并對試驗結果進行估計。

2 失效概率Pi的Bayes估計

2.1 確立先驗分布

采用Bayes估計首先需要確定先驗分布，若試驗進行到ti時刻無產品失效，則有理由判定試樣在（0，ti）內的可靠度很高，即失效概率Pi的先驗分布的密度函數應是關于Pi的單調遞減函數。由于0≤Pi≤1，而不完全β分布B（θL，θU，u，v）要求其變量x滿足0≤x≤1，且其密度函數為［13-14］

在選取參數u≤1和v＞1的情況下，可保證概率密度函數f（x；θL，θU，u，v）是關于x 的單調遞減函數。通過改變x 的變化區間（θL，θU），可使之滿足各種試驗情況，所以可以選定失效概率Pi的先驗分布為不完全β分布B（θL，θU，u，v）。

根據Bayes估計的穩定性［15］，概率密度函數尾部越密的先驗分布會造成Bayes估計的穩健性越差。結合文獻［14］中關于不完全β分布的密度函數的討論，在v一定且u≤1時，隨著u取值的減小，密度函數曲線尾部越來越細密，由此可確定u＝1。確定v的具體取值比較困難，但根據不完全β分布的密度函數的性質，在u＝1的情況下，v取值越大，密度函數曲線尾部越細密。可利用多層先驗分布的知識，給定一個取值上限C，認為參數v服從區間［1，C］上的均勻分布，即

其中，常數C一般取3～7為宜［13］。

由于θL、θU分別為失效概率Pi取值區間的下限和上限，所以取θU＝1合理。為保證Pi的估計值滿足模型條件應滿足

綜上所述，失效概率Pi的先驗分布可具體確定為

2.2 估計失效概率

由于產品在tm時刻發生失效，現可分兩種情況來確定θL的取值并估計失效概率Pi。

在時刻ti內有s個產品進行試驗，有ri＝0個失效，則其似然函數為L（0，Pi）＝ （1-Pi）s。于是在平方損失函數下，以式（2）為先驗分布的Pi的Bayes估計為

（2）當i＝m時，由于產品在tm時刻發生失效，且失效現象的發生在一定程度上具有隨機性，為了不丟失在tm時刻一個產品已經失效且其他時間區間內產品均未出現失效的信息，根據中位秩，初步假定tm時刻的失效概率

是合理的，于是可取θL＝P′。由不完全β分布B（P′，1，1，v）得到Pm的先驗分布為

此函數顯然是關于Pm單調遞減的，是可以作為Pm的先驗分布的。由于在時刻tm內s個產品進行試驗，有rm＝1個失效，則其似然函數為

于是在平方損失函數下，以式（4）為先驗分布的Pm的Bayes估計為

3 多臺同型產品同步糾正可靠性增長的評估方法

3.1 可靠性分布參數和特征值的估計

假定產品的第m次失效的發生時刻tm服從指數分布，其分布函數為

式中，δmi為用ln（1-＾Pi）代替ln（1-Pi）所引起的誤差。

采用加權最小二乘估計法，在

的意義下，求得參數λm的估計值為

式中，ωi為權系數。

則產品第m次失效的發生時刻tm的期望值Tm為

3.2 可靠性增長結果的評估

根據多臺同型產品同步糾正可靠性增長試驗數據，對于第m次失效，由式（7）和式（8）可求得產品失效發生時刻tm的期望值Tm：

為利用單臺AMSAA模型［1］進行可靠性增長結果的評估，可將期望失效時刻Tm看作單臺產品投入可靠性增長試驗時的觀測失效時間，即對單臺產品進行失效截尾可靠性增長試驗，產品在該試驗中相繼故障時刻為

則單臺AMSAA模型參數a、b的無偏估計為［1］

則Tn時刻產品的平均故障間隔時間（mean time between failures，MTBF），即多臺同型產品同步糾正可靠性增長試驗截止時刻tn時產品的MTBF值θ的無偏估計為

4 MATLAB仿真分析

4.1 建立仿真模型

為驗證所提出的統計分析方法的可行性和統計結果的準確性，現利用MATLAB7.0軟件進行仿真分析。Crow在AMSAA模型中假定，可靠性增長的過程中，產品失效是按照非齊次泊松過程發生的，即失效次數服從參數為a、b的非齊次泊松過程。利用非齊次泊松過程的性質［16］和仿真理論，設定試驗投入樣本數為s，產生的失效個數為n，非齊次泊松過程參數為a、b，則仿真模型［10］可按以下步驟建立：

（1）模擬單臺產品的失效時間序列。根據非齊次泊松過程的性質，首先應用計算機產生n個在（0，1）區間上均勻分布的隨機數Ri（i＝1，2，…，n），對其作變換Ni＝-lnRi，產生指數Ni；根據泊松過程的性質，Si＝Si-1＋Ni為齊次泊松過程時間序列，對齊次泊松過程的發生時間作變換Ti＝ （Si／a）（1／b），則Ti為滿足參數為a、b的非齊次泊松過程的單臺產品失效時間序列。

（2）模擬多臺產品同步投試、同步糾正的失效時間序列。對于樣本數為s的可靠性增長試驗，對步驟（1）進行s次獨立的模擬，產生s組失效時間序列。根據同步糾正理論，觀測到的失效時間為多臺產品每個對應失效的最早發生時間。對獲得的s組相同長度的模擬時間序列，取對應次序的數據最小值作為同步糾正時間，即得到多臺同型產品同步糾正的失效時間。

（3）模型參數評估和MTBF計算。對模擬產生的多臺同型產品同步糾正的失效時間，利用本文提出的數據處理方法進行評估，獲得可靠性增長試驗后的參數和可靠性水平。為了便于比較和分析數據處理結果，利用美軍標／國軍標的處理方法和AMSAA-BISE模型對模擬數據進行處理。模擬數據的理論結果可利用多臺產品產生n個失效所需的試驗時間和非齊次泊松過程參數進行計算得到。

（4）對上述三步進行10 000循環模擬，分別獲得三種數據處理方法處理結果的平均值與理論模擬結果的平均值，并進行結果比較和分析。

4.2 仿真結果分析

為驗證所提出的統計方法的精確性，現以模型參數的估計精度為衡量指標。根據非齊次泊松過程的性質，只有當0＜b＜1時，產品可靠性才處于增長過程之中。這里，任意假定模型參數取值：a＝0.5，b＝0.5，n＝7，C ＝5。根據上述分析和模型進行仿真模擬，各種方法對仿真數據的計算結果如表1所示。

表1 仿真計算結果

通過對比分析仿真估計結果可得：由于試驗樣本量增加時，所有樣品的試驗時間總和會隨之增大，則在產生的故障數不變的情況下，試驗總時間長的產品的壽命值較大，所以理論模擬結果隨樣品量的增加而變大。由于美軍標／國軍標中是將多臺產品的試驗時間進行簡單累加來作為單臺產品的試驗時間，所以，其評估方法估計的結果大于理論模擬結果；AMSAA-BISE模型假設同型產品之間失效相互獨立，沒有考慮失效的相關性，且其推導過程及公式與多臺產品異步糾正時的AMSAA模型相同，所以其估計結果也大于理論模擬結果。本文所提出方法的計算結果與理論模擬結果接近，且誤差隨樣品量的變化不大，能夠較好地估計可靠性增長結果，反映真實的試驗情況。

5 結語

本文根據多臺產品同步糾正可靠性增長試驗均為單一產品失效的特點，提出了基于單一產品失效數據的同步糾正可靠性增長試驗數據統計分析方法。給出了失效的可靠性分布參數和特征值的計算方法，更好地反映了試驗各個階段的實際情況；基于各個發生失效的時間期望值，利用單臺可靠性增長AMSAA模型來進行可靠性增長結果評估，使評估結果更好地反映出可靠性增長后的產品可靠性水平。蒙特卡羅模擬分析的結果表明，與現有方法相比，本文所提出方法的分析計算結果較接近于理論值，能較好地估計可靠性增長結果，反映真實的可靠性增長過程。另外，本文在推導過程中假設產品失效服從指數分布，對于失效服從其他分布類型的產品，亦可采用類似的分析方法進行統計分析，從而為不同失效分布類型的產品進行多臺產品同步糾正可靠性增長試驗提供了統計分析方法和思路，可解決多臺產品同步糾正可靠性增長試驗數據的處理問題。

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